imported>Sldst-bot: Обновление параметров шаблонов перевода (ш:Плохой перевод: +язык=en, +оригинал=Group homomorphism) по данным ш:Переведённая статья на СО

2025-08-28T20:26:05Z

Обновление параметров шаблонов перевода (ш:Плохой перевод: +язык=en, +оригинал=Group homomorphism) по данным ш:Переведённая статья на СО

Новая страница

[[Файл:Group homomorphism ver.2.svg|right|мини|250px|Гомоморфизм группы ('''h''') из '''G''' (слева) в '''H''' (справа). Меньший овал внутри '''H''' —
образ '''h'''. '''N''' является ядром '''h''', а '''aN''' является
[[Класс смежности|смежным классом]] '''N'''.]]

В [[Математика|математике]], если заданы две [[Группа (математика)|группы]] (''G'', ∗) и (''H'', •), '''гомоморфизм групп''' из (''G'', ∗) в (''H'', •) — это [[Функция (математика)|функция]] ''h'' : ''G'' → ''H'', такая, что для всех ''u'' и ''v'' из ''G'' выполняется

: <math> h(u*v) = h(u) \cdot h(v), </math>

где групповая операция слева от знака «=» относится к группе ''G'', а операция справа относится к группе ''H''.

Отсюда можно вывести, что ''h'' отображает [[нейтральный элемент]] ''eG'' группы ''G'' в нейтральный элемент ''eH'' группы ''H'', а также отображает обратные элементы в обратные в том смысле, что
: <math> h(u^{-1}) = h(u)^{-1}.</math>
Таким образом, можно сказать, что ''h'' «сохраняет групповую структуру».

В более ранних работах ''h''(''x'') могло обозначаться как ''x''''h'', хотя это может привести к путанице с индексами. В последнее время наметилась тенденция опускать скобки при записи гомоморфизма, так что ''h''(''x'') превращается просто в ''x h''. Эта тенденция особенно заметна в областях теории групп, где применяется [[Теория автоматов|автоматизация]], поскольку это лучше согласуется с принятым в автоматах чтении слов слева направо.

В областях математики, где группы снабжаются дополнительными структурами, ''гомоморфизм'' иногда понимается как отображение, сохраняющее не только структуру группы (как выше), но и дополнительную структуру. Например, гомоморфизм [[Топологическая группа|топологических групп]] часто предполагается непрерывным.

== Понятие ==
Цель определения гомоморфизма группы — создать функции, сохраняющие алгебраическую структуру. Эквивалентное определение гомоморфизма группы: Функция ''h'' : ''G'' → ''H'' является гомоморфизмом группы, если из ''a'' ∗ ''b'' = ''c'' следует ''h''(''a'') ⋅ ''h''(''b'') = ''h''(''c''). Другими словами, группа ''H'' в некотором смысле подобна алгебраической структуре ''G'' и гомоморфизм ''h'' сохраняет её.

== Образ и ядро ==
Определим ''[[Ядро (алгебра)|ядро]] h'' как множество элементов из ''G'', которые отображаются в нейтральный элемент в ''H''

: <math> \ker(h) := \{u \in G : h(u) = e_{H}\}\mbox{.}</math>

и ''[[Образ (математика)|образ]] h'' как

: <math> \mathop{\mathrm{Im}}(h) := h(G) :=\left\{h(u)\colon u\in G\right\}\mbox{.}</math>

Ядро h является [[Нормальная подгруппа|нормальной подгруппой]] ''G'', а образ h является [[Подгруппа|подгруппой]] ''H'':
: <math>h\left(g^{-1} \circ u\circ g\right)= h(g)^{-1}\cdot h(u)\cdot h(g) = h(g)^{-1}\cdot e_H\cdot h(g) = h(g)^{-1}\cdot h(g) = e_H.</math>
Гомоморфизм ''h'' является [[Инъекция (математика)|инъективным]] (и называется ''мономорфизмом группы'') в том и только в том случае, когда ker(''h'') = {''e''''G''}.

