imported>SchlurcherBot: Bot: http → https

2026-01-29T21:47:10Z

Bot: http → https

Новая страница

'''Геронов треугольник''' — [[треугольник]], стороны и [[площадь]] которого являются [[Целое число|целыми числами]]{{sfn|Carlson|1970|с=499—506}}{{sfn|Beauregard, Suryanarayan|1998|с=13—17}}. Героновы треугольники названы в честь греческого математика [[Герон]]а. Термин иногда понимается несколько шире и распространяется на треугольники, имеющие [[Рациональное число|рациональные]] стороны и площадь<ref>{{статья
|автор=Eric W. Weisstein
|заглавие=Heronian Triangle
|url=http://mathworld.wolfram.com/HeronianTriangle.html
}}</ref>.

== Свойства ==
Все прямоугольные треугольники, стороны которых образуют [[Пифагорова тройка|пифагоровы тройки]], являются героновыми, поскольку стороны их по определению [[Целое число|целочисленны]], а площадь тоже целочисленна, поскольку является половиной произведения катетов, один из которых обязательно имеет чётную длину.

[[Файл:Triangle-heronian.svg|thumb|right|Треугольник со сторонами ''c'', ''e'' и ''b'' + ''d'', и высотой ''a''.]]
В качестве примера геронова треугольника, не имеющего прямого угла, можно привести [[равнобедренный треугольник]] со сторонами 5, 5 и 6, площадь которого равна 12. Этот треугольник получается путём объединения двух прямоугольных треугольников со сторонами 3, 4 и 5 вдоль стороны длиной 4. Этот подход работает и в общем случае, как показано на рисунке справа. Берётся пифагорова тройка (''a'', ''b'', ''c''), где ''c'' — наибольшая сторона, затем другая тройка (''a'', ''d'', ''e''), в которой наибольшей стороной будет ''e'', строятся треугольники по заданным длинам сторон и объединяются вдоль стороны с длиной ''a'', получая треугольник со сторонами ''c'', ''e'' и ''b'' + ''d'' и площадью

: <math>A=\frac{1}{2}(b+d)a</math> (половина произведения основания на высоту).

Если ''a'' чётно, то площадь будет целым числом. Менее очевиден случай, когда ''a'' нечётно, но и в этом случае ''A'' остаётся целым, поскольку стороны ''b'' и ''d'' должны быть чётными числами, а следовательно, ''b''+''d'' тоже будет чётным.

Некоторые героновы треугольники невозможно получить объединением прямоугольных треугольников с целочисленными сторонами методом, описанным выше. Так, например, геронов треугольник со сторонами 5, 29, 30 и площадью 72 нельзя получить из двух пифагоровых треугольников, поскольку ни одна из его [[Высота треугольника|высот]] не является целым числом. Нельзя также построить примитивный пифагоров треугольник из двух меньших пифагоровых треугольников{{sfn|Yiu|2008|с=17}}. Такие героновы треугольники называются '''неразложимыми'''{{sfn|Yiu|2008|с=17}}. Однако, если разрешить пифагоровы тройки с рациональными значениями, отказавшись от целочисленности, то разбиение на два прямоугольных треугольника с рациональными сторонами всегда существует{{sfn|Sierpiński|2003}}, поскольку все высоты геронова треугольника являются рациональными числами (поскольку высота равна удвоенной площади, делённой на основание, и оба эти числа являются целыми). Так, геронов треугольник со сторонами 5, 29, 30 можно получить из рациональных пифагоровых треугольников со сторонами 7/5, 24/5, 5 и 143/5, 24/5, 29. Заметим, что рациональные пифагоровы тройки являются просто версиями целочисленных пифагоровых троек, поделённых на целое число.

Другие свойства героновых треугольников можно найти в статье [[Целочисленный треугольник#Героновы треугольники]].

== Точная формула для героновых треугольников ==
Любой геронов треугольник имеет стороны, пропорциональные значениям{{sfn|Carmichael|1959|с=11—13}}

: <math>a=n(m^{2}+k^{2})</math>
: <math>b=m(n^{2}+k^{2})</math>
: <math>c=(m+n)(mn-k^{2})</math>
: Полупериметр <math>=s=(a+b+c)/2=mn(m+n)</math>
: Площадь <math>=mnk(m+n)(mn-k^{2})</math>
: Радиус вписанной окружности <math>=k(mn-k^{2})</math>
: <math>s-a=n(mn-k^{2})</math>
: <math>s-b=m(mn-k^{2})</math>
: <math>s-c=(m+n)k^{2}</math>

для целых ''m'', ''n'' и ''k'', где

: <math>\gcd{(m,n,k)}=1</math>
: <math>mn > k^2 \ge m^2n/(2m+n)</math>
: <math> m \ge n \ge 1</math>.

