imported>EyeBot: автоматическая отмена правки участника 178.74.79.47 - R:6B ORES: 0.9193

2026-03-01T03:59:15Z

автоматическая отмена правки участника 178.74.79.47 - R:6B ORES: 0.9193

Новая страница

{{Значения|Гамма}}
[[Файл:Gamma plot.svg|thumb|right|325px|График гамма-функции действительной переменной]]
'''Гамма-функция''' — [[математика|математическая]] [[функция (математика)|функция]]. Была введена [[Леонард Эйлер|Леонардом Эйлером]], а своим обозначением гамма-функция обязана [[Лежандр, Адриен Мари|Лежандру]]<ref name="Davis">{{статья |заглавие=Leonhard Euler's Integral: A Historical Profile of the Gamma Function |издание=[[American Mathematical Monthly]] |том=66 |номер=10 |страницы=849—869 |ссылка=http://mathdl.maa.org/mathDL/22/?pa=content&sa=viewDocument&nodeId=3104 |access-date=2016-12-03 |doi=10.2307/2309786 |jstor=2309786 |язык=en |тип=journal |автор=Davis, P. J. |год=1959 |archive-date=2012-11-07 |archive-url=https://web.archive.org/web/20121107190256/http://mathdl.maa.org/mathDL/22/?pa=content&sa=viewDocument&nodeId=3104 }}</ref>.

Гамма-функция чрезвычайно широко применяется в науке. Среди основных областей её применения — [[математический анализ]], [[теория вероятностей]], [[комбинаторика]], [[статистика]], [[атомная физика]], [[астрофизика]], [[гидродинамика]], [[сейсмология]] и [[экономика]]. В частности, гамма-функция используется для обобщения понятия [[факториал]]а на множества [[Вещественное число|действительных]] и [[комплексные числа|комплексных]] значений аргумента и расширения понятия [[Дробная производная|производной на дробные значения]].

== Определения ==

=== Интегральное определение ===
Если вещественная часть комплексного числа <math>z</math> положительна, то гамма-функция определяется через абсолютно сходящийся [[интеграл]]
: <math>\Gamma (z) = \int \limits_0^{+\infty} t^{z - 1} e^{-t} \, dt, \quad z \in \mathbb{C}, \quad \mathrm{Re} (z) > 0</math>
Это определение было получено Лежандром из оригинального определения Эйлера (1730 г.)
: <math>\Gamma(z)=\int\limits_0^1 (-\ln{x})^{z-1} \, dx </math>
через замену переменной <math>x=e^{-t}</math>, и на сегодняшний день именно определение Лежандра известно как классическое определение гамма-функции. Интегрируя по частям классическое определение, легко видеть, что <math>\Gamma(z+1)=z\Gamma(z)</math>.

Для приближённого вычисления значений гамма-функции удобнее третья формула, также полученная из определения Эйлера путём применения равенства <math>\Gamma(z)=\Gamma(z+1)/z</math> и замены переменной <math>x=y^2</math>:

: <math>\Gamma(z)=\frac{2^{z+1}}{z}\int\limits_0^1 y(-\ln{y})^{z} \, dy </math>.

Интеграл в этой формуле сходится при <math>\mathrm{Re}(z)>-1</math>, хотя она обычно используется для положительных вещественных значений аргумента (предпочтительные значения — вблизи 1). В случае вещественного аргумента <math>z>0</math> подынтегральная функция имеет единственную особую точку — устранимый разрыв при <math>y=0</math>, и если доопределить её в этой точке значением <math>0</math>, она станет непрерывной на всём отрезке <math>[0; 1]</math>. Таким образом, интеграл является собственным, что упрощает [[численное интегрирование]].

