imported>1234qwer1234qwer4: оформление

2025-02-22T00:46:45Z

оформление

Новая страница

'''Главный идеал''' — [[Идеал (алгебра)|идеал]], порождённый одним элементом.

Общепринятых обозначений для главных идеалов нет.
Иногда используют обозначения <math>\mathrm{lid}_R a</math>,
<math>\mathrm{rid}_R a</math>, <math>\mathrm{id}_R a</math> для левых, правых
и двусторонних главных идеалов элемента <math>a</math> кольца <math>R</math> соответственно.

== Определение ==
Левый [[Идеал (алгебра)|идеал]] [[Кольцо (математика)|кольца]] <math>R</math> называется '''главным левым идеалом''', если он [[Порождённый идеал|порождён]] одним [[Элемент множества|элементом]] <math>a</math>.
Аналогично определяются '''главные правые идеалы''' и '''главные двусторонние идеалы'''.

Если <math>R</math> — [[коммутативное кольцо]], то эти три понятия эквивалентны. В этом случае идеал, порождённый <math>a</math>, обозначают через <math>(a)</math>.

В случае [[Кольцо с единицей|ассоциативного кольца с единицей]] главные идеалы описываются следующим образом.
* <math>\mathrm{l\,id}_R a = Ra=\{ra: r\in R\}</math>.
* <math>\mathrm{r\,id}_R a = aR=\{ar: r\in R\}</math>.
* <math>\mathrm{id}_R a = RaR = \{r_1ar'_1 + r_2ar'_2 + \dots + r_nar'_n: r_1,r'_1,\dots,r_n,r'_n \in R\}</math>.

Если же <math>R</math> — ассоциативное кольцо (вообще говоря без единицы), то
* <math>\mathrm{l\,id}_R a = Ra + \mathbb{Z}a = \{ra + ma: r \in R, m \in \mathbb{Z}\}</math>.
* <math>\mathrm{r\,id}_R a = aR + \mathbb{Z}a = \{ar + ma: r \in R, m \in \mathbb{Z}\}</math>.
* <math>\mathrm{id}_R a = RaR + aR + Ra + \mathbb{Z}a = \{r_1ar'_1 + r_2ar'_2 + \dots + r_nar'_n + ar' + r''a + ma: r', r'', r_1,r'_1,\dots,r_n,r'_n \in R, m \in \mathbb{Z}\}</math>.

Не все идеалы — главные. Рассмотрим, например, коммутативное кольцо <math>\mathbb{C}[x,y]</math> [[многочлен]]ов с [[комплексное число|комплексными]] коэффициентами от двух переменных <math>x</math> и <math>y</math>. Идеал <math>(x,y)</math>, порождённый многочленами <math>x</math> и <math>y</math>, (то есть идеал, состоящий из многочленов, у которых [[свободный член]] равен нулю) не будет главным. Чтобы доказать это, допустим, что этот идеал порождается некоторым элементом <math>a\in\mathbb{C}[x,y]</math>; тогда на него должны делиться <math>x</math> и <math>y</math>. Это возможно, только если <math>a</math> — ненулевая константа. Но в <math>(x,y)</math>только одна константа — нуль. Приходим к противоречию.

== Связанные определения ==
* Кольцо, все идеалы которого — главные, называется ''[[Кольцо главных идеалов|кольцом главных идеалов]]''.
* [[Целостное кольцо|Целостное]] кольцо главных идеалов называется также ''областью главных идеалов''. В областях главных идеалов выполняется [[основная теорема арифметики]] (любой элемент однозначно разложим на простые множители); доказательство этого факта совпадает с доказательством для случая [[Целые числа|целых чисел]].

== Примеры ==
Все [[Евклидово кольцо|евклидовы кольца]] являются областями главных идеалов; в них для поиска порождающего элемента данного идеала можно использовать [[алгоритм Евклида]]. Вообще, у любых двух главных идеалов коммутативного кольца есть [[наибольший общий делитель]] в смысле [[Произведение идеалов|умножения идеалов]]; благодаря этому в областях главных идеалов можно вычислять (с точностью до умножения на [[обратимый элемент]]) [[наибольший общий делитель|НОД]] элементов <math>a</math> и <math>b</math> как порождающий элемент идеала <math>(a,b)</math>.


== Литература ==
* {{книга
|автор = Винберг Э.Б.
|заглавие = Курс алгебры
|издание = 3-е изд
|место = {{М}}
|издательство = Факториал Пресс
|год = 2002
|страниц = 544
|isbn = 5-88688-060-7
|тираж = 3000
}}

{{algebra-stub}}

[[Категория:Теория колец]]

Главный идеал - История изменений

imported>1234qwer1234qwer4: оформление