Ядро и [[Образ (математика)|образ]] гомоморфизма можно понимать как измерение, насколько гомоморфизм близок к изоморфизму. [[Теоремы об изоморфизме|Первая теорема об изоморфизме]] утверждает, что образ гомоморфизма группы ''h''(''G'') изоморфен факторгруппе ''G''/ker ''h''.

== Примеры ==
* Возьмём [[Циклическая группа|циклическую группу]] <math>\mathbb{Z}/3\mathbb{Z} = {0, 1, 2}</math> и группу целых чисел <math>\mathbb{Z}</math> по сложению. Отображение <math>h: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}</math> с <math>h(u) = u \bmod 3</math> является гомоморфизмом. Оно [[Сюръекция|сюръективно]], и его ядро состоит из целых чисел, делящихся на 3.

* Возьмём группу

:: <math>G:=\left\{\begin{pmatrix}
a & b \\
0 & 1 \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^2\bigg| \exists a>0,b\in\mathbb{R}\right\}</math>

: Для любого комплексного числа <math>u</math> функция <math>f^u: G \to \mathbb{C}</math>, определённая как:

:: <math>\begin{pmatrix}
a & b \\
0 & 1 \end{pmatrix}\mapsto a^u
</math>

: является гомоморфизмом.

* Возьмём группу положительных вещественных чисел с операцией умножения <math>(\mathbb{R}^+, \cdot)</math>. Для любого комплексного числа <math>u</math> функция <math>f^u: \mathbb{R}^+ \to \mathbb{C}</math>, определённая как

:: <math>f_u(a)=a^u</math>

: является гомоморфизмом.

* [[Экспонента|Экспоненциальное отображение]] является гомоморфизмом из группы [[Вещественное число|вещественных чисел]] <math>\mathbb{R}</math> по сложению в группу ненулевых вещественных чисел <math>\mathbb{R}\setminus\{0\}</math> по умножению. Ядром является множество <math>\{0\}</math>, а образ состоит из вещественных положительных чисел.

* Экспоненциальное отображение также образует гомоморфизм из группы [[Комплексное число|комплексных чисел]] <math>\mathbb{C}</math> по сложению в группу ненулевых комплексных чисел <math>\mathbb{C}\setminus\{0\}</math> по умножению. Это отображение сюръективно, его ядром является множество <math>\{2\pi ki \in \mathbb{C} \mid \exists k \in \mathbb{Z}\}</math>, как можно видеть из [[Формула Эйлера|формулы Эйлера]]. Поля, подобные <math>\mathbb{R}</math> и <math>\mathbb{C}</math>, имеющие гомоморфизм из группы по сложению в группу по умножению, называют {{не переведено 5|Экспоненциальное поле|экспоненциальными полями||exponential field}}.

== Категории групп ==
Если ''h'' : ''G'' → ''H'' и ''k'' : ''H'' → ''K'' являются гомоморфизмами групп, то и ''k'' o ''h'' : ''G'' → ''K'' тоже гомоморфизм. Это показывает, что класс всех групп, вместе с гомоморфизмами групп в качестве морфизмов, образуют [[Теория категорий|категорию]].

== Виды гомоморфных отображений ==
Если гомоморфизм ''h'' является [[Биекция|биекцией]], то можно показать, что обратное отображение тоже является гомоморфизмом групп, и тогда ''h'' называется [[изоморфизм]]ом. В этом случае группы ''G'' и ''H'' называются ''изоморфными'' — они различаются только обозначением элементов и операции и идентичны для практического применения.

Если ''h'': ''G'' → ''G'' является гомоморфизмом групп, мы называем его ''[[эндоморфизм]]ом'' ''G''. Если же оно и биективно, а следовательно, является изоморфизмом, оно называется ''[[автоморфизм]]ом''. Множество всех автоморфизмов группы ''G'' с композицией функций в качестве операции само образует группу, ''группу автоморфизмов'' ''G''. Эта группа обозначается как Aut(''G''). Как пример, автоморфизм группы ('''Z''', +) содержит только два элемента (тождественное преобразование и умножение на −1), и он изоморфен '''Z'''/2'''Z'''.