Коэффициент пропорциональности в общем случае является рациональным числом <math>\frac{p}{q}</math> , где <math>q=\gcd{(a,b,c)}</math> приводит полученный геронов треугольник к примитивному, а <math>p</math> растягивает его до требуемых размеров. Например, взяв ''m'' = 36, ''n'' = 4 и ''k'' = 3, получим треугольник со сторонами ''a'' = 5220, ''b'' = 900 и ''c'' = 5400, который подобен геронову треугольнику 5, 29, 30, и коэффициент пропорциональности имеет числитель ''p'' = 1 и знаменатель ''q'' = 180.

См. также [[Целочисленный треугольник#Героновы треугольники с одним углом, вдвое большим другого|Героновы треугольники с одним углом, вдвое большим другого]], [[Целочисленный треугольник#Героновы треугольники со сторонами в арифметической прогрессии|Героновы треугольники со сторонами в арифметической прогрессии]] и [[Целочисленный треугольник#Равнобедренные героновы треугольники|Равнобедренные героновы треугольники]].

== Примеры ==
Список примитивных целочисленных героновых треугольников, отсортированный по площади и, в случае равенства площадей, по [[Периметр|периметру]].
«Примитивный» означает, что [[наибольший общий делитель]] трёх длин сторон равен 1.
{| class="wikitable"
|-
! Площадь
! Периметр
! colspan="4" | Длины сторон
|-
| 6
| 12
| 5
| 4
| 3
|-
| 12
| 16
| 6
| 5
| 5
|-
| 12
| 18
| 8
| 5
| 5
|-
| 24
| 32
| 15
| 13
| 4
|-
| 30
| 30
| 13
| 12
| 5
|-
| 36
| 36
| 17
| 10
| 9
|-
| 36
| 54
| 26
| 25
| 3
|-
| 42
| 42
| 20
| 15
| 7
|-
| 60
| 36
| 13
| 13
| 10
|-
| 60
| 40
| 17
| 15
| 8
|-
| 60
| 50
| 24
| 13
| 13
|-
| 60
| 60
| 29
| 25
| 6
|-
| 66
| 44
| 20
| 13
| 11
|-
| 72
| 64
| 30
| 29
| 5
|-
| 84
| 42
| 15
| 14
| 13
|-
| 84
| 48
| 21
| 17
| 10
|-
| 84
| 56
| 25
| 24
| 7
|-
| 84
| 72
| 35
| 29
| 8
|-
| 90
| 54
| 25
| 17
| 12
|-
| 90
| 108
| 53
| 51
| 4
|-
| 114
| 76
| 37
| 20
| 19
|-
| 120
| 50
| 17
| 17
| 16
|-
| 120
| 64
| 30
| 17
| 17
|-
| 120
| 80
| 39
| 25
| 16
|-
| 126
| 54
| 21
| 20
| 13
|-
| 126
| 84
| 41
| 28
| 15
|-
| 126
| 108
| 52
| 51
| 5
|-
| 132
| 66
| 30
| 25
| 11
|-
| 156
| 78
| 37
| 26
| 15
|-
| 156
| 104
| 51
| 40
| 13
|-
| 168
| 64
| 25
| 25
| 14
|-
| 168
| 84
| 39
| 35
| 10
|-
| 168
| 98
| 48
| 25
| 25
|-
| 180
| 80
| 37
| 30
| 13
|-
| 180
| 90
| 41
| 40
| 9
|-
| 198
| 132
| 65
| 55
| 12
|-
| 204
| 68
| 26
| 25
| 17
|-
| 210
| 70
| 29
| 21
| 20
|-
| 210
| 70
| 28
| 25
| 17
|-
| 210
| 84
| 39
| 28
| 17
|-
| 210
| 84
| 37
| 35
| 12
|-
| 210
| 140
| 68
| 65
| 7
|-
| 210
| 300
| 149
| 148
| 3
|-
| 216
| 162
| 80
| 73
| 9
|-
| 234
| 108
| 52
| 41
| 15
|-
| 240
| 90
| 40
| 37
| 13
|-
| 252
| 84
| 35
| 34
| 15
|-
| 252
| 98
| 45
| 40
| 13
|-
| 252
| 144
| 70
| 65
| 9
|-
| 264
| 96
| 44
| 37
| 15
|-
| 264
| 132
| 65
| 34
| 33
|-
| 270
| 108
| 52
| 29
| 27
|-
| 288
| 162
| 80
| 65
| 17
|-
| 300
| 150
| 74
| 51
| 25
|-
| 300
| 250
| 123
| 122
| 5
|-
| 306
| 108
| 51
| 37
| 20
|-
| 330
| 100
| 44
| 39
| 17
|-
| 330
| 110
| 52
| 33
| 25
|-
| 330
| 132
| 61
| 60
| 11
|-
| 330
| 220
| 109
| 100
| 11
|-
| 336
| 98
| 41
| 40
| 17
|-
| 336
| 112
| 53
| 35
| 24
|-
| 336
| 128
| 61
| 52
| 15
|-
| 336
| 392
| 195
| 193
| 4
|-
| 360
| 90
| 36
| 29
| 25
|-
| 360
| 100
| 41
| 41
| 18
|-
| 360
| 162
| 80
| 41
| 41
|-
| 390
| 156
| 75
| 68
| 13
|-
| 396
| 176
| 87
| 55
| 34
|-
| 396
| 198
| 97
| 90
| 11
|-
| 396
| 242
| 120
| 109
| 13
|}

