imported>Sldst-bot: Удаление topic=math из ш:Rq — уже отслеживается через ш:Статья проекта Математика на СО

2025-09-04T19:28:01Z

Удаление topic=math из ш:Rq — уже отслеживается через ш:Статья проекта Математика на СО

Новая страница

'''Группой Ли''' над полем <math>K</math> (<math>K=\R</math> или <math>\mathbb C</math>) называется [[группа (математика)|группа]] <math>G</math>, снабжённая структурой [[Дифференцируемое многообразие|дифференцируемого]] (гладкого) [[многообразие|многообразия]] над <math>K</math>, причём отображения <math>\operatorname{mul}</math> и <math>\operatorname{inv}</math>, определённые так:

: <math>\operatorname{mul}\colon G\times G \rightarrow G;\ \operatorname{mul}\,(x, y) = xy</math>,

: <math>\operatorname{inv}\colon G\rightarrow G;\ \ \operatorname{inv}\,x=x^{-1}</math>

являются [[гладкая функция|гладкими]] (в случае поля <math>\mathbb C</math> требуют [[голоморфная функция|голоморфности]] введённых отображений).

Другими словами, группой Ли называется [[топологическая группа]], если она является [[Параметрическая группа|параметрической]] и если функция, задающая закон умножения, является вещественно-аналитичной{{sfn|Желобенко|с=27|1970}}.

Всякая комплексная <math>n</math>-мерная группа Ли является вещественной группой Ли размерности
<math>2n</math>.
Всякая комплексная группа Ли по определению является аналитическим многообразием, но и в вещественном случае на любой группе Ли существует аналитический [[атлас (математика)|атлас]], в котором отображения <math>\operatorname{mul}</math> и <math>\operatorname{inv}</math> записываются [[аналитическая функция|аналитическими функциями]].

Изучение групп Ли было начато независимо [[Киллинг, Вильгельм|Вильгельмом Киллингом]] и [[Софус Ли|Софусом Ли]].

Группы Ли естественно возникают при рассмотрении [[Непрерывная симметрия|непрерывных симметрий]].
Например, движения плоскости образуют группу Ли.
Группы Ли являются в смысле богатства структуры лучшими из многообразий и как таковые очень важны в [[Дифференциальная геометрия и топология|дифференциальной геометрии и топологии]].
Они также играют важную роль в геометрии, физике, [[Групповой анализ дифференциальных уравнений|теории дифференциальных уравнений]].

== Типы групп Ли ==
Группы Ли классифицируются по своим алгебраическим свойствам ([[Простая группа Ли|простоте]], [[Полупростая группа Ли|полупростоте]], [[разрешимая группа|разрешимости]], [[нильпотентная группа|нильпотентности]], [[абелева группа|абелевости]]), а также по топологическим свойствам ([[связное пространство|связности]], [[односвязное пространство|односвязности]] и [[компактное пространство|компактности]]).

== Подгруппы Ли ==
Подгруппа <math>H</math> группы Ли <math>G</math> называется её ''подгруппой Ли'', если она является подмногообразием в многообразии <math>G</math>, то есть найдётся <math>m>0</math>, такое, что <math>H</math> задаётся в окрестности каждой своей точки <math>p</math> системой из <math>k</math> функций, имеющей в <math>p</math> ранг <math>m</math>.
Не всякая подгруппа является подгруппой Ли: например, подгруппа пар вида <math>(e^{ix}, e^{i\pi x})</math> в торе <math>\{(e^{ix},e^{iy})\mid x,y\in\R\}</math> не является подгруппой Ли (она даёт всюду плотную обмотку тора). Подгруппа Ли всегда замкнута.
В вещественном случае [[Теорема о замкнутой подгруппе|верно и обратное]]: замкнутая подгруппа является подгруппой Ли.
В комплексном случае это не так: бывают вещественные подгруппы Ли комплексной группы Ли, имеющие нечетную размерность, например, [[унитарная матрица|унитарные матрицы]] в группе обратимых комплексных матриц <math>2\times 2</math>.