Существует непосредственное [[аналитическое продолжение]] исходной формулы на всю [[Комплексная плоскость|комплексную плоскость]], кроме целых чисел, называемое интегралом {{s|Римана —}} Ханкеля:
: <math>\Gamma(z)=\frac{1}{e^{i 2\pi z}-1}\int\limits_L\!t^{\,z-1}e^{-t}\,dt,\quad z\in\mathbb{C}\setminus\mathbb{Z}</math>.
Здесь контур <math>L</math> — любой контур на комплексной плоскости, обходящий точку <math>t = 0</math> против часовой стрелки, концы которого уходят на бесконечность вдоль положительной вещественной оси.

Последующие выражения служат альтернативными определениями гамма-функции.

Определение по [[Гаусс, Карл Фридрих|Гауссу]] верно для всех комплексных <math>z</math>, за исключением 0 и отрицательных целых чисел:
: <math>\Gamma(z)=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{(n-1)! \,n^z}{z(z+1)(z+2)\cdots(z+n-1)}, \quad z\in\mathbb{C}\setminus\{0,-1,-2,\ldots\}</math>.

Определение по [[Эйлер, Леонард|Эйлеру]]
: <math>\Gamma(z) = \frac{1}{z} \prod_{n=1}^\infty \frac{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{\mathrm z}}{1+\frac{\mathrm z}{n}},\quad z\in\mathbb{C}\setminus\{0,-1,-2,\ldots\}</math>.

Определение по [[Вейерштрасс, Карл|Вейерштрассу]]:
: <math>\Gamma(z)=\frac{e^{-\gamma z}}{z} \prod_{n=1}^\infty \left(1 + \frac{z}{n}\right)^{-1} e^{z/n},\quad z\in\mathbb{C}\setminus\{0,-1,-2,\ldots\}</math>.
где <math>\gamma=\lim\limits_{n\to\infty}\left(\sum\limits_{k=1}^n\frac{1}{k}-\ln{n}\right)\approx 0,57722</math> — [[постоянная Эйлера — Маскерони]]<ref name="Davis" />.

{{якорь|Пи-функция}}Иногда используется альтернативная, так называемая ''пи-функция'', которая является обобщением факториала и связана с гамма-функцией соотношением <math>\Pi(z)=\Gamma(z+1)</math>. Именно этой функцией (а не <math>\Gamma</math>-функцией) пользовались Гаусс, Риман, и многие другие немецкие математики XIX века.

== Свойства ==
[[Файл:GammaAbsSmallPlot.svg|240px|thumb|right|График модуля гамма-функции на комплексной плоскости.]]
[[Файл:Factorial05.jpg|400px|thumb|Амплитуда и фаза факториала комплексного аргумента.]]
Для любого целого неотрицательного n верно:
: <math>\Gamma(n+1)=n!</math>.

Основное свойство гамма-функции — это её рекуррентное уравнение:
: <math>\Gamma(z+1)=z\Gamma(z)</math>,
которое при фиксированном начальном условии единственным образом определяет логарифмически выпуклое решение, то есть саму гамма-функцию ([[Теорема Бора — Моллерупа]])<ref name="Kingman1961">{{статья |заглавие=A Convexity Property of Positive Matrices |издание={{iw|Quarterly Journal of Mathematics|The Quarterly Journal of Mathematics||Quarterly Journal of Mathematics}} |том=12 |номер=1 |страницы=283—284 |doi=10.1093/qmath/12.1.283 |bibcode=1961QJMat..12..283K |язык=en |автор=Kingman, J. F. C. |год=1961 |тип=journal}}</ref>.

{{якорь|Формула дополнения Эйлера}}Для гамма-функции справедлива формула дополнения Эйлера:
: <math>\Gamma(1-z)\Gamma(z)={\pi\over\sin\pi z}</math>.

Также справедлива и формула умножения Гаусса:
: <math>\Gamma(z)\Gamma\left(z+\frac{1}{n}\right)\cdots\Gamma\left(z+\frac{n-1}{n}\right)=n^{\frac{1}{2}-nz}\cdot(2\pi)^{\frac{n-1}{2}}\Gamma(nz)</math>.
Частный случай этой формулы при n=2 был получен Лежандром:
: <math>
\Gamma(z) \; \Gamma\left(z + \frac{1}{2}\right) = 2^{1-2z} \; \sqrt{\pi} \; \Gamma(2z)</math>.