== Героновы треугольники особого вида ==
=== Сравнимые треугольники ===
Фигура называется {{не переведено 5|Сравнимая фигура|сравнимой||equable shape}}, если площадь равна периметру. Имеется ровно пять сравнимых героновых треугольников —
(5,12,13), (6,8,10), (6,25,29), (7,15,20) и (9,10,17){{sfn|Dickson|2005|с=199}}{{sfn|Markowitz|1981|с=222—3}}

=== Почти равносторонние героновы треугольники ===
Поскольку площадь [[Правильный треугольник|правильного треугольника]] с рациональными сторонами является [[Иррациональное число|числом иррациональным]], никакой равносторонний треугольник не может быть героновым. Однако существует последовательность героновых треугольников, которые «почти правильные», поскольку их стороны имеют вид ''n'' − 1, ''n'', ''n'' + 1. Несколько первых примеров этих почти равносторонних треугольников перечислены в таблице ниже ({{OEIS|A003500}}).
{| class="wikitable" style="table-layout: fixed; width: 500px;"
! colspan="3" | Длина стороны || rowspan="2" | Площадь || rowspan="2" | Радиус вписанной
|-
! ''n'' − 1 || ''n'' || ''n'' + 1
|- align="right"
| 3 || 4 || 5 || 6 || 1
|- align="right"
| 13 || 14 || 15 || 84 || 4
|- align="right"
| 51 || 52 || 53 || 1170 || 15
|- align="right"
| 193 || 194 || 195 || 16296 || 56
|- align="right"
| 723 || 724 || 725 || 226974 || 209
|- align="right"
| 2701 || 2702 || 2703 || 3161340 || 780
|- align="right"
| 10083 || 10084 || 10085 || 44031786 || 2911
|- align="right"
| 37633 || 37634 || 37635 || 613283664 || 10864
|}

Следующее значение для ''n'' можно найти, умножив предыдущее на 4, а затем вычтя значение, ему предшествующее (52 = 4 × 14 − 4, 194 = 4 × 52 − 14, и т. д.). Таким образом,

: <math>n_t = 4n_{t-1} - n_{t-2}</math>,

где ''t'' означает номер строки в таблице. Эта последовательность является [[Последовательность Люка|последовательностью Люка]]. Можно также получить эту последовательность по формуле <math>(2 + \sqrt{3})^t + (2 - \sqrt{3})^t</math> для всех ''n''. Если положить ''A'' = площадь, а ''y'' = радиус вписанной окружности, то

: <math>\big((n-1)^2+n^2+(n+1)^2\big)^2-2\big((n-1)^4+n^4+(n+1)^4\big) = (6n y)^2 = (4A)^2</math>,

где {''n'', ''y''} являются решениями уравнения ''n''2 − 12''y''2 = 4. Небольшая подстановка ''n'' = ''2x'' даёт известное [[уравнение Пелля]] ''x''2 − 3''y''2 = 1, решения которого можно получить из разложения √3 в [[Непрерывная дробь|непрерывную дробь]]{{sfn|Richardson|2007}}

Переменная ''n'' имеет вид <math>n=\sqrt{2 + 2 k}</math>, где ''k'' равно 7, 97, 1351, 18817, …. Числа в этой последовательности имеют свойство, что ''k'' последовательных целых имеют целочисленное [[среднеквадратическое отклонение]].<ref>Online Encyclopedia of Integer Sequences, {{OEIS2C|A011943}}.</ref>

=== С рациональными медианами ===
Существуют героновы треугольники, в которых две [[Медиана треугольника|медианы]] также имеют рациональные длины. Бесконечное семейство таких треугольников порождается парой {{iw|Последовательность Сомоса|последовательностей Сомоса||Somos sequence}}, что было сначала замечено эмпирически и лишь затем строго доказано. На 2022 год известно также несколько примеров, не относящихся к этому бесконечному семейству{{sfn|Hone|2022}}.