Пусть <math>H</math> — подгруппа Ли группы Ли <math>G</math>. Множество <math>G/H</math> смежных классов (безразлично, левых или правых) можно единственным образом наделить структурой дифференцируемого многообразия так, чтобы каноническая проекция была дифференцируемым отображением. При этом получится локально тривиальное расслоение, и если <math>H</math> — [[нормальная подгруппа]], то факторгруппа будет группой Ли.

== Гомоморфизмы и изоморфизмы ==
Пусть <math>G</math> и <math>H</math> — группы Ли над одним и тем же полем. ''Гомоморфизмом'' групп Ли называется отображение <math>f\colon G\to H</math>, являющееся [[гомоморфизм групп|гомоморфизмом групп]] и одновременно аналитическим отображением многообразий (можно показать, что для выполнения последнего условия достаточно непрерывности <math>f</math>). Композиция гомоморфизмов групп Ли снова будет гомоморфизмом групп Ли. Классы всех вещественных и всех комплексных групп Ли вместе с соответствующими гомоморфизмами образуют [[теория категорий|категории]] <math>\operatorname{Lie}_\R</math> и <math>\operatorname{Lie}_\Complex</math>. Гомоморфизм групп Ли называется ''изоморфизмом'', если существует обратный. Две группы Ли, между которыми существует изоморфизм, как обычно в абстрактной алгебре, называются изоморфными. Как обычно, группы Ли различают лишь с точностью до изоморфизма. Например, группа Ли <math>SO(2)</math> поворотов плоскости с операцией композиции и группа Ли <math>U(1)</math> комплексных чисел, равных по модулю единице, с операцией умножения являются изоморфными.

Пример иррациональной обмотки тора показывает, что образ группы Ли при гомоморфизме не всегда является подгруппой Ли. Однако прообраз подгруппы Ли при гомоморфизме всегда является подгруппой Ли.

Гомоморфизм группы Ли <math>G</math> над полем <math>K</math> в группу <math>GL(V)</math> невырожденных линейных преобразований векторного пространства <math>V</math> над полем <math>K</math> называется ''представлением группы <math>G</math> в пространстве <math>V</math>.

== Действия групп Ли ==
Группы Ли часто выступают как симметрии какой-либо структуры на некотором многообразии, а потому естественно, что изучение [[действие группы|действий]] групп Ли на различных многообразиях является важным разделом теории. Говорят, что группа Ли ''G'' ''действует'' на гладком многообразии ''M'', если задан гомоморфизм групп ''a'': ''G'' → ''Diff M'', где ''Diff M'' — группа диффеоморфизмов ''M''. Таким образом, каждому элементу ''g'' группы ''G'' должно соответствовать диффеоморфное преобразование ''a<sub>g</sub>'' многообразия ''M'', причём произведению элементов и взятию обратного элемента отвечают соответственно композиция диффеоморфизмов и обратный диффеоморфизм. Если из контекста ясно, о каком действии идёт речь, то образ ''a''<sub>''g''</sub>(''m'') точки ''m'' при диффеоморфизме, определяемом элементом ''g'', обозначается просто ''gm''.

Группа Ли естественно действует на себе левыми и правыми сдвигами, а также сопряжениями. Эти действия традиционно обозначаются ''l'', ''r'' и ''a'':

: <math>l_g(h) = gh</math>,
: <math>r_g(h) = hg</math>,
: <math>a_{g} (h) = g h g ^{-1}</math>.

Другим примером действия является действие группы Ли <math>G</math> на множестве смежных классов этой группы по какой-нибудь подгруппе Ли <math>N \leqslant G</math>:

: <math>g (hN) = (gh)N</math>,

[[Действие группы]] Ли <math>G</math> на дифференцируемом многообразии ''M'' называется ''транзитивным'', если любую точку <math>M</math> можно перевести в любую другую посредством действия некоторого элемента <math>G</math>. Многообразие, на котором задано транзитивное действие группы Ли, называется ''[[Однородное пространство|однородным пространством]]'' этой группы. Однородные пространства играют важную роль во многих разделах геометрии. Однородное пространство группы <math>G</math> диффеоморфно <math>G / {\mathop{\rm st}}(x)</math>, где <math>{\mathop{\rm st}}(x)</math> — [[Действие группы|стабилизатор]] произвольной точки.

== Алгебра Ли группы Ли ==

[[Алгебра Ли]] полностью определяет локальную структуру своей группы Ли.