Гамма-функция не имеет нулей на всей комплексной плоскости. <math>\Gamma(z)</math> является [[мероморфная функция|мероморфной]] на комплексной плоскости и имеющей [[Полюс (комплексный анализ)|простые полюсы]] в точках <math>z=0,\;-1,\;-2,\;-3,\;\ldots</math><ref name="Davis" />.

Гамма-функция имеет [[полюс (комплексный анализ)|полюс]] первого порядка в <math>z=-n</math> для любого натурального <math>n</math> и нуля; [[вычет (комплексный анализ)|вычет]] в этой точке задаётся так:
: <math>\operatorname{\mathrm{Res}}_{z=-n}\,\Gamma(z)=\frac{(-1)^n}{n!}</math>.
Полезное свойство, которое может быть получено из предельного определения:
: <math>\overline{\Gamma(z)} = \Gamma(\overline{z})</math>.
Гамма-функция [[Дифференцируемая функция|дифференцируема]] бесконечное число раз, и <math>\Gamma^\prime(x)=\psi(x)\Gamma(x)</math>, где <math>\psi(x)</math>, часто называют «пси-функцией» или [[Дигамма-функция|дигамма-функцией]]. Гамма-функция и [[бета-функция]] связаны следующим соотношением:
: <math>\Beta(x,\;y)=\frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}</math>.

По [[Теорема Бора — Моллерупа|теореме Бора — Моллерупа]] гамма-функция является единственной функцией, обладающей в области <math>x>1</math> одновременно тремя свойствами:
* <math>f(1)=1</math>,
* <math>f(x+1)=x f(x)</math> для <math>x > 0</math>,
* <math>f</math> является логарифмически выпуклой функцией (то есть <math>\log f</math> — [[Выпуклая функция|выпукла]]).

