imported>Sldst-bot: ш:rq убран, т.к. осталась одна проблема: refless → ш:нет сносок (2013-09-08)

2025-05-16T21:12:22Z

ш:rq убран, т.к. осталась одна проблема: refless → ш:нет сносок (2013-09-08)

Новая страница

{{distinguish|гомоморфизм|гомоморфизмом}}

[[Файл:Mug_and_Torus_morph.gif|thumb|right|Гомеоморфность кружки и [[бублик]]а ([[Полноторие|полнотория]])]]

'''Гомеоморфи́зм''' — [[Непрерывное отображение|непрерывная]] [[биекция]] с непрерывной обратной.
Является центральным понятием [[топология|топологии]].

Примерами гомеоморфизмов являются [[подобие|подобия]] геометрических фигур и [[изометрия (математика)|изометрии]] метрических пространств.
Однако в общем случае они не обязаны сохранять геометрические свойства.
Так, гомеоморфизмы могут изменять [[угол|углы]], [[длина|длины]], [[площадь|площади]], [[объём]]ы и [[кривизна|кривизну]], растягивать объекты, скручивать, мять и изгибать.

Пространства называются '''гомеомо́рфными''', если между ними существует гомеоморфизм.
Все [[топологическое свойство|топологические свойства]] гомеоморфных пространств одинаковы, поэтому с точки зрения топологии такие пространства неразличимы.

С точки зрения [[теория категорий|теории категорий]] гомеоморфизмы являются изоморфизмами в [[Категория топологических пространств|категории топологических пространств]].
Иными словами, гомеоморфизм устанавливает взаимно однозначное соответствие между топологическими структурами.

Термин «гомеоморфизм» происходит от сочетания двух древнегреческих слов: {{lang-grc2|ὅμοιος}} — похожий и {{lang-grc2|μορφή}} — форма.

== Определение ==

Пусть <math>(X,\mathcal{T}_X)</math> и <math>(Y,\mathcal{T}_Y)</math> — два [[Топологическое пространство|топологических пространства]].
Функция <math>f:X \to Y</math> называется '''гомеоморфизмом''', если:
*<math>f</math> [[Биекция|взаимно однозначна]];
*<math>f</math> [[Непрерывное отображение|непрерывна]];
* [[обратная функция]] <math>f^{-1}</math> непрерывна.
Иными словами, <math>f</math> биективна и для любого подмножества <math>A\subseteq X</math> условие <math>A\in \mathcal{T}_X</math> выполняется в том и только в том случае, если <math>f(A)\in \mathcal{T}_Y</math>.

Если между пространствами <math>X</math> и <math>Y</math> существует гомеоморфизм, то пишут <math>X\simeq Y</math> или <math>X\cong Y</math> и называют их '''гомеоморфными''' или '''топологически эквивалентными'''. Гомеоморфизм из пространства в себя называется его '''автогомеоморфизмом'''.

== Примеры ==

* На плоскости любые два [[Выпуклый многоугольник|выпуклых многоугольник]]а гомеоморфны.
* Пространства разной [[Мощность множества|мощности]] не гомеоморфны. Два пространства, наделённых [[дискретная топология|дискретной топологией]], гомеоморфны тогда и только тогда, когда они равномощны.
* Произвольный открытый [[интервал (математика)|интервал]] <math>(a,b) \subset \mathbb{R}</math> гомеоморфен всей [[Вещественные числа|вещественной прямой]] <math>\mathbb{R}</math>. Гомеоморфизм <math>f:(a,b) \to \mathbb{R}</math> задаётся, например, формулой
: <math>f(x) = \mathrm{ctg}\left(\pi\frac{x-a}{b-a}\right).</math>
: В частности, любые два открытых интервала гомеоморфны.

* Отрезок <math>[0, \; 1]</math> не гомеоморфен вещественной прямой <math>\mathbb{R}</math>. Это связано с тем, что отрезок [[компактность|компактен]], а прямая — нет.
* Если <math>n \neq m</math>, то <math>\R^n \not\cong \R^m</math>.
* '''Теорема о гомеоморфизме'''{{Нет АИ|4|2|2023}}. Пусть <math>|a,b|\subset \mathbb{R}</math> — интервал на числовой прямой (открытый, полуоткрытый или замкнутый). Пусть <math>f:|a,b| \to f\bigl( |a,b| \bigr)\subset \R</math> — биекция. Тогда <math>f</math> является гомеоморфизмом тогда и только тогда, когда <math>f</math> [[Монотонность функции|строго монотонна]] и непрерывна на <math>|a,b|.</math>

== Топологические инварианты и свойства ==

Характеристика топологических пространств, которая принимает одинаковое значение на гомеоморфных пространствах, называется '''''топологическим инвариантом'''''. Примерами таких характеристик являются: количество [[Компонента связности|компонент связности]], [[Размерность пространства|размерность]], [[эйлерова характеристика]], [[числа Бетти]], [[фундаментальная группа]], [[гомологии|группы гомологий]] и [[когомологии|когомологий]], [[гомотопические группы]].

