imported>Tosha в 16:59, 8 января 2026

2026-01-08T16:59:45Z

Новая страница

'''Дедеки́ндово сече́ние''' — один из способов построения [[вещественные числа|вещественных чисел]] из [[рациональные числа|рациональных]]{{sfn |Математическая энциклопедия|1979}}.
Вещественное число определяется как сечение, то есть способ разделить рациональные числа на два множества определённого.
На такие сечения продолжаются операции [[сложение|сложения]] и [[умножение|умножения]].

== История ==
Метод был введён в 1872 году [[Дедекинд, Юлиус Вильгельм Рихард|Рихардом Дедекиндом]]<ref>''Richard Dedekind''. Stetigkeit und irrationale Zahlen. Friedrich Vieweg und Sohn, Braunschweig 1872. ([http://www.archive.org/details/stetigkeitundir00dedegoog online]).</ref><ref>{{книга |автор=Рихард Дедекинд |заглавие=Непрерывность и иррациональные числа |оригинал=Stetigkeit und irrationale Zahlen |год=1923 |издание=4 |ссылка=http://www.mathesis.ru/book/dedekind/ |место= |издательство=[[Матезис]] |страниц= |ответственный=пер. с нем. [[Шатуновский, Самуил Осипович|С. О. Шатуновского]] |archive-date=2017-07-16 |archive-url=https://web.archive.org/web/20170716154604/http://www.mathesis.ru/book/dedekind/ }}</ref>.

Аналогичное построение для геометрических величин неявно присутствует в [[Начала (Евклид)|«Началах»]] [[Евклид]]а, а именно, в книге V определение 5 звучит следующим образом:
<blockquote>
Говорят, что величины находятся в том же отношении первая ко второй и третья к четвёртой, если равнократные первой и третьей одновременно больше, одновременно равны или одновременно меньше равнократных второй и четвёртой каждая каждой при какой бы то ни было кратности, если взять их в соответствующем порядке (9, 10, 11, 12)<ref>''Начала Евклида''. Перевод с греческого и комментарии {{nobr|Д. Д. Мордухай-Болтовского}} при редакционном участии {{nobr|И. Н. Веселовского}} и {{nobr|М. Я. Выгодского}}. М.-Л.: ГТТИ, 1949—1951. книги I—VI на [http://www.math.ru/lib/book/djvu/klassik/euclid48-1.djvu www.math.ru] {{Wayback|url=http://www.math.ru/lib/book/djvu/klassik/euclid48-1.djvu |date=20151006094119 }} или на [http://ilib.mccme.ru/djvu/klassik/euclid48-1.htm mccme.ru] {{Wayback|url=http://ilib.mccme.ru/djvu/klassik/euclid48-1.htm |date=20110811013112 }}; книги VII—X на [http://www.math.ru/lib/book/djvu/klassik/euclid49-2.djvu www.math.ru] ({{Wayback|url=http://www.math.ru/lib/book/djvu/klassik/euclid49-2.djvu |date=20151006092018 }}) или на [http://ilib.mccme.ru/djvu/klassik/euclid49-2.htm mccme.ru] ({{Wayback|url=http://ilib.mccme.ru/djvu/klassik/euclid49-2.htm |date=20110918105607 }}); книги XI—XIV на [http://www.math.ru/lib/book/djvu/klassik/euclid50-3.djvu www.math.ru] ({{Wayback|url=http://www.math.ru/lib/book/djvu/klassik/euclid50-3.djvu |date=20151006095628 }}) или на [http://ilib.mccme.ru/djvu/klassik/euclid50-3.htm mccme.ru] ({{Wayback|url=http://ilib.mccme.ru/djvu/klassik/euclid50-3.htm |date=20110920080744 }}).</ref>.
</blockquote>

Близкие идеи опубликовал в 1849 году французский математик [[Бертран, Жозеф Луи Франсуа|Жозеф Бертран]]<ref>{{cite book|last=Bertrand|first=Joseph|title=Traité d'Arithmétique|url=https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k77735p/f209.image.r=%22joseph%20bertrand%22|year=1849|at=page 203|quote=Несоизмеримое число можно определить, всего лишь указав, как величина, которую оно выражает, может быть образована с помощью единицы. В дальнейшем мы предполагаем, что это определение состоит из указания, какие соизмеримые числа меньше или больше данного}} {{Wayback|url=https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k77735p/f209.image.r=%22joseph%20bertrand%22 |date=20210117231318 }} {{Cite web |url=https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k77735p/f209.image.r=%22joseph%20bertrand%22 |title=Источник |access-date=2020-10-11 |archive-date=2021-01-17 |archive-url=https://web.archive.org/web/20210117231318/https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k77735p/f209.image.r=%22joseph%20bertrand%22 |url-status=unfit }}</ref>.

== Определение ==
Дедекиндово сечение — это [[разбиение множества]] [[Рациональное число|рациональных чисел]] <math>\mathbb{Q}</math> на два подмножества <math>A</math> (нижнее, или левое) и <math>B</math> (верхнее, или правое) такие, что{{sfn |Фихтенгольц|1966|с=17—18}}:
# <math>a<b</math> для любых <math>a\in A</math> и <math>b\in B</math>,
# <math>B</math> не имеет наименьшего элемента.
Далее дедекиндово сечение обозначается <math>(A, B)</math> (хотя было бы достаточно указать одно из этих множеств, второе дополняет его до <math>\mathbb Q</math>).