== Логарифм гамма-функции ==
По целому ряду причин наряду с гамма-функцией часто рассматривают и [[логарифм]] гамма-функции — первообразную [[Дигамма-функция|дигамма-функции]]. Для него справедливы следующие интегральные представления:
: <math>
\ln\Gamma(z) \, =\, \left(z-{\frac{1}{\,2\,}}\right)\!\ln z -z +{\frac{1}{\,2\,}}\ln2\pi
+\!\int\limits_0^{\,\infty} \!\left[\frac{1}{e^x-1}-\frac{1}{x}+\frac{1}{2} \right] \frac{e^{-xz}}{x}\,dx
\,,\qquad \operatorname{Re}{z}>0
</math>
и
: <math>
\ln\Gamma(z) \, =\, \left(z-{\frac{1}{\,2\,}}\right)\!\ln z -z +{\frac{1}{\,2\,}}\ln2\pi
+2\!\int\limits_0^{\,\infty} \!\frac{\,\operatorname{arctg}(x/z)\,}{e^{2\pi x}-1}\, dx\,,\qquad \operatorname{Re}{z}>0
</math>
данные [[Бине, Жак Филипп Мари|Жаком Бине]] в 1839 году (эти формулы ещё часто называют первой и второй формулой Бине соответственно для логарифма гамма-функции)<ref name="bateman">Harry Bateman and Arthur Erdélyi ''Higher Transcendental Functions [in 3 volumes]''. Mc Graw-Hill Book Company, 1955.</ref>. Несколько отличные интегральные формулы для логарифма гамма-функции также появлялись в работах [[Мальмстен, Карл Йохан|Мальмстена]], [[Лерх, Матиаш|Лерха]] и некоторых других. Так, [[Мальмстен, Карл Йохан|Мальмстен]] получил формулу, схожую с первой формулой [[Бине, Жак Филипп Мари|Бине]]<ref name="bateman" />:
: <math>
\ln\Gamma(z) \, = \int\limits_0^{\,\infty} \!\left[z-1-\frac{1-e^{-(z-1)x}}{1-e^{-x}} \right] \frac{e^{-x}}{x}\,dx
\,,\qquad \operatorname{Re}{z}>0
</math>
а [[Лерх, Матиаш|Лерх]] показывает, что все интегралы вида:
: <math>
\int\limits_0^{\,\infty} \!\frac{\,e^{2\pi x}\!\cos\varphi - 1\,}{e^{4\pi x}-2e^{2\pi x}\!\cos\varphi + 1}\operatorname{arctg}\frac{u}{x} \; dx \,,\qquad 0<u\leqslant1\,, \quad 0<\varphi<2\pi u
</math>
также сводятся к логарифмам гамма-функции. В частности, формула, аналогичная второй формуле Бине с «сопряжённым» знаменателем, имеет следующий вид:
: <math>
\ln\Gamma(z) = -\biggl(z-{\frac{1}{2}}\biggr)\cdot\left\{1-\ln\biggl(z-{\frac{1}{2}}\biggr) \!\right\} +{\frac{1}{2}}\ln2\pi
- \,2\!\int\limits_0^{\infty} \!\frac{\operatorname{arctg}\big[x/\big(z-\tfrac{1}{2}\big)\big]}{e^{2\pi x}+1}\,dx,
\qquad \operatorname{Re}{z}>\frac{1}{2}
</math>
: (см. упр. 40 в<ref name="iaroslav_06">[https://link.springer.com/article/10.1007/s11139-013-9528-5 Iaroslav V. Blagouchine ''Rediscovery of Malmsten’s integrals, their evaluation by contour integration methods and some related results.'' The Ramanujan Journal, vol. 35, no. 1, pp. 21-110, 2014.] {{Wayback|url=https://link.springer.com/article/10.1007/s11139-013-9528-5 |date=20171212193059 }} [https://www.researchgate.net/publication/257381156_Rediscovery_of_Malmsten's_integrals_their_evaluation_by_contour_integration_methods_and_some_related_results PDF] {{Wayback|url=https://www.researchgate.net/publication/257381156_Rediscovery_of_Malmsten%27s_integrals_their_evaluation_by_contour_integration_methods_and_some_related_results |date=20210507003503 }}</ref>)
Кроме того, [[Мальмстен, Карл Йохан|Мальмстен]] также получил ряд интегральных формул для логарифма гамма-функции, содержащих [[гиперболические функции]] с логарифмом в подынтегральном выражении (или, что то же, логарифм логарифма с полиномами). В частности,
: <math>
\ln\Gamma(z)=\,\frac{1}{2}\ln\pi \,-\, \frac{1}{2}\ln\sin\pi z \,- \,\frac{2z-1}{2}\ln2\pi\, - \,\frac{\sin2\pi z}{2\pi}\!
\int\limits_0^\infty \!\!\frac{\,\ln{x}\,}{\,\operatorname{ch}{x}-\cos2\pi z\,}\,dx\,,\qquad 0<\operatorname{Re} z <1
</math>
: (см. упр. 2, 29-h, 30 в<ref name="iaroslav_06" />)
Ярослав Благушин показал, что при рациональном аргументе <math>z=k/n</math>, где <math>k</math> и <math>n</math> целые положительные числа, такие, что <math>k</math> не превосходит <math>n</math>, справедливо следующее представление:
: <math>
\ln\Gamma \biggl(\!\frac{k}{n}\!\biggr)=\frac{(n-2k)\ln2\pi}{2n} + \frac{1}{2}\left\{\ln\pi-\ln\sin\frac{\pi k}{n} \right\} + </math>
: <math> + \frac{1}{\pi}\!\sum_{r=1}^{n-1}\frac{\gamma+\ln{r}}{r}\cdot\sin\frac{2\pi r k}{n}-
\frac{1}{2\pi}\sin\frac{2\pi k}{n}\cdot\!\int\limits_0^\infty \!\!\frac{\,e^{-nx}\!\cdot\ln{x}\,}{\,\operatorname{ch}{x}-\cos\dfrac{2\pi k}{n}\,}\,dx\,,\qquad k\neq\frac{n}{2}
</math>
: (см. приложение C<ref name="iaroslav_07">{{Cite web |url=http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0022314X14002820 |title=Iaroslav V. Blagouchine ''A theorem for the closed-form evaluation of the first generalized Stieltjes constant at rational arguments and some related summations'' Journal of Number Theory (Elsevier), vol. 148, pp. 537—592, 2015. |access-date=2018-02-01 |archive-date=2015-09-24 |archive-url=https://web.archive.org/web/20150924154252/http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0022314X14002820 |url-status=live }}</ref>, а также упр. 60 и 58<ref name="iaroslav_06" />)
Более того, и в более общих случаях интегралы, содержащие гиперболические функции с логарифмом (или арктангенсом) в подынтегральном выражении, часто сводятся к логарифмам гамма-функции и [[Полигамма-функция|её производным]], в том числе и комплексного аргумента, см. напр. упр. 4-b, 7-а и 13-b в<ref name="iaroslav_06" />.