Аналогично определяются топологические свойства, то есть свойство пространства называется '''''топологическим''''', если оно сохраняется при гомеоморфизмах. Примерами таких свойств являются: [[Метрическое пространство|метризуемость]], все виды [[аксиомы отделимости|отделимости]], [[Связное пространство|связность]] и [[Линейно связное пространство|линейная связность]], [[Компактное пространство|компактность]], [[односвязность]], свойство быть [[топологическое многообразие|топологическим многообразием]].

Некоторые топологические инварианты и свойства определены лишь для пространств особого типа.
Примером такого инварианта является [[род поверхности]].
Кроме того, [[ориентируемость]] является свойством [[многообразие|многообразия]].

== Локальный гомеоморфизм ==

Непрерывное отображение <math>f:X\to Y</math> топологических пространств называется '''локальным гомеоморфизмом''',
если у каждой точки пространства <math>X</math> имеется такая окрестность <math>U</math>, что образ <math>f(U)</math> открыт в <math>Y</math> и [[сужение]] <math>f|_{U}:U\to f(U)</math> является гомеоморфизмом{{sfn|Виро и др.|2012|с=204}}.

Любой гомеоморфизм является локальным гомеоморфизмом, однако обратное неверно.
Так, локальный гомеоморфизм является гомеоморфизмом тогда и только тогда, когда он биективен.

Например, отображение <math>x \to (\cos x, \sin x)</math> является локальным гомеоморфизмом из вещественной прямой <math>{\mathbb R}</math> в окружность <math>S^1</math>. Более того, каждое [[накрытие]] является локальным гомеоморфизмом.
Кроме того, среди тождественных вложений <math>(0,1) \to {\mathbb R}</math> и <math>[0,1] \to {\mathbb R}</math> первое является локальным гомеоморфизмом, а второе — нет.

Локальные гомеоморфизмы не обязательно сохраняют топологические свойства. Однако если между топологическими пространствами существует локальный гомеоморфизм, то они имеют одинаковые так называемые ''локальные'' свойства.
Среди них: [[Локально связное пространство|локальная связность]], [[Локально линейно связное пространство|локальная линейная связность]], [[Локально компактное пространство|локальная компактность]], [[Локально односвязное пространство|локальная односвязность]] и [[Локально метризуемое пространство|локальная метризуемость]].

== См. также ==
* [[Словарь терминов общей топологии]]
* [[Диффеоморфизм]]
* [[Универсальный гомеоморфизм]]
* [[Гомоморфизм]]

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
* {{публикация|книга
| автор = [[Зорич, Владимир Антонович|Зорич В. А.]]
| заглавие = Математический анализ
| ссылка =
| издание =
| место = М.
| издательство = [[Наука (издательство)|Наука]]
| год = 1984
| том = 2
| страницы = 41
| страниц =
| серия =
| isbn =
| тираж =
| ref = Зорич
}}
* {{публикация|книга
| автор = Васильев В. А.
| заглавие = Введение в топологию
| ссылка =
| издание =
| место = М.
| издательство = ФАЗИС
| год = 1997
| страниц = xii + 132
| серия = Библиотека студента-математика
| выпуск = 3
| isbn = 5-7036-0036-7
| тираж =
| ref = Васильев
}}
* {{публикация|книга
| автор = Тимофеева Н. В.
| заглавие = Дифференциальная геометрия и элементы топологии
| ссылка = http://cito-web.yspu.org/link1/metod/met59/node3.html
| издание =
| место = [[ЯГПУ]]
| издательство =
| год = 2007
| страниц =
| серия =
| isbn =
| тираж =
| ref = Тимофеева
}}
* {{книга | автор = [[Болтянский, Владимир Георгиевич|Болтянский В. Г.]], [[Ефремович, Вадим Арсеньевич|Ефремович В. А.]] |
заглавие = Наглядная топология | место = М. | издательство = Наука | год = 1982 | страниц = 160 | ref = Болтянский}}
* {{книга |автор={{автор|Виро, Олег Янович|Виро О. Я.}}, {{автор||Иванов О. А.}}, {{автор||Нецветаев Н. Ю.}}, {{автор||Харламов В. М.}} |заглавие=Элементарная топология |издание=2-е изд., исправл. |место=М. |издательство=МЦНМО |год=2012 |isbn=978-5-94057-894-9 |язык=ru |ref=Виро и др.}}

== Ссылки ==
* {{springer|title=Homeomorphism|id=p/h047600}}

{{ВС}}
{{Топология|state=expanded}}
{{нет сносок|дата=2013-09-08}}

[[Категория:Общая топология]]

Гомеоморфизм - История изменений

imported>Sldst-bot: ш:rq убран, т.к. осталась одна проблема: refless → ш:нет сносок (2013-09-08)