imported>Sldst-bot: Удаление topic=math из ш:Rq — заменено на отслеживание через ш:Статья проекта Математика на СО

2025-09-04T19:27:54Z

Удаление topic=math из ш:Rq — заменено на отслеживание через ш:Статья проекта Математика на СО

Новая страница

'''Градуированная алгебра''' — [[алгебра над кольцом|алгебра]] <math display="inline">A</math>, разложенная в прямую сумму <math display="inline">A=\bigoplus_{r=-\infty}^{\infty} A_r</math> своих подпространств <math>A_r</math> таким способом, что выполняется условие <math display="inline">A_rA_s\subset A_{r+s}\ (r, s\in\mathbb{Z})</math>.<ref>Данная градуированная алгебра называется также <math display="inline">\mathbb{Z}</math>-градуированной.</ref><ref>{{Книга|автор=|заглавие=Математический энциклопедический словарь|ссылка=https://archive.org/details/libgen_00008537|ответственный=Гл. ред. Ю. В. Прохоров; Ред. кол.: С. И. Адян, Н. С. Бахвалов, В. И. Битюцков, А. П. Ершов, Л. Д. Кудрявцев, А. Л. Онищик, А. П. Юшкевич|издание=|место=М.|издательство=Сов. энциклопедия|год=1988|страницы=[https://archive.org/details/libgen_00008537/page/n159 161]|страниц=847|isbn=|isbn2=|тираж=150000}}</ref>

== Определение ==
Пусть ''A'' — алгебра над кольцом ''k'', ''G'' — [[полугруппа]].

Алгебра ''A'' называется ''G''-'''градуированной''' (синоним: на ''A'' задана ''G''-'''градуировка'''), если ''A'' разлагается в [[прямая сумма|прямую сумму]] ''k''-модулей <math>A_g</math> по всем элементам ''g'' из ''G'', причём умножение в алгебре согласовано с умножением в полугруппе:
: <math>A_f A_g \subset A_{fg}</math>
Если ненулевой элемент ''a'' принадлежит <math>A_g</math>, то он называется однородным степени ''g''.

Когда в качестве ''G'' берут аддитивную группу целых чисел или полугруппу целых неотрицательных чисел, алгебру ''A'' называют просто градуированной.

Если в качестве ''A'' в определении выше взять [[Кольцо (математика)|кольцо]], то получится определение ''градуированного кольца''.

== Конструкции с градуировками ==
* Если ''A'' — ''G''-градуированная алгебра, а <math>\psi : G\to H</math> — [[гомоморфизм]] полугрупп, тогда ''A'' наделяется ''H''-градуировкой по правилу:
: <math>A_h=\oplus_{\{g\in G \mid \psi (g)=h\}} A_g</math>

* На любой алгебре ''A'' можно ввести ''тривиальную'' градуировку любой полугруппой ''G'' с единицей ''e'', полагая <math>A_e=A</math>, поэтому такие «бедные» градуировки рассматривать не имеет смысла.

* Над полем <math>\mathbb{C}</math> любая алгебра ''A'' градуируется группой ''G'' [[группа характеров|характеров]] [[максимальный тор|максимального тора]] своей группы алгебраических автоморфизмов:
*: <math>G=(T(\operatorname{Aut}_{k\text{-alg}}(A)))^\vee:\quad A_g=\{a\in A \mid \phi (a)=g(\phi)a</math> для всякого <math>\phi\in T(\operatorname{Aut}_{k\text{-alg}}(A))\}</math>
: Эта градуировка, в вышеопределённом смысле, — «самая богатая» из всех абелевых градуировок алгебры ''A'', поскольку на любой ''G''-градуированной алгебре ''A'' группа характеров ''G'' действует автоморфизмами, по той же формуле.

== Примеры ==
* Кольцо [[многочлен]]ов от одной или нескольких переменных.
* [[Гомология (топология)#Когомологии|Кольцо когомологий]].
* [[Алгебра матриц]] порядка ''n'' градуируется группой <math>\mathbb{Z}_{n-1}.</math>
* {{iw|Полугрупповая алгебра|||semigroup algebra}} <math>K\left[G\right]</math> — является ''G''-градуированной алгеброй.

== Градуированный модуль ==
Соответствующее понятие в теории модулей — '''градуированный модуль''', а именно, левый модуль ''M'' над градуированным кольцом ''A'', такой, что
:<math display="inline">M = \bigoplus_{i\in \mathbb Z}M_i</math> и <math display="inline">A_iM_j \subseteq M_{i+j}.</math>

Морфизм градуированных модулей <math>f: N \to M</math> — это морфизм модулей, который сохраняет градуировку, то есть <math>f(N_i) \subseteq M_i</math>.

Для градуированного модуля ''M'' можно определить ''ℓ''-подкрутку <math>M(\ell)</math> как градуированный модуль, определённый правилом <math>M(\ell)_n = M_{n+\ell}</math>. (См. [[скручивающий пучок Серра]] в алгебраической геометрии.)

Пусть ''M'' и ''N'' — градуированные модули. Если <math>f: M \to N</math> — морфизм модулей, то говорят, что ''f'' имеет степень ''d'', если <math>f(M_n) \subset N_{n+d}</math>. [[Внешняя производная]] дифференциальной формы в дифференциальной геометрии — это пример морфизма степени 1.

== Литература ==
* {{книга|автор=C. Nastasescu, F. Van Oystaeyen|заглавие=Graded Ring Theory|место=Amsterdam|издательство=North-Holland|год=1982|isbn=9780444864895}}

== Примечания ==
{{примечания}}

{{rq|
{{стиль статьи|дата=2014-10-20}}
{{нет сносок|дата=2014-10-20}}
}}

[[Категория:Алгебры над кольцами]]
[[Категория:Математическая логика]]

Градуированная алгебра - История изменений

imported>Sldst-bot: Удаление topic=math из ш:Rq — заменено на отслеживание через ш:Статья проекта Математика на СО