imported>Well, Well, Bot!: фикс разломанных визредом ссылок по запросу mitte27

2026-02-11T11:57:00Z

фикс разломанных визредом ссылок по запросу mitte27

Новая страница

{{Значения|Движение}}
'''Движе́ние''' (или '''наложе́ние'''<ref>[[Элементарная геометрия (Киселёв)|Учебник Киселёва]] и учебник Л. С. Атанасянa с соавторами.</ref>) — [[преобразование (математика)|преобразование]] [[метрическое пространство|метрического пространства]], сохраняющее [[расстояние]] между соответствующими точками, то есть если <math>A'</math> и <math>B'</math> — образы точек <math>A</math> и <math>B</math>, то <math>A'B'=AB</math>.
Иначе говоря, движение — это [[изометрия (математика)|изометрия]] пространства в себя.

Несмотря на то, что движение определяется на всех метрических пространствах, этот термин более распространён в [[евклидова геометрия|евклидовой геометрии]] и смежных областях.
В [[Метрическая геометрия|метрической геометрии]] (в частности, в [[риманова геометрия|римановой геометрии]]) чаще говорят: ''изометрия пространства в себя''. В общем случае метрического пространства (например, для неплоского [[риманово многообразие|риманова многообразия]]) движения могут существовать далеко не всегда.

Иногда под движением понимают преобразование евклидова пространства, сохраняющее ориентацию.
В этом случае, [[осевая симметрия]] плоскости движением не считается, а поворот и параллельный перенос считаются движением.
Аналогично для общих метрических пространств движением считается элемент [[группа изометрий|группы изометрий]] из [[связная компонента|связной компоненты]] [[тождественное отображение|тождественного отображения]].

В [[евклидово пространство|евклидовом]] (или [[псевдоевклидово пространство|псевдоевклидовом]]) пространстве движение автоматически сохраняет также углы, так что сохраняются все [[скалярное произведение|скалярные произведения]].

Далее в этой статье рассматриваются изометрии только евклидова точечного пространства.

== Собственные и несобственные движения ==
Пусть <math>f\colon E \rightarrow E</math> — движение евклидова точечного пространства <math>E,</math> а <math>V</math> — пространство свободных векторов для пространства <math>E</math>. [[Линейный оператор]] <math>Df\colon V \rightarrow V,</math> ассоциированный с [[аффинное преобразование|аффинным преобразованием]] <math>f,</math> является [[ортогональное преобразование|ортогональным оператором]], и поэтому его [[определитель]] может быть равен либо <math>1</math> (''собственный ортогональный оператор''), либо <math>-1</math> (''несобственный ортогональный оператор''). В соответствии с этим и движения подразделяются на два класса: '''собственные''' (если <math>\det Df = 1</math>) и '''несобственные''' (если <math>\det Df = -1</math>){{sfn|Кострикин и Манин|1986|с=201—204}}.

Собственные движения сохраняют [[ориентация|ориентацию]] пространства <math>E,</math> несобственные — заменяют её на противоположную<ref name=Egorov>{{книга|автор=Егоров И. П. |часть=Движение|заглавие=Математическая энциклопедия. Т. 2|ссылка=http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Vinogradov_MatEnc_t2.djvu|ответственный=Гл. ред. [[Виноградов, Иван Матвеевич|И. М. Виноградов]]|место=М.|издательство=[[Большая Российская энциклопедия (издательство)|Советская энциклопедия]]|год=1979|archivedate=2012-11-20|archiveurl=https://web.archive.org/web/20121120171156/http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Vinogradov_MatEnc_t2.djvu}} — 1104 стб. — Стб. 20—22.</ref>. Иногда собственные и несобственные движения называют соответственно ''перемещениями'' и ''антиперемещениями''{{sfn|Берже|1984|с=249}}.

Всякое движение ''n''-мерного евклидова точечного пространства <math>E</math> может быть однозначно определено указанием ортонормированного [[репер (аффинная геометрия)|репера]] <math>(O'; e'_1, \ldots, e'_n),</math> в который при данном движении переходит заранее выбранный в пространстве <math>E</math> ортонормированный репер <math>(O; e_1, \ldots, e_n).</math> При этом в случае собственного движения новый репер ориентирован так же, как и исходный, а в случае несобственного движения новый репер ориентирован противоположным образом. Движения всегда сохраняют [[расстояние|расстояния]] между точками пространства <math>E</math> (т. e. являются [[изометрия (математика)|изометриями]]), причём никаких других изометрий, кроме собственных и несобственных движений, не существует{{sfn|Александров|1968|с=259—262}}.

В [[механика|механике]] в понятие «движение» вкладывается другой смысл; в частности, оно всегда рассматривается как [[непрерывное отображение|непрерывный]] процесс, происходящий в течение некоторого промежутка [[время|времени]] (см. [[механическое движение]]). Если, следуя [[Александров, Павел Сергеевич|П. С. Александрову]], называть ''непрерывным движением'' такое движение пространства <math>E,</math> которое непрерывно зависит от параметра <math>t \in [t_0,t_1]</math> (при <math>n=3</math> в механике это соответствует движению [[абсолютно твёрдое тело|абсолютно твёрдого тела]]), то ортонормированный репер <math>(O'; e'_1, \ldots, e'_n)</math> может быть получен непрерывным движением из ортонормированного репера <math>(O; e_1, \ldots, e_n)</math> тогда и только тогда, когда оба репера ориентированы одинаково{{sfn|Александров|1968|с=210, 214}}.

