imported>Matsievsky: /* Свойства */

2023-12-29T00:41:42Z

Свойства

Новая страница

'''Двойное отношение''' (или '''сложное отношение''' или устаревшее '''ангармоническое отношение''') четвёрки чисел <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math>, <math>d</math> ([[вещественное число|вещественных]] или [[комплексное число|комплексных]]) определяется как
: <math> (ab,cd)=\frac{c-a}{c-b}: \frac{d-a}{d-b}. </math>
Также встречаются обозначения <math> (a, b; c, d)</math> и <math> [a, b; c, d]</math>.

== Свойства ==
* <math> (ab,cd)(ab,de)=(ab,ce)</math>.
* Двойное отношение сохраняется при [[Дробно-линейное преобразование комплексной плоскости|дробно-линейных преобразованиях]], в частности не зависит от выбора координат на прямой.
: <math> (ab,cd)=\frac{1}{(ba,cd)}=\frac{1}{(ab,dc)}=1-(ac,bd)</math>.
: В частности, если двойное отношение четвёрки чисел равно <math>\lambda</math>, тогда двойное отношение любой из 24 перестановок четвёрки равно одному из следующих шести значений:
:<math>\lambda, \frac{1} {\lambda}, 1-\lambda, \frac 1 {1-\lambda}, \frac{\lambda-1} {\lambda}, \frac {\lambda} {\lambda-1}</math>.

== Вариации и обобщения ==

'''Двойным (или сложным) отношением четвёрки точек''' <math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math>, <math>D</math>, лежащих на одной ([[вещественное число|вещественной]] или [[комплексное число|комплексной]]) прямой, называют число
: <math> (AB,CD)=\frac{c-a}{c-b}: \frac{d-a}{d-b}, </math>
где через <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math>, <math>d</math> обозначены координаты точек <math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math>, <math>D</math> соответственно.
Двойное отношение не зависит от выбора координаты на прямой.
Часто пишут также так:
: <math> (AB,CD)=\frac{AC}{BC}: \frac{AD}{BD}, </math>
подразумевая, что через <math>AC/BC</math> (соответственно <math>AD/BD</math>) обозначено [[отношение направленных отрезков]].
* Двойное отношение четвёрки точек на прямой сохраняется при [[проективное преобразование|проективных преобразованиях]] плоскости или пространства.

'''Двойным отношением четвёрки прямых''' <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math>, <math>d</math>, проходящих через одну точку, называют число
: <math> (ab,cd)=\pm\frac{\sin(a,c)}{\sin(b,c)}: \frac{\sin(a, d)}{\sin(b,d)},</math>
знак которого выбирается следующим образом: если один из углов, образованных прямыми <math>a</math> и <math>b</math>, не пересекается ни с одной из прямых <math>c</math> или <math>d</math> (в этом случае говорят, что пара прямых <math>a</math> и <math>b</math> не разделяет пару прямых <math>c</math> и <math>d</math>), то <math>(ab,cd)>0</math>; в противном случае <math>(ab,cd)<0</math>.
* Пусть четвёрка прямых <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math>, <math>d</math> проходит через точку <math>O</math>, а прямая <math>\ell</math> не содержит <math>O</math>. Предположим прямые <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math>, <math>d</math> пересекаются с <math>\ell</math> соответственно в точках <math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math> и <math>D</math>. Тогда
*:<math>(ab,cd)=(AB,CD).</math>

== См. также ==
* [[Гармоническая четвёрка|Гармоническая четвёрка точек и прямых]]
* [[Простое отношение]]
* [[Пропорциональные отрезки]]

== Ссылки ==

* ''[[Курант, Рихард|Р. Курант]], [[Роббинс, Герберт|Г. Роббинс]],'' [[Что такое математика?]]
* {{ВТ-ЭСБЕ|Ангармоническое отношение точек}}
* [[Шаль, Мишель]]. [[s:Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов/Примечание IX/ДО|Об ангармонической функции четырех точек или четырех прямых]] // Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов. Т. 2. Прим. IX. М., 1883.

[[Категория:Проективная геометрия]]
[[Категория:Математические отношения]]

Двойное отношение - История изменений

imported>Matsievsky: /* Свойства */