imported>EyeBot: автоматическая отмена правки участника 5.141.224.220 - R:6B ORES: 0.7137

2026-01-21T13:00:53Z

автоматическая отмена правки участника 5.141.224.220 - R:6B ORES: 0.7137

Новая страница

{{Проблемы тысячелетия}}
'''Гипотеза Пуанкаре́''' — доказанная [[гипотеза (математика)|математическая гипотеза]] о том, что всякое [[Односвязное пространство|односвязное]] [[Компактное пространство|компактное]] [[трёхмерное многообразие]] без края [[гомеоморфизм|гомеоморфно]] [[3-сфера|трёхмерной сфере]]. Сформулированная в [[1904 год в науке|1904 году]] математиком [[Пуанкаре, Анри|Анри Пуанкаре]] гипотеза была доказана в серии статей 2002—2003 годов [[Перельман, Григорий Яковлевич|Григорием Перельманом]]. После подтверждения доказательства математическим сообществом в 2006 году гипотеза Пуанкаре стала первой и единственной на данный момент ({{CURRENTYEAR}} год) решённой [[Задачи тысячелетия|задачей тысячелетия]].

'''Обобщённая гипотеза Пуанкаре''' — утверждение о том, что всякое <math>n</math>-мерное многообразие [[гомотопическая эквивалентность|гомотопически эквивалентно]] <math>n</math>-мерной сфере тогда и только тогда, когда оно [[гомеоморфизм|гомеоморфно]] ей. Впервые прозвучала в работах [[Стивен Смейл|Стивена Смейла]], доказавшего её в 1961 году для всех случаев, кроме трёхмерного и четырёхмерного, последний из которых доказал в 1982 году [[Майкл Фридман]]. Основная гипотеза Пуанкаре является частным случаем обобщённой гипотезы при <math>n=3</math>, причём к концу XX века именно этот случай оставался единственным недоказанным. Таким образом, доказательство Перельмана завершает и доказательство обобщённой гипотезы Пуанкаре.

== Схема доказательства ==
[[Поток Риччи]] — это определённое [[уравнение в частных производных]], похожее на [[уравнение теплопроводности]].
Он позволяет деформировать риманову метрику на многообразии, но в процессе деформации возможно образование «сингулярностей» — точек, в которых кривизна стремится к бесконечности, и деформацию невозможно продолжить.
Основной шаг в доказательстве состоит в классификации таких сингулярностей в трёхмерном ориентированном случае.
При подходе к сингулярности поток останавливают и производят «[[Перестройка Морса|хирургию]]» — выбрасывают малую связную компоненту или вырезают «шею» (то есть открытую область, [[диффеоморфизм|диффеоморфную]] [[прямое произведение|прямому произведению]] <math>(0,1)\times S^2</math>), а полученные две дырки заклеивают двумя шарами так, что [[Метрический тензор|метрика]] полученного многообразия становится достаточно гладкой — после чего продолжают деформацию вдоль потока Риччи.

Процесс, описанный выше, называется «поток Риччи с хирургией».
Классификация сингулярностей позволяет заключить, что каждый «выброшенный кусок» [[диффеоморфизм|диффеоморфен]] [[Пространственная форма|сферической пространственной форме]].

При доказательстве гипотезы Пуанкаре начинают с произвольной римановой метрики на односвязном трёхмерном многообразии <math>M</math> и применяют к нему поток Риччи с хирургией.
Важным шагом является доказательство того, что в результате такого процесса «выбрасывается» всё.
Это означает, что исходное многообразие <math>M</math> можно представить как набор сферических пространственных форм <math>S^3/\Gamma_i</math>, соединённых друг с другом трубками <math>[0,1]\times S^2</math>.
Подсчёт [[фундаментальная группа|фундаментальной группы]] показывает, что <math>M</math> диффеоморфно [[связная сумма|связной сумме]] набора пространственных форм <math>S^3/\Gamma_i</math> и более того все <math>\Gamma_i</math> тривиальны.
Таким образом, <math>M</math> является связной суммой набора сфер, то есть сферой.

