imported>Д.Ильин: img

2026-01-06T13:10:01Z

img

Новая страница

'''Двенадцатигра́нник''' — [[многогранник]] с двенадцатью [[Грань (геометрия)|гранями]].

Существует несколько объёмных фигур с '''двенадцатью гранями'''.

== [[Правильный додекаэдр]] ==
[[Файл:Dodecahedron.gif|thumb|120px|[[Правильный додекаэдр]]]]
[[Файл:Rhombicdodecahedron.gif|thumb|120px|[[Ромбододекаэдр]]]]
С древнейших времён известна фигура, у которой 12 граней, это правильный додекаэдр. Такой додекаэдр — одно из пяти [[Платоновы тела|платоновых тел]] и обладает [[симметрия|симметрией вращения]] пятого порядка. Однако, у этого во многих отношениях идеального многогранника есть недостаток. Дело в том, что правильными пятиугольниками нельзя без зазоров покрыть плоскость. Также додекаэдрами невозможно плотно заполнить пространство. Из этого следует невозможность существования кристаллов с осями симметрии пятого порядка и невозможность существования [[кристалл]]ов в форме платонова додекаэдра. Однако, известны [[вирусы]] и [[белок|белки́]] в форме такого додекаэдра, с осями симметрии пятого порядка. Предполагают, что они приобрели такую форму во избежание [[Кристаллизация|кристаллизации]]. Также известны [[квазикристалл]]ы в форме правильного додекаэдра (такие как {{нп5|Квазикристалл сплава гольмия, магния и цинка|||holmium–magnesium–zinc quasicrystal}}) с [[Икосаэдральная симметрия|икосаэдральной симметрией]], котроая включает истинные оси вращения пятого порядка{{r|cf}}.

== [[Тело Кеплера — Пуансо|Правильные звездчатые додекаэдры]] ==
Три из четырёх тел Кеплера-Пуансо также являются правильными додекаэдрами.

== [[Ромбододекаэдр]] ==
Фигура, огранённая равными [[ромб]]ами и являющаяся [[Двойственный многогранник|двойственным]] [[кубооктаэдр]]у многогранником.

== Гексагональная [[бипирамида]] ==
Фигура, получающаяся при соединении двух одинаковых правильных шестиугольных пирамид через их основания.

<gallery>
Hexagonal bipyramid transparent.svg|Гексагональная бипирамида
</gallery>

== Другие додекаэдры с пятиугольными гранями ==
В [[Кристаллография|кристаллографии]] два важных додекаэдра встречаются в виде кристаллических форм
в некотором [[Кристаллографическая точечная группа симметрии|классе симметрий]] [[Кубическая сингония|кубической сингонии]],
которая топологически эквивалентна правильному додекаэдру, но менее симметрична — пиритоэдр с [[Пиритоэдральная симметрия|пиритоэдральной симметрией]]
и тетартоид с [[Тетраэдральная симметрия|тетраэдральной симметрией]].

=== [[Пентагондодекаэдр]] (пиритоэдр) ===
[[Файл:Polyhedron pyritohedron transparent max.gif|thumb|Пиритоэдр]]
Визуально очень похож на платоново тело, но имеет совсем другую симметрию — [[центральный вид симметрии]] [[Кубическая сингония|кубической сингонии]] (Th). Подобно правильному додекаэдру он имеет двенадцать одинаковых [[пятиугольник|пятиугольных]] граней при трёх сходящихся в каждой из 20 вершин гранях.
Однако не требуется, чтобы пятиугольники были правильными. Грани симметричны относительно плоскости, проходящей через центр фигуры. 30 рёбер многогранника делятся на два множества, содержащих 24 и 6 рёбер с одинаковыми длинами.
Единственные оси [[Вращательная симметрия|вращения]] — три попарно перпендикулярные второго порядка и четыре оси третьего порядка{{r|hs}}.
Хотя правильный додекаэдр не встречается в кристаллах, пиритоэдр является одной из [[Простая форма кристалла|простых форм кристаллов]], встречается в кристаллах [[пирит]]а{{r|hs}} и
это может послужить источником вдохновения для открытия формы [[Правильный многогранник|правильного многогранника]]{{r|stephenson}}.