== Частные виды изометрий ==

=== На прямой ===
Любое движение прямой есть либо [[параллельный перенос]] (сводящийся к смещению всех точек прямой на один и тот же вектор, лежащий на этой же прямой), либо [[отражение (геометрия)|отражение]] относительно некоторой точки, взятой на данной прямой. В первом случае движение является собственным, во втором — несобственным{{sfn|Александров|1968|с=284}}.

=== На плоскости ===
Любое движение плоскости относится к одному из следующих типов<ref name=Egorov/>:
* [[Параллельный перенос]];
* [[Поворот]];
* [[Осевая симметрия]] ([[отражение (геометрия)|отражение]]);
* [[Скользящая симметрия]] — [[композиция функций|суперпозиция]] переноса на вектор, параллельный прямой, и симметрии относительно этой прямой.

Движения первых двух типов — собственные, последних двух — несобственные{{sfn|Кострикин и Манин|1986|с=204}}.

=== В трёхмерном пространстве ===
Любое движение трёхмерного пространства относится к одному из следующих типов<ref name=Egorov/>:
* Параллельный перенос;
* Поворот;
* [[Винтовое движение]] — суперпозиция поворота относительно некоторой прямой и переноса на вектор, параллельный этой прямой;
* [[Зеркальная симметрия]] (отражение) относительно [[плоскость (геометрия)|плоскости]];
* Скользящая симметрия — суперпозиция переноса на вектор, параллельный плоскости, и симметрии относительно этой плоскости;
* [[Зеркальный поворот]] — суперпозиция поворота вокруг некоторой прямой и отражения относительно плоскости, перпендикулярной оси поворота.

Движения первых трёх типов исчерпывают класс собственных движений трёхмерного пространства ([[теорема Шаля|теореме Шаля]]), а движения последних трёх типов являются несобственными{{sfn|Кострикин и Манин|1986|с=204}}.

=== В n-мерном пространстве ===
<div class="tright" style="clear:none">[[Файл:Simx2=rotOK.svg|240px|мини|Суперпозиция двух отражений относительно непараллельных осей даёт [[вращательное движение|поворот]]]]</div>
<div class="tright" style="clear:none">[[Файл:Simx2=traslOK.png|231px|мини|Суперпозиция двух отражений относительно параллельных осей даёт [[параллельный перенос]]]]</div>
В <math>n</math>-мерном пространстве движения сводятся к [[ортогональное преобразование|ортогональным преобразованиям]], параллельным переносам и суперпозициям тех и других.

В свою очередь, ортогональные преобразования могут быть представлены как суперпозиции (собственных) вращений и зеркальных отражений (т. e. симметрий относительно [[гиперплоскость|гиперплоскостей]]).

== Движения как суперпозиции симметрий ==
Любую изометрию в <math>n</math>-мерном [[евклидово пространство|евклидовом пространстве]] можно представить в виде суперпозиции не более чем n+1 зеркальных отражений{{sfn|Берже|1984|с=255}}.

Так, [[параллельный перенос]] и [[поворот]] — суперпозиции двух отражений, [[скользящее отражение]] и [[зеркальный поворот]] — трёх, [[винтовое движение]] — четырёх.

== Общие свойства изометрий ==
* [[Композиция функций|Суперпозиция]] изометрий также является изометрией{{sfn|Александров|1968|с=267}}.
* Изометрии евклидова пространства ''E'' относительно операции суперпозиции образуют [[группа (математика)|группу]] [[изометрия (математика)|Iso(''E'')]], являющуюся [[группа Ли|группой Ли]].
* Изометрия — частный случай [[аффинное преобразование|аффинного преобразования]] (так что [[изометрия (математика)|Iso(''E'')]] является ''подгруппой'' другой группы Ли — [[аффинное преобразование|аффинной группы Aff(''E'')]] пространства ''E''){{sfn|Кострикин и Манин|1986|с=202}}.
* Группа Iso(''E'') состоит из двух [[связная компонента|связных компонент]]: множества Iso<sub>+</sub>(''E'') собственных движений (которое само является группой Ли) и множества Iso<sub>–</sub>(''E'') несобственных движений; каждая из этих компонент [[линейно связное пространство|линейно связна]]{{sfn|Берже|1984|с=249}}.
* Изометрия, будучи [[аффинное преобразование|аффинным преобразованием]], всегда переводит отрезок снова в отрезок.

== Примечания ==
{{примечания|2}}

== Литература ==
* {{книга|автор=[[Александров, Павел Сергеевич|Александров П. С.]] |заглавие=Лекции по аналитической геометрии|место=М.|издательство=[[Наука (издательство)|Наука]]|год=1968|страниц=912|ref=Александров}}
* {{книга|автор=[[Берже, Марсель|Берже М.]] |заглавие=Геометрия. Т. 1|место=М.|издательство=[[Мир (издательство)|Мир]]|год=1984|страниц=560|ref=Берже}}
* {{книга|автор=[[Кострикин, Алексей Иванович|Кострикин А. И.]], [[Манин, Юрий Иванович|Манин Ю. И.]] |заглавие=Линейная алгебра и геометрия. 2-е изд|место=М.|издательство=[[Наука (издательство)|Наука]]|год=1986|страниц=304|ref=Кострикин и Манин}}

[[Категория:Движения пространства| ]]

Движение (математика) - История изменений

imported>Well, Well, Bot!: фикс разломанных визредом ссылок по запросу mitte27