== История ==
В [[1900 год в науке|1900 году]] [[Пуанкаре, Анри|Анри Пуанкаре]] сделал предположение, что трёхмерное многообразие со всеми группами гомологий как у сферы гомеоморфно сфере. В [[1904 год]]у он же нашёл контрпример, называемый теперь [[Сфера Пуанкаре|сферой Пуанкаре]], и сформулировал окончательный вариант своей гипотезы. Попытки доказать гипотезу Пуанкаре привели к многочисленным продвижениям в топологии многообразий.

Гипотеза Пуанкаре долгое время не привлекала внимания исследователей. В 1930-х годах [[Уайтхед, Джон Генри Константайн|Джон Уайтхед]] возродил интерес к гипотезе, объявив о доказательстве, но затем отказался от него. В процессе поиска он обнаружил некоторые интересные примеры односвязных некомпактных 3-многообразий, негомеоморфных <math>\R^3</math>, прообраз которых известен как [[многообразие Уайтхеда]].

Доказательства обобщённой гипотезы Пуанкаре для <math>n \geqslant 5</math> получены в начале 1960—1970-х почти одновременно [[Смейл, Стивен|Смейлом]], независимо и другими методами {{не переведено|Столлингс, Джон Роберт|Столлингсом|en|John R. Stallings}} (для <math>n \geqslant 5</math>, его доказательство было распространено на случаи <math>n = 5, 6</math> [[Зиман, Кристофер|Зиманом]]). Доказательство значительно более трудного случая <math>n = 4</math> было получено только в [[1982 год в науке|1982 году]] [[Фридман, Майкл|Фридманом]]. Из теоремы [[Новиков, Сергей Петрович (математик)|Новикова]] о топологической инвариантности характеристических [[Класс Понтрягина|классов Понтрягина]] следует, что существуют гомотопически эквивалентные, но не гомеоморфные многообразия в высоких размерностях.

Доказательство исходной гипотезы Пуанкаре (и более общей [[гипотеза Тёрстона|гипотезы Тёрстона]]) было найдено [[Перельман, Григорий Яковлевич|Григорием Перельманом]] и опубликовано им в трёх статьях на сайте [[arXiv]] в 2002—2003 годах. Впоследствии, в 2006 году, доказательство Перельмана было проверено и представлено в развёрнутом виде как минимум тремя группами учёных<ref>''И. Иванов'' [http://elementy.ru/news/430288 Полное доказательство гипотезы Пуанкаре предъявлено уже тремя независимыми группами математиков] {{Wayback|url=http://elementy.ru/news/430288 |date=20070107065125 }} 03/08/06, elementy.ru</ref>. Доказательство использует модификацию [[поток Риччи|потока Риччи]] (так называемый ''поток Риччи с хирургией'') и во многом следует плану, намеченному [[Гамильтон, Ричард (математик)|Р. С. Гамильтоном]], который также первым применил поток Риччи.

=== Признание и оценки ===
* В [[1986 год]]у [[Фридман, Майкл|Майкл Фридман]] стал [[Филдсовская медаль|Филдсовским лауреатом]].
* В [[2006 год]]у [[Перельман, Григорий Яковлевич|Григорий Перельман]] стал Филдсовским лауреатом (отказался).
* В [[2010 год]]у [[математический институт Клэя]] присудил<ref>[https://www.claymath.org/sites/default/files/millenniumprizefull.pdf Prize for Resolution of the Poincaré Conjecture Awarded to Dr. Grigoriy Perelman] {{Wayback|url=https://www.claymath.org/sites/default/files/millenniumprizefull.pdf |date=20170908135202 }}{{ref|en}}. Пресс-релиз математического института Клэя.</ref> Перельману [[Премия тысячелетия|Премию тысячелетия]] (отказался).