[[Файл:Modell eines Kristalls des Minerals Pyrit (Eisernes Kreuz) -Krantz 375- (2), crop.jpg|190px|thumb|Двойственные положения в {{нп5|Модель кристалла|моделях кристаллов||crystal model}} пирита]]

==== Кристалл пирита ====
Название ''Кристалл пирита'' пришло из одного из двух [[Габитус кристаллов|габитусов (обликов) кристаллов]], образованных [[пирит]]ом (другой - [[куб]]).
В пиритоэдральном пирите грани имеют [[Индексы Миллера|индекс Миллера]] (210), что означает, что [[двугранный угол]] равен 2·arctan(2) ≈ 126.87°
и каждая пятиугольная грань имеет один угол примерно 121.6° между двумя углами примерно в 106.6°, а противоположные два угла равны примерно 102.6°.
Следующие формулы показывают размеры граней в идеальном кристалле (который редко встречается в природе).

<math>\text{Высота} = \frac{\sqrt{5}}{2} \cdot \text{Длинная сторона}</math>

<math>\text{Ширина} = \frac{4}{3} \cdot \text{Длинная сторона}</math>

<math>\text{Короткие стороны} = \sqrt{\frac{7}{12}} \cdot \text{Длинная сторона}</math>

{| 
|
{{Несколько изображений
| зона = left
| ширина = 320
| изобр1 = Pyrite-184681.jpg
| изобр2 = Pyrite-193871_angles.jpg
| подпись= Природный пирит (справа - с указанием величины углов на грани)
}}
|}

==== Декартовы координаты ====
Восемь вершин куба имеют координаты (±1, ±1, ±1).

Координаты 12 других вершин
<big>(</big>0, ±(1 + ''h''), ±(1 − ''h''2)<big>)</big>,
<big>(</big>±(1 + ''h''), ±(1 − ''h''2), 0<big>)</big> и
<big>(</big>±(1 − ''h''2), 0, ±(1 + ''h'')<big>)</big>.

Здесь ''h'' — высота [[Клин (геометрия)|клиновидной]] «крыши» над гранью губа со стороной длины 2.

Важный случай — ''h'' = {{sfrac|1|2}} (четверть длины куба) для идеального природного пирита (also the pyritohedron in the {{нп5|Структура Уэйра - Фелана|||Weaire–Phelan structure}}).

Другой важный случай — ''h'' = {{sfrac|1|[[Золотое сечение|φ]]}} = 0.618... для [[Правильный додекаэдр|правильного додекаэдра]].
Смотрите раздел ''[[#Геометрическая свобода|Геометрическая свобода]]'' для других вариантов.

Два пиритоэдра с обмененными ненулевыми координатами находятся в двойственных позиция друг друга как додекаэдры в {{нп5|Соединение двух додекаэдров|соединении двух додекаэдров||compound of two dodecahedra}}.

{|
|
{{Несколько изображений
|зона=left
|ширина= 160
|изобр1 = Polyhedron pyritohedron from yellow max.png
|изобр2 = Polyhedron pyritohedron from red max.png
|изобр3 = Polyhedron pyritohedron from blue max.png
|подпись= Ортогональные проекции пиритоэдра с ''h'' = 1/2
}}
|
{{Несколько изображений
|зона=left
|ширина=160
|изобр1 = Polyhedron pyritohedron max.png
|изобр2 = Polyhedron 12 pyritohedral max.png
|подпись= Высоты 1/2 и 1/[[Золотое сечение|''φ'']]
}}
|
|}