'''Эпиморфизм''' — это [[Сюръекция|сюръективный]] гомоморфизм, то есть гомоморфизм ''на''. '''Мономорфизм''' — это [[Инъекция (математика)|инъективный]] гомоморфизм, то есть гомоморфизм ''один-к-одному''.

== Гомоморфизмы абелевых групп ==

=== Групповая структура ===
{{Основная статья|Группа гомоморфизмов}}

Если группа <math>(H,\cdot)</math> — [[Абелева группа|абелева]], то множество <math>\mathrm{Hom}(G, H)</math> всех гомоморфизмов из группы <math>G</math> в группу <math>H</math> само является абелевой группой относительно следующей бинарной операции ''поэлементного сложения'', обозначаемой символом <math>+</math>: для двух гомоморфизмов <math>f</math> и <math>g</math> гомоморфизм <math>f + g</math> определяется формулой
: <math>(f+g)(x) := f(x) \cdot g(x),</math>
где <math>x\in G</math>.

=== Структура кольца ===
{{Основная статья|{{не переведено 5|Кольцо эндоморфизмов|Кольцо эндоморфизмов|en|endomorphism ring}}}}

Относительно указанной выше операции операция композиции является [[Дистрибутивность|дистрибутивной]]. А именно, для любых гомоморфизмов <math>f\in\mathrm{Hom}(K, G)</math>, <math>h,k\in\mathrm{Hom}(G, H)</math> и <math>g\in\mathrm{Hom}(H,L)</math> выполняются следующие равенства:
: <math>\begin{align}(h + k) \circ f &= (h \circ f) + (k \circ f) \\ g \circ (h + k) &= (g \circ h) + (g \circ k).\end{align}</math>
В частности, множество <math>\mathrm{End}(H) := \mathrm{Hom}(H, H)</math> всех эндоморфизмов абелевой группы <math>H</math> образует [[Кольцо (математика)|кольцо]], в котором аналогом сложения является вышеописанная операция, а умножения — композиция. Оно называется '''''кольцом эндоморфизмов''''' группы <math>H</math>.

Например, <math>\mathrm{End}(\Z) \cong \Z</math> и <math>\mathrm{End}(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}) \cong \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}</math>. Кроме того, для любой абелевой группы <math>A</math> кольцо эндоморфизмов [[прямое произведение групп|прямого произведения]] <math>A^m</math> изоморфно кольцу [[Матрица (математика)|матриц]] <math>m \times m</math> с элементами из группы <math>\mathrm{End}(A)</math>:

: <math>\mathrm{End}(A^m) = M_m(\mathrm{End}(A)).</math>

Упомянутая выше дистрибутивность также показывает, что категория всех абелевых групп и их гомоморфизмов образует [[Предаддитивная категория|предаддитивную категорию]]. Существование прямых сумм и ядер с хорошо обусловленным поведением делает эту категорию примером [[Абелева категория|абелевой категории]].

== См. также ==
* {{не переведено 5|Фундаментальная теорема о гомоморфизмах|Фундаментальная теорема о гомоморфизмах||Fundamental theorem on homomorphisms}}
* [[Псевдохарактер]]

== Ссылки ==
* {{книга
| автор = D. S. Dummit, R. Foote
| заглавие = Abstract Algebra
| ссылка = https://archive.org/details/abstractalgebra00dsdu
| издательство = Wiley
| страницы = [https://archive.org/details/abstractalgebra00dsdu/page/n83 71]-72
| год = 2004
| издание = 3
| isbn = 9780471433347
}}
* {{книга
| автор = Ленг С.
| заглавие = Алгебра
| издательство = Мир
| место = Москва
| год = 1968
}}

{{rq|
{{плохой перевод|язык=en|оригинал=Group homomorphism|дата=2014-10-30}}
{{стиль статьи|дата=2014-10-30}}
}}

[[Категория:Теория групп]]
[[Категория:Морфизмы]]

Гомоморфизм групп - История изменений

imported>Sldst-bot: Обновление параметров шаблонов перевода (ш:Плохой перевод: +язык=en, +оригинал=Group homomorphism) по данным ш:Переведённая статья на СО