== См. также ==
* {{не переведено 5|Геронов тетраэдр|Геронов тетраэдр||Heronian tetrahedron}}
* {{не переведено 5|Четырёхугольник Брахмагупты|Четырёхугольник Брахмагупты||Brahmagupta quadrilateral}}
* [[Прямоугольный треугольник]]
* [[Пятиугольник Роббинса]]
* [[Треугольник]]
* [[Целочисленный треугольник]]

== Примечания ==
{{примечания|узкие}}

== Ссылки ==
* {{статья
| автор =John R. Carlson
| заглавие =Determination of Heronian Triangles
| издание =Fibonacci Quarterly
|том=8
|год=1970
|url=http://www.fq.math.ca/Scanned/8-5/carlson-a.pdf
|ref= Carlson
}}
* {{статья
|автор=R. D. Carmichael
|страницы=1914, Diophantine Analysis
|заглавие=The Theory of Numbers and Diophantine Analysis
|ссылка=https://archive.org/details/theoryofnumbersd0000carm
|год=1959
|ref=Carmichael
|издательство=Dover Publications, Inc.
}}
* {{статья
| автор =Raymond A. Beauregard, E. R. Suryanarayan
| заглавие =The Brahmagupta Triangles |journal=College Math Journal
|том=29
|выпуск=1 January
|год= 1998
|doi= 10.2307/2687630
|url=http://www.maa.org/mathdl/CMJ/methodoflastresort.pdf
|ref= Beauregard, Suryanarayan
}}
* {{книга
|заглавие=[[History of the Theory of Numbers]]
|том=Il: Diophantine Analysis
|автор=Leonard Eugene Dickson
|издательство=Dover Publications
|год=2005
|isbn=9780486442334
|ref= Dickson
}}
* {{публикация|статья|автор=Andrew N. W. Hone|заглавие=Heron triangles with two rational medians and Somos-5 sequences|издание=European Journal of Mathematics|год=2022|volume=8|pages=1424–1486|doi=10.1007/s40879-022-00586-w|arxiv=2107.03197|ref=Hone}}
* {{статья
| автор = L. Markowitz
| выпуск = 3
| издание = The Mathematics Teacher
| страницы = 222—3
| заглавие = Area = Perimeter
| ссылка = https://archive.org/details/sim_mathematics-teacher_1981-03_74_3/page/222
| том = 74
| год = 1981
| zbl = 1982d.06561
| ref= Markowitz
}}
* {{статья
|автор=William H. Richardson
|ref=Richardson
|заглавие=Super-Heronian Triangles
|год=2007
|url=http://www.math.wichita.edu/~richardson/heronian/heronian.html
}}
* {{книга
|автор=Wacław Sierpiński
|заглавие=Pythagorean Triangles
|url=https://books.google.com/books?id=6vOfpjmCd7sC
|год=2003
|издательство=Dover Publications, Inc.
|isbn=978-0-486-43278-6
|издание=Переиздание книги 1962 года
|ref= Sierpiński
}}
* {{статья
|автор=Paul Yiu
|заглавие=Heron triangles which cannot be decomposed into two integer right triangles
|url=http://math.fau.edu/yiu/Southern080216.pdf
|год=2008
|ref=Yiu
|издательство=41st Meeting of Florida Section of Mathematical Association of America
}}
* Online Encyclopedia of Integer Sequences [https://oeis.org/search?q=Heronian Heronian]
* {{статья
|автор=Wm. Fitch Cheney, Jr.
|заглавие=Heronian Triangles
|издание=Am. Math. Monthly
|том=36
|выпуск=1 January
|страницы=22—28
|год=1929
|jstor=2300173
}}
* {{ статья
|автор=S. Sh. Kozhegel'dinov
|заглавие=On fundamental Heronian triangles
|издание=Math. Notes
|том=55
|выпуск=2
|страницы=151—6
|год=1994
|doi=10.1007/BF02113294
|url=https://link.springer.com/article/10.1007%2FBF02113294
}}

{{rq|
{{плохой перевод|язык=en|оригинал=Heronian triangle|дата=2015-03-19}}
{{стиль статьи|дата=2015-03-19}}
}}

[[Категория:Комбинаторная геометрия]]
[[Категория:Арифметические проблемы планиметрии]]
[[Категория:Виды треугольников]]

Геронов треугольник - История изменений

imported>SchlurcherBot: Bot: http → https