imported>Well, Well, Bot!: уборка лишних параметров шаблона {{переход}}

2026-03-25T07:52:19Z

уборка лишних параметров шаблона {{переход}}

Новая страница

[[Файл:BorsukVermutungSimplizes.PNG|мини|Разрезания отрезка, треугольника и тетраэдра на части меньшего диаметра.]]
'''Гипотеза Бо́рсука''' (''проблема Борсука'') — опровергнутая [[Гипотеза (математика)|гипотеза]] в [[комбинаторная геометрия|комбинаторной геометрии]]:
:''Возможно ли произвольное тело конечного единичного [[диаметр#Вариации_и_обобщения|диаметра]] в <math>n</math>-мерном [[Евклидово пространство|евклидовом пространстве]] [[Разбиение множества|разбить]] на не более чем <math>n+1</math> часть так, что диаметр каждой части будет меньше 1?''

Выдвинута [[Борсук, Кароль|Каролем Борсуком]] в [[1933 год в науке|1933 году]].
Сыграла значительную роль в развитии комбинаторной геометрии XX века: в течение длительного периода гипотеза подтверждалась для ряда частных случаев{{Переход|Положительные решения}} и основные усилия были направлены на поиск доказательства в общем случае, поскольку весомых сомнений в её справедливости не возникало{{Sfn|Райгородский|2006|с=27}}.
Однако в [[1993 год в науке|1993 году]] был найден [[контрпример]]{{Переход|Отрицательные решения}}.

По состоянию {{на|2023}} доказано, что гипотеза верна при <math>n \leqslant 3</math>, и неверна для <math>n\geqslant 64</math>, вопрос остаётся открытым для <math>4 \leqslant n \leqslant 63</math>.

== Положительные решения ==

[[Файл:Borsuk Hexagon.svg|мини|Разрезание правильного шестиугольника ширины 1 на 3 части [[диаметр]]а меньше 1.]]

Случай <math>n=1</math> очевиден. Случай <math>n = 2</math> был доказан самим Борсуком в 1933 году, он воспользовался результатом {{iw|Пал, Дьюла|Дьюлы Пала|hu|Pál Gyula (matematikus)}} 1929 года, согласно которому любую фигуру диаметра 1 можно поместить в [[правильный шестиугольник]] ширины 1, а такой шестиугольник в свою очередь допускает разрезание на три пятиугольника диаметра <math>\tfrac{\sqrt 3}2 < 1</math>.
Кроме того, Борсук доказал, что <math>n</math>-мерный [[Шар (метрическая геометрия)|шар]] нельзя разделить на <math>n</math> частей меньшего диаметра, тем самым утвердив нижнюю оценку для количества частей (доказательство основано на [[Теорема Борсука — Улама|теореме Борсука — Улама]]).

В [[1946 год в науке|1946 году]] [[Хадвигер, Гуго|Хадвигер]] доказал справедливость гипотезы при всех <math>n</math> для [[Выпуклое тело|выпуклых тел]] с [[Гладкость (математика)|гладкой]] границей{{Sfn|Болтянский — Гохберг|1965|с=34}}.

В [[1947 год в науке|1947 году]] {{iw|Перкаль, Юлиан|Юлиан Перкаль|pl|Julian Perkal}} доказал случай <math>n = 3</math> для всех ограниченных тел{{sfn|Грюнбаум|1971|с=62}}, независимо от него в [[1955 год в науке|1955 году]] этот же результат получил британский математик [[Эгглстон, Харальд Гордон|Эгглстон]]; простое доказательство, сходное с доказательством Борсука, было найдено несколько позже [[Бранко Грюнбаум]]ом и [[Хеппеш, Альдар|Альдаром Хеппешем]];
они доказывают, что любое тело диаметра 1 можно поместить в определённый октаэдр с отсечёнными тремя вершинами, который в свою очередь допускает разбиение на 4 части диаметра меньше 0,9888.

По меньшей мере с начала 1970-х годов гипотеза подтверждена для [[Центральная симметрия|центрально-симметричных]] тел. В [[1971 год в науке|1971 году]] Клод Роджерс доказал гипотезу для всякого множества, инвариантного относительно [[Действие группы|действия]] [[Группа преобразований|группы преобразований]], оставляющих на месте [[Правильные многомерные многогранники|правильный]] <math>n</math>-мерный [[симплекс]].

В [[1993 год в науке|1993 году]] [[Декстер, Борис Вениаминович|Борис Декстер]] установил справедливость гипотезы для выпуклых тел с поясом из регулярных точек.<ref>{{статья | автор = B. V. Dekster | заглавие = The Borsuk conjecture holds for convex bodies with a belt of regular points | издание = Geometriae Dedicata | том = 45 | год = 1993 | страницы = 301–306}}</ref>
В [[1995 год в науке|1995 году]] им же дан положительный ответ для всех тел вращения в произвольных размерностях<ref>{{статья | автор = B. V. Dekster | заглавие = The Borsuk conjecture holds for bodies of revolution | издание = Journal of Geometry | том = 52 | год = 1995 | страницы = 64–73}}</ref>.