{| class="wikitable collapsible collapsed" style="text-align: center;"
!colspan="2"| Анимация
|- style="background-color: white;"
|style="width: 350px;"| [[Файл:Endo-dodecahedron honeycomb.gif|200px]]
|style="width: 350px;"| [[Файл:Pyritohedron animation.gif|200px]]
|-
| [[Соты (геометрия)|Соты]] из чередующихся выпуклых и вогнутых перитоэдров с высотой между ±{{sfrac|1|[[Золотое сечение|φ]]}}
| Высоты между 0 (куб) и 1 (ромбододекаэдр)
|}

==== Геометрическая свобода ====
Пиритоэдр имеет геометрическую свободу с предельными случаями - кубическая [[выпуклая оболочка]] с коллинеарными рёбрами в качестве одного предела и [[ромбододекаэдр]] в качестве другого предела, когда 6 рёбер вырождаются до нулевой длины. Пиритоэдр получается из ромбододекаэдра, если отклонить грань ромбододекаэдра в сторону вершины.
Правильный додекаэдр представляет специальный промежуточный случай, когда все рёбра и углы равны.

<gallery>
Pentagon Dodekaedr 3.png|[[индекс грани]] {10,9,0}
Pentagon Dodekaedr 2.png|[[индекс грани]] {2,1,0}
Pentagon Dodekaedr 1.png|[[индекс грани]] {7,1,0}
</gallery>

Можно обойти эти предельные случаи, создавая вогнутые или невыпуклые пиритоэдры.
''Эндододекаэдр'' является вогнутым и равносторонним, вместе с выпуклым правильным додекаэдром он может заполнять пространство.
Продолжая в том же направлении мы проходим вырожденный случай, когда двенадцать вершин оказываются в центре, и получаем правильный [[большой звёздчатый додекаэдр]],
когда все рёбра и углы снова становятся равными, а грани превращаются в правильные [[Пентаграмма|пентаграммы]].
В другую сторону проходим ромбододекаэдр и получаем невыпуклый равносторонний додекаэдр с похожими на рыбки самопересекающимися равносторонними пятиугольными гранями.

{| class="wikitable collapsible collapsed"
!colspan="8"| Специальные случаи пиритоэдра
|-
|colspan="8"| Версии с равными по абсолютной величине и противоположными знаками вместе образуют соты. (Сравните [[:File:Endo-dodecahedron honeycomb.gif|эту анимацию]].) 
Показанное отношение — отношение длин, а именно длин из множества 24 рёбер к длинам рёбер из множества 6 рёбер.
|-
! Отношение
!1 : 1
!0 : 1
!1 : 1
!2 : 1
!1 : 1
!0 : 1
!1 : 1
|-
!rowspan="2"| ''h''
! −{{sfrac|{{radic|5}} + 1|2}}
!rowspan="2"| −1
! {{sfrac|−{{radic|5}} + 1|2}}
!rowspan="2"| 0
! {{sfrac|{{radic|5}} − 1|2}}
!rowspan="2"| 1
! {{sfrac|{{radic|5}} + 1|2}}
|-
! −1.618...
! −0.618...
! 0.618...
! 1.618...
|- style="text-align: center; vertical-align: top;"
!style="vertical-align: middle;"| Изображение
|[[Файл:Great stellated dodecahedron.png|120px]] Правильная звезда, [[большой звёздчатый додекаэдр]], с гранями в виде [[пентаграмма|пентаграмм]]
|[[Файл:Degenerate-pyritohedron.png|120px]] Вырожденный додекаэдр, 12 вершин в центре
|[[Файл:Concave pyritohedral dodecahedron.png|120px]] Вогнутый равносторонний додекаэдр, называемый ''эндододекаэдром''.
|[[Файл:Pyritohedron cube.png|120px]] [[куб]] может быть разделён в пиритоэдр путём деления пополам всех рёбер и деления граней в чередующихся направлениях.
|[[Файл:Dodecahedron.png|120px]] Правильный додекаэдр является промежуточным случаем с равными длинами рёбер.
|[[Файл:Rhombicdodecahedron.jpg|120px]] [[Ромбододекаэдр]] является вырожденным случаем, когда 6 рёбер сокращаются до нулевой длины.
|[[Файл:exo-dodecahedron.png|120px]] Самопересекающийся равносторонний додекаэдр
|}