[[Векторное поле]] на группе Ли <math>G</math> называется ''левоинвариантным'', если оно коммутирует с левыми сдвигами, то есть
: <math>X(l^*_g (f)) = l^*_g(X(f))</math> для всех <math>g</math> из <math>G</math>, и любой дифференцируемой функции <math>f</math>.
Эквивалентно,
: <math>dl_g X_p = (l_g)_* X_p = X_{gp}</math> для всех <math>p</math>, <math>g</math> из <math>G</math>.

Очевидно, любое левоинвариантное векторное поле ''<math>X</math>'' на группе Ли полностью определяется своим значением ''<math>X_e
</math>'' в единице. Наоборот, задав произвольный вектор ''<math>X</math>'' в касательном пространстве ''<math>T_e G</math>'' к единице, можно разнести его левыми сдвигами по всей группе. Получается взаимно однозначное соответствие между касательным пространством к группе в единице и пространством левоинвариантных векторных полей.

Скобка Ли <math>[X,Y]</math> левоинвариантных векторных полей будет левоинвариантным векторным полем. Поэтому ''<math>T_e G</math>'' является [[алгебра Ли|алгеброй Ли]].
Эта алгебра <math>\mathfrak{g}</math> называется ''алгеброй Ли группы <math>G</math>''.
(Обычно алгебра обозначается соответствующей малой готической буквой.)

== См. также ==
* [[Алгебра Ли]]
* [[Дифференциальная геометрия и топология]]
* [[Простая группа Ли]]

== Примечания ==
{{Примечания}}

== Литература ==
* {{БРЭ|статья=Теория групп Ли|ссылка=https://old.bigenc.ru/mathematics/text/2648980|архив=https://web.archive.org/web/20220815064037/https://bigenc.ru/mathematics/text/2648980|архив дата=2022-08-15}}
* Винберг Э. Б., Онищик А. Л. Семинар по группам Ли и алгебраическим группам. 1988, 1995
* Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т.20. Группы Ли и алгебры Ли — 1. — М.: ВИНИТИ, 1988.
* [[Адамс, Джон Фрэнк|Адамс Дж. Ф.]] Лекции по группам Ли. — М.: Наука, 1979.
* ''[[Николя Бурбаки|Бурбаки Н.]]'' Группы и алгебры Ли. Главы I—III. — М.: Мир, 1976. — 496 с.
* ''[[Николя Бурбаки|Бурбаки Н.]]'' Группы и алгебры Ли. Глава IX. — М.: Мир, 1986. — 174 с.
* {{книга | автор =[[Желобенко, Дмитрий Петрович|Желобенко Д. П.]]|заглавие =Компактные группы Ли и их представления| место =М.|издательство =Наука|год =1970|страниц =664|isbn =| ref =Желобенко}}
* {{книга | автор =[[Постников, Михаил Михайлович|Постников М. М.]]|заглавие =Группы и алгебры Ли| место =М.|издательство =Наука|год =1982|страниц =447|isbn =|серия = Лекции по геометрии. Семестр V | ref =Постников}}

Ресурсы [http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library физико-математической библиотеки] {{Wayback|url=http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library |date=20070714151750 }} сайта [http://eqworld.ipmnet.ru/ru EqWorld Мир математических уравнений] {{Wayback|url=http://eqworld.ipmnet.ru/ru |date=20081003101257 }}:
* [http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/SofusLi1962ru.djvu Семинар «Софус Ли». Теория алгебр Ли. Топология групп Ли. — М.: ИЛ, 1962 (djvu)] {{Wayback|url=http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/SofusLi1962ru.djvu |date=20180619213935 }}
* [http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Serr1969ru.djvu Серр Ж.-П. Алгебры Ли и группы Ли. — М.: Мир, 1969 (djvu)] {{Wayback|url=http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Serr1969ru.djvu |date=20151208145815 }}

{{Теория групп}}
{{rq|
{{нет сносок|дата=2014-01-21}}
{{оформить литературу|дата=2014-01-21}}
}}

[[Категория:Группы Ли|*]]
[[Категория:Симметрия (математика)]]

Группа Ли - История изменений

imported>Sldst-bot: Удаление topic=math из ш:Rq — уже отслеживается через ш:Статья проекта Математика на СО