=== Отражение в средствах массовой информации ===
* В 2006 году журнал [[Science (журнал)|Science]] назвал доказательство Перельманом гипотезы Пуанкаре научным «[[Прорыв года (Science)|прорывом года]]»<ref>{{статья |заглавие=BREAKTHROUGH OF THE YEAR: The Poincaré Conjecture—Proved |издание=Science |том=314 |номер=5807 |страницы=1848—1849 |doi=10.1126/science.314.5807.1848 |ссылка=http://www.sciencemag.org/cgi/content/full/314/5807/1848 |язык=en |тип=journal |автор=Dana Mackenzie |год=2006 |archive-date=2007-01-02 |archive-url=https://web.archive.org/web/20070102095320/http://www.sciencemag.org/cgi/content/full/314/5807/1848 }}</ref>. Это первая работа по математике, заслужившая такое звание<ref>Keith Devlin. [https://web.archive.org/web/20070102173914/http://www.maa.org/devlin/devlin_12_06.html The biggest science breakthrough of the year]. [[Mathematical Association of America]]. 2006.</ref>.
* В 2006 году [[Назар, Сильвия|Сильвия Назар]] опубликовала нашумевшую<ref>В частности, «Manifold Destiny» была включена в книгу «[[The Best American Science Writing]]» за 2007 год.</ref> статью «[[Многообразная судьба]]», которая рассказывает об истории доказательства гипотезы Пуанкаре<ref>{{статья |заглавие=Manifold Destiny: A legendary problem and the battle over who solved it |издание=[[The New Yorker]] |номер=August 21 |ссылка=http://www.newyorker.com/fact/content/articles/060828fa_fact2 |archive-url=https://archive.today/20120903235521/http://www.newyorker.com/fact/content/articles/060828fa_fact2 |archive-date=2012-09-03 |url-status=dead |язык=en |тип=magazine |автор=Sylvia Nasar, David Gruber |год=2006 |издательство=[[Condé Nast]] }} Русский перевод: «[http://vadda.livejournal.com/42798.html Многообразная судьба: Легендарная задача и битва за приоритет] {{Wayback|url=http://vadda.livejournal.com/42798.html |date=20080216105012 }}».</ref>.

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
* {{книга |автор=[[Стюарт, Иэн (математик)|Иэн Стюарт]] |заглавие=Величайшие математические задачи |место=М. |издательство=Альпина нон-фикшн |год=2015 |страниц=460 |isbn=978-5-91671-318-3 |ref=Стюарт }}
* ''Бессьер Л., Бессон Ж., Буало М.'' [http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=mp&paperid=943&option_lang=rus Доказательство гипотезы Пуанкаре (по работам Г. Перельмана)] {{Wayback|url=http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=mp&paperid=943&option_lang=rus |date=20200804034019 }} // [[Математическое просвещение]]. — 2019. — Сер. 3. — Вып. 24. — С. 53—69.

== Ссылки ==
* {{source|Q99178595}}
* {{source|Q99179783}}
* {{source|Q99178831}}
* {{source|Q99179852}}
* {{статья |автор=С. Николенко |заглавие=Проблемы 2000: Гипотеза Пуанкаре |издание=Компьютерра |номер=1—2 |год=2006 |ссылка=http://old.computerra.ru/print/offline/2006/621/247630/ |archive-url=https://web.archive.org/web/20170618101812/http://old.computerra.ru/print/offline/2006/621/247630/ |archive-date=2017-06-18 }}
* {{source|Q99179978}}
* ''B. Kleiner, J. Lott''. [https://www.arxiv.org/abs/math.DG/0605667 Notes on Perelman’s papers]{{ref|en}}
* ''Terence Tao''''. [https://arxiv.org/abs/math.DG/0610903 Perelman’s proof of the Poincaré conjecture: a nonlinear PDE perspective]{{ref|en}}

{{Внешние ссылки}}

[[Категория:Топология]]
[[Категория:Задачи тысячелетия]]
[[Категория:1904 год в науке]]
[[Категория:2006 год в науке]]
[[Категория:Доказанные математические гипотезы]]

Гипотеза Пуанкаре - История изменений

imported>EyeBot: автоматическая отмена правки участника 5.141.224.220 - R:6B ORES: 0.7137