=== Тетартоид (пентагонтритетраэдр) ===
[[Файл:Tetartoid perspective.gif|thumb|Тетартоид]]
'''Тетартоид''' (также '''пентагонтритетраэдр''')
— это додекаэдр с хиральной [[Тетраэдральная симметрия|тетраэдральной симметрией]] (T). Подобно [[Правильный додекаэдр|правильному додекаэдру]],
он имеет двенадцать одинаковых [[Пятиугольник|пятиугольных]] граней, которые по три встречаются в каждой из 20 вершин.
Однако пятиугольники не являются правильными и фигура не обладает осями симметрии порядка 5.

[[Файл:Cobaltite-d05-67a.jpg|143px|thumb|[[Кобальтин]]]]
Хотя правильный додекаэдр в кристаллах не существует, тетартоидная форма встречается.
Название тетартоид происходит от греческого «одна четвёртая», поскольку он имеет четверть полной октаэдральной симметрии и половину пирамидальной<ref>Dutch, Steve. [https://www.uwgb.edu/dutchs/symmetry/xlforms.htm The 48 Special Crystal Forms] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20130918103121/https://www.uwgb.edu/dutchs/symmetry/xlforms.htm |date=2013-09-18 }}. Natural and Applied Sciences, [[University of Wisconsin-Green Bay]], U.S.</ref>
Минерал [[кобальтин]] может иметь симметрию этого вида<ref>[http://www.galleries.com/minerals/property/crystal.htm#dodecahe Crystal Habit]. Galleries.com. Retrieved on 2016-12-02.</ref>.

Абстракции, имеющие ту же [[Топология|топологию]] и симметрию, что и тело, могут быть созданы из куба и тетраэдра.
В кубе каждая грань делится пополам наклонным ребром.
В тетраэдре каждое ребро делится на три части и каждая новая вершина соединяется с центром одной из граней.
(В [[Нотация Конвея для многогранников|нотации Конвея]] это гиротетраэдр.)

{|
|
{{Несколько изображений
|зона=left
|ширина=160
|изобр1 = Tetartoid from red.png
|изобр2 = Tetartoid from green.png
|изобр3 = Tetartoid from yellow.png
|подпись= Ортогональные проекции на 2- и 3-кратные оси
}}
|
{{Несколько изображений
|зона=left
|ширина=160
|изобр1= Tetartoid cube.png
|изобр2 = Tetartoid tetrahedron.png
|подпись= Кубическая и тетраэдральная формы
}}
|}

{| class="wikitable collapsible collapsed"
!Связь с диакисдодекаэдром
|-
|style="width: 760px;"|
Тетартоид может быть создан путём удлинения 12 из 24 граней {{нп5|Диакисдодекаэдр|диакисдодекаэдра||Dyakis dodecahedron}}.
(Тетартоид, показанный здесь, сам получен путём увеличения 24 из 48 граней [[дисдакисдодекаэдр]]а.)

{|
|
{{Несколько изображений
|зона=left
|ширина=160
|изобр1= Tetartoid dark vertical (with traces of dyakis 12).png
|изобр2 = Disdyakis 12 untruncated to dyakis 12 vertical.png
|изобр3 = Tetartoid light vertical (with traces of dyakis 12).png
|подпись= [[Хиральность|Хиральные]] тетартоиды, основанные на диакисдодекаэдре (в середине)
}}
|
[[Файл:Crystal model of tetartoid around dyakis dodecahedron (mirrored).jpg|thumb|right|155px|Модель кристалла]]
|}
{{нп5|Модель кристалла|моделях кристаллов||crystal model}} справа показывает тетартоид, созданный путём удлинения синих граней диакисдодекаэдра.
Поэтому рёбра между синими гранями покрыты красными скелетными рёбрами.
|}