== Число Борсука ==
'''''Число Борсука''''' <math>f(n)</math> — наименьшее число возможных частей меньшего диаметра, на которые можно разбить всякое ограниченное тело в <math>n</math>-мерном пространстве. Параллельно с подтверждением гипотезы <math>f(n) = n+1</math> в частных случаях, улучшались нижние и верхние оценки для <math>f(n)</math>. Сравнительно легко получены оценки <math>f(n) \leqslant (2 \sqrt n + 1)^n</math> и <math>f(n) \leqslant 2^n</math>. В [[1983 год в науке|1983 году]] [[Лассак, Маршалл|Маршалл Лассак]] установил, что <math>f(n) \leqslant 2^{n-1} + 1</math>.

Среди асимптотических верхних оценок долгое время лучшей была оценка {{нп2|Роджерс, Клод|Клода Роджерса|en|Claude Ambrose Rogers|text=[[1965 год в науке|1965]]}}: <math>f(n) \leqslant \big(\sqrt 2 + o(1)\big)^n</math>; в [[1988 год в науке|1988 году]] [[Шрамм, Одед|Одед Шрамм]] установил, что:
: <math>f(n) \leqslant \Big(\sqrt \tfrac{3}{2} + o(1)\Big)^n</math>.

== Отрицательные решения ==
Отрицательное решение проблемы в общем случае выявлено в 1993 году {{нп2|Калай, Гиль|Гилем Калаем|en|Gil Kalai}} и {{нп2|Кан, Джефф|Джеффом Каном|en|Jeff Kahn}}<ref>{{статья | автор = J. Kahn, G. Kalai | arxiv = math.MG/9307229 | заглавие = A counterexample to Borsuk’s conjecture | издание = Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) | том = 29 | год = 1993 | номер = 1 | страницы = 60—62 | язык = en}}</ref>, построившими контрпример в размерности <math>n = 1325</math> и доказавшими невыполнение гипотезы для всех <math>n>2014</math>. Кроме того, они показали, что для достаточно больших <math>n</math> существуют <math>n</math>-мерные тела, которые нельзя разбить на <math>\big(1{,}203+o(1)\big)^{\sqrt{n}}</math> частей меньшего диаметра. В последующие годы размерность, выше которой гипотеза не выполняется, последовательно снижалась:

* 1993 — <math>n \geqslant 2015</math> (Калай — Кан),
* 1994 — <math>n \geqslant 946</math> (Нилли),
* 1997 — <math>n \geqslant 903</math> (Вайссбах — Грей),
* 1997 — <math>n \geqslant 561</math> (Райгородский)<ref>{{статья|автор=А. М. Райгородский|заглавие=О размерности в проблеме Борсука|ссылка=http://mi.mathnet.ru/umn912|язык=|издание=УМН|год=1997|том=52|номер=6(318)|страницы=181—182|doi=|issn=}}</ref>,
* 2000 — <math>n \geqslant 560</math> (Вайссбах),
* 2001 — <math>n \geqslant 324</math> (Хинрихс),
* 2002 — <math>n \geqslant 323</math> (Пихурко),
* 2003 — <math>n \geqslant 298</math> (Хинрихс — Рихтер)<ref>{{статья | автор = A. Hinrichs, C. Richter | ссылка = http://www.minet.uni-jena.de/~hinrichs/paper/18/borsuk.pdf | заглавие = New sets with large Borsuk numbers | издание = Discrete Mathematics | том = 270 | год = 2003 | страницы = 137—147 | archivedate = 2007-09-27 | archiveurl = https://web.archive.org/web/20070927204343/http://www.minet.uni-jena.de/~hinrichs/paper/18/borsuk.pdf }}</ref>,
* 2013 — <math>n \geqslant 65</math> (Бондаренко)<ref>{{статья | автор = Andriy V. Bondarenko | arxiv = 1305.2584 | заглавие = On Borsuk’s conjecture for two-distance sets | год = 2013}}</ref>,
* 2013 — <math>n \geqslant 64</math> (Йенрих)<ref>{{статья | автор = Thomas Jenrich | arxiv = 1308.0206 | заглавие = A 64-dimensional two-distance counterexample to Borsuk’s conjecture | год = 2013}}</ref>.

Для построения контпримеров во всех случаях использовались конечные множества и использованы тонкие [[комбинаторика|комбинаторные]] результаты{{Sfn|Райгородский|2006|c=}}. Нижние оценки для минимального числа частей меньшего диаметра в большинстве контрпримеров — <math>\big( 1{,}203+o(1)\big)^{\sqrt{n}}</math>,
в одном из результатов [[Райгородский, Андрей Михайлович|Райгородского]] (1999) эта оценка улучшена до <math>\big( 1{,}2255+o(1)\big)^{\sqrt{n}}</math>.

== Вариации и обобщения ==

В [[1953 год в науке|1953 году]] [[Гейл, Дэвид|Дэвид Гейл]] выдвинул гипотезу, что любое тело единичного диаметра в трёхмерном пространстве допускает разбиение на 4 части с диаметром:
: <math>\sqrt{\frac{3+\sqrt{3}}6}\approx0{,}888</math>,
то есть шар является «наихудшим» в этом смысле телом{{Sfn|Райгородский|2006|с=16}}.