Если множество <math>A</math> имеет наибольший элемент, то дедекиндово сечение можно отождествить с этим рациональным числом. В противном случае сечение определяет [[иррациональное число]], которое больше всех чисел множества <math>A</math> и меньше всех чисел множества <math>B</math>. Определив на полученном множестве сечений [[арифметические операции]] и [[Отношение порядка|порядок]], мы получаем [[поле (алгебра)|поле]] [[Вещественное число|вещественных чисел]], причём каждое сечение определяет одно и только одно вещественное число.

===Пример===
[[Файл:Dedekind cut at square root of two.svg|thumb|right|300px|Дедекиндово сечение [[Квадратный корень из 2|√2]] ]]
Вещественному числу <math>\sqrt 2</math> соответствует дедекиндово сечение, для которого{{sfn |Фихтенгольц|1966|с=18, 36}}:
: множество <math>A = \{x \in \mathbb Q \mid x < 0 \lor x^2 < 2\};</math>
: множество <math>B = \{x \in \mathbb Q \mid x > 0 \land x^2 > 2\}.</math>

Интуитивно можно представить себе, что для того, чтобы определить <math>\sqrt 2</math>, мы рассекли множество на две части: все числа, что левее <math>\sqrt 2</math>, и все числа, что правее <math>\sqrt 2</math>; соответственно, <math>\sqrt 2</math> равен [[точная нижняя грань|точной нижней грани]] множества <math>B</math>.

== Упорядоченность дедекиндовых сечений ==
Введём во множестве сечений порядок. Сначала определим, что два сечения <math>(A, B)</math> и <math>(C, D)</math> равны, если <math>A=C</math> (тогда и <math>B=D</math>). Далее определим{{sfn |Фихтенгольц|1966|с=19—21}}:
: <math>(A, B) < (C, D)</math>, если <math>A \subset C</math> и при этом <math>A \ne C.</math>
Нетрудно проверить, что все требования [[Линейно упорядоченное множество|линейного порядка]] выполнены. Кроме того, для рациональных чисел новый порядок совпадает со старым.

Из данного определения порядка следует:
: '''Теорема о приближении'''. Любое вещественное число может быть с любой точностью приближено рациональными числами, то есть может быть заключено в интервал с рациональными границами произвольно малой длины{{sfn |Фихтенгольц|1966|с=22—24}}.

== Арифметика дедекиндовых сечений ==
Для определения арифметических действий с сечениями можно воспользоваться сформулированной в предыдущем разделе теоремой о приближении.

Пусть <math>\alpha, \beta</math> — вещественные числа. Согласно теореме о приближении, для них можно указать интервалы-приближения с рациональными границами:
: <math>a_1<\alpha<a_2\quad b_1<\beta<b_2.</math>
Тогда '''суммой''' <math>\alpha + \beta</math> называется{{sfn |Фихтенгольц|1966|с=28—31}} вещественное число, содержащееся во всех интервалах вида <math>(a_1+b_1, a_2+b_2).</math> Сумма вещественных чисел всегда существует, однозначно определена и для рациональных чисел совпадает с прежним определением суммы. Вычитание всегда возможно, поэтому относительно так определённой операции сложения вещественные числа образуют [[Группа (алгебра)|аддитивную группу]].

Аналогично определяется умножение вещественных чисел, которое вместе со сложением превращает множество вещественных чисел в [[упорядоченное поле]]{{sfn |Фихтенгольц|1966|с=31—34}}.

== Вариации и обобщения ==
: См. также: {{iw|Пополнение Дедекинда — Макнейла|||Dedekind–MacNeille completion}}
Дедекиндовы сечения можно аналогично определить не только для рациональных чисел, но и в любом другом [[Линейно упорядоченное множество|линейно упорядоченном множестве]]. См. {{iw|Полнота (теория порядка)|||Completeness (order theory)}}. Можно показать, что применение этой процедуры к множеству вещественных чисел <math>\mathbb R</math> даёт снова <math>\mathbb R.</math>

Аналог дедекиндовых сечений используется для построения [[Сюрреальные числа|сюрреальных чисел]]<ref>{{Cite web |url=https://www.youtube.com/watch?v=1eAmxgINXrE |title=См. лекцию Конвея, примерно с 0:16:30 по 0:19:30 |access-date=2020-10-11 |archive-date=2020-11-09 |archive-url=https://web.archive.org/web/20201109090142/https://www.youtube.com/watch?v=1eAmxgINXrE |url-status=live }}</ref>.

== См. также ==
* [[Конструктивные способы определения вещественного числа]]

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
* {{Книга:Математическая энциклопедия |2 |статья=Дедекиндово сечение |автор=[[Кудрявцев, Лев Дмитриевич|Кудрявцев Л. Д.]] |страницы=65 |ref=Математическая энциклопедия}}
* {{книга |автор=[[Фихтенгольц, Григорий Михайлович|Фихтенгольц Г. М.]] |ref=Фихтенгольц |заглавие=Курс дифференциального и интегрального исчисления |издание=Изд. 6-е |место=М. |издательство=Наука |год=1966 |том=I |страниц=680}}

{{вс}}

[[Категория:Математический анализ]]
[[Категория:Вещественные числа]]

Дедекиндово сечение - История изменений

imported>Tosha в 16:59, 8 января 2026