==== Декартовы координаты ====
Следующие точки являются вершинами тетартоида с [[Тетраэдральная симметрия|тетраэдральной симметрией]]:
:(''a'', ''b'', ''c''); (−''a'', −''b'', ''c''); (−{{sfrac|''n''|''d''1}}, −{{sfrac|''n''|''d''1}}, {{sfrac|''n''|''d''1}}); (−''c'', −''a'', ''b''); (−{{sfrac|''n''|''d''2}}, {{sfrac|''n''|''d''2}}, {{sfrac|''n''|''d''2}}),
при следующих условиях:<ref>[http://demonstrations.wolfram.com/TheTetartoid/ The Tetartoid]. Demonstrations.wolfram.com. Retrieved on 2016-12-02.</ref>
:{{nowrap|1=0 ≤ ''a'' ≤ ''b'' ≤ ''c''}},
:''n'' = ''a''2''c'' − ''bc''2,
:''d''1 = ''a''2 − ''ab'' + ''b''2 + ''ac'' − 2''bc'',
:''d''2 = ''a''2 + ''ab'' + ''b''2 − ''ac'' − 2''bc'',
:{{nowrap|1=''nd''1''d''2 ≠ 0}}.

==== Геометрическая свобода ====

[[Правильный додекаэдр]] — это тетартоид с большей симметрией, чем требуется. [[Триакистетраэдр]] является вырожденным случаем с 12 рёбрами нулевой длины.
(В терминах цветов, использованных выше, это означает, белые вершины и зелёные рёбра поглощаются зелёными вершинами.)

{| class="wikitable collapsible collapsed"
!colspan="8"| Вариации тетартоида от [[Правильный додекаэдр|правильного додекаэдра]] до [[триакистетраэдр]]а
|- style="background-color: white;"
|[[Файл:Dodecahedron.png|140px]]
|[[Файл:Tetartoid-010.png|150px]]
|[[Файл:Tetartoid-020.png|150px]]
|[[Файл:Tetartoid-040.png|150px]]
|[[Файл:Tetartoid-060.png|150px]]
|[[Файл:Tetartoid-080.png|150px]]
|[[Файл:Tetartoid-095.png|150px]]
|[[Файл:Triakistetrahedron.svg|100px]]
|}
{{Clear}}

==Примечания==
{{примечания|2|refs=
<ref name="hs">{{книга
|автор=Cornelius S. Hurlbut, W. Edwin Sharp
|год=1998
|издание= 4th
|заглавие=Dana's Minerals and How to Study Them
|издательство= John Wiley & Sons
|ссылка= http://books.google.com/books?id=pgn5w0JPWlMC&pg=PA26
|страницы= 26
}}</ref>
<ref name="stephenson">{{статья
|автор=Paul Stephenson
|заглавие=Plato's Fourth Solid and the "Pyritohedron"
|ссылка=https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_1993-07_77_479/page/220
|издание= The Mathematical Gazette
|том=77
|выпуск= 479
|год= 1993
|страницы=220–226
|doi=10.2307/3619718
|jstor=3619718
}}</ref>
<ref name="cf">{{статья
|автор=Paul C. Canfield, Ian R. Fisher
|заглавие=High-temperature solution growth of intermetallic single crystals and quasicrystals
|издание=Journal of Crystal Growth
|издательство= Elsevier BV
|том=225
|выпуск=2–4
|год= 2001
|страницы=155–161
|issn=0022-0248
|doi=10.1016/s0022-0248(01)00827-2
}}</ref>
}}

== Ссылки ==
{{Навигация|Тема=Двенадцатигранники|Викисловарь=двенадцатигранник}}
{{Внешние ссылки}}
{{Многогранники}}

[[Категория:Многогранники]]

Двенадцатигранники - История изменений

imported>Д.Ильин: img