В [[1971 год в науке|1971 году]] гипотеза Борсука подтверждена для [[Сферическая геометрия|сферического]] и [[Гиперболическая геометрия|гиперболического]] пространств при <math>n=2,3</math><ref>{{статья | автор = А. С. Рисслинг | заглавие = Проблема Борсука в пространствах постоянной кривизны | ссылка = http://geometry.karazin.ua/resources/articles/594b744b34d8b035cdea7128bbae7d64.pdf | издание = [[Украинский геометрический сборник]] | место = Харьков | том = 11 | страницы = 78—83 | archivedate = 2021-01-09 | archiveurl = https://web.archive.org/web/20210109152407/http://geometry.karazin.ua/resources/articles/594b744b34d8b035cdea7128bbae7d64.pdf }}</ref>.

В [[1991 год в науке|1991 году]] этот результат обобщён на произвольные размерности для [[Центральная симметрия|центрально-симметрических]] выпуклых гиперповерхностей<ref>{{статья | автор = [[Милка, Анатолий Дмитриевич|А. Д. Милка]] | заглавие = Аналог проблемы Борсука | издание = Известия вузов. Серия математическая | год = 1992 | номер = 5 | страницы = 58—63}}</ref>.

В [[2012 год в науке|2012 год]]у изучены аналоги проблемы Борсука в пространстве <math>\Q^n</math> с евклидовой метрикой и с метрикой <math>l_p</math><ref>{{статья | автор = А. Б. Купавский, Е. И. Пономаренко, А. М. Райгородский | заглавие = О некоторых аналогах проблемы Борсука в пространстве <math>\Q^n</math>| издание = Труды МФТИ | том = 12 | номер = 1 | год = 2012 | страницы = 81—90}}</ref>.

В [[2019 год в науке|2019 год]]у рассмотрен вопрос о разбиении произвольных [[ограниченность (метрическая геометрия)|ограниченных]] [[метрическое пространство|метрических пространств]] на заданное количество подмножеств меньшего диаметра, и выявлены критерии осуществимости и неосуществимости такого разбиения в зависимости от расстояния по [[Метрика Громова — Хаусдорфа|метрике Громова — Хаусдорфа]] от заданного пространства до симплексов заданной [[кардинальное число|мощности]], где под симплексом понимается метрическое пространство, в котором все ненулевые расстояния одинаковы<ref>{{статья| автор = [[Иванов, Александр Олегович|А. О. Иванов]], [[Тужилин, Алексей Августинович|А. А. Тужилин]] | заглавие = Solution to Generalized Borsuk Problem in Terms of the Gromov–Hausdorff Distances to Simplexes | arxiv = 1906.10574v1}}</ref>.

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
* {{книга| автор = [[Болтянский, Владимир Григорьевич|В. Г. Болтянский]], [[Гохберг, Израиль Цудикович|И. Ц. Гохберг]] | ссылка = http://www.mccme.ru/free-books/djvu/comb_geom.htm | заглавие = Теоремы и задачи комбинаторной геометрии | серия = Математическая библиотечка | место = М. | издательство = Наука | год = 1965 | страниц = 108 | ref = Болтянский — Гохберг}} (содержит доказательство гипотезы в размерностях 2 и 3)
* {{книга| автор = В. Г. Болтянский, И. Ц. Гохберг | ссылка = http://plm.mccme.ru/ann/a50.htm | заглавие = Разбиение фигур на меньшие части/ серия = Популярные лекции по математике, выпуск 50 | место = М. | издательство = Наука | год = 1971 | страниц = 88}}
* {{книга |ref=Грюнбаум| автор = [[Грюнбаум, Бранко|Б. Грюнбаум]] | заглавие = Этюды по комбинаторной геометрии и теории выпуклых тел |издание=| место = М. | издательство = Наука |страницы=|страниц=|isbn=|ответственный=| год = 1971}}
* {{книга | автор = [[Райгородский, Андрей Михайлович|А. М. Райгородский]] | заглавие = Проблема Борсука | место = М. | издательство = [[МЦНМО]] | год = 2006 | страниц = 56 | ref = Райгородский }}
* {{статья | автор = А. Б. Скопенков | ссылка = http://www.mccme.ru/free-books/matpros/i4184188.pdf.zip | заглавие = <math>n</math>-мерный куб, многочлены и решение проблемы Борсука |издание = Математическое просвещение | выпуск = 3 (3) | место = М. | издательство = МЦНМО | год = 1999 | страницы = }}

[[Категория:Комбинаторная геометрия]]
[[Категория:Опровергнутые математические гипотезы|Борсука гипотеза]]
[[Категория:Выпуклая геометрия]]
[[Категория:Математические гипотезы|Борсука]]

Гипотеза Борсука - История изменений

imported>Well, Well, Bot!: уборка лишних параметров шаблона {{переход}}