Логарифм гамма-функции также тесно связан с аналитическим продолжением [[Дзета-функция Гурвица|обобщённой дзета-функции]]
: <math>
\ln\Gamma(z)=\zeta'(0,z)-\zeta'(0)=\zeta'(0,z)+\frac{1}{2}\ln2\pi
</math>
Это важнейшее взаимоотношение, выведенное [[Лерх, Матиаш|Лерхом]], позволяет получить большое количество интегральных представлений для логарифма гамма-функции через известные формулы для [[Дзета-функция Гурвица|обобщённой дзета-функции]].

[[Ряд Фурье]] для логарифма гамма-функции имеет следующий вид
: <math>
\ln\Gamma(x) = \left(\frac{1}{2}-x\right)(\gamma+\ln2)+(1-x)\ln\pi
- \frac{1}{2}\ln\sin\pi x + \frac{1}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin 2\pi n x \cdot\ln{n}}{n}\,, \qquad 0<x<1
</math>
Эта формула обычно приписывается [[Куммер, Эрнст Эдуард|Эрнсту Куммеру]], который её вывел в 1847 г. (в авторитетной литературе<ref name="bateman" /><ref>E.T. Whittaker and G. N. Watson ''A course of modern analysis. An introduction to the general theory of infinite processes and of analytic functions, with an account of the principal transcendental functions (third edition). Cambridge at the University Press, 1920.''</ref><ref>H.M. Srivastava and J. Choi ''Series Associated with the Zeta and Related Functions''. Kluwer Academic Publishers. The Netherlands, 2001</ref> этот ряд даже называется рядом Куммера для логарифма гамма-функции). Однако недавно было открыто, что эта формула была получена ещё в 1842 г. [[Мальмстен, Карл Йохан|Карлом Мальмстеном]] (см. Ярослав Благушин<ref name="iaroslav_06" /><ref name="iaroslav_06bis">{{статья |doi=10.1007/s11139-015-9763-z |заглавие=Erratum and Addendum to "Rediscovery of Malmsten's integrals, their evaluation by contour integration methods and some related results" |издание={{iw|The Ramanujan Journal|Ramanujan J.||The Ramanujan Journal}} |том=42 |номер=3 |страницы=777—781 |язык=en |тип=journal |автор=Blagouchine, Iaroslav V. |год=2016}}</ref>).

{| class="wikitable"
|+
! b !! <math>\underbrace{^{^{^{^{^{a}.}.}.}a}a}_{b}</math>
|-
| 1
| 1, 2, 3, 4, 5, ...
|-
| 2
| 1, 4, {{val|7625597484987}}, <math>\exp_{10}^3(2{,}18726)</math>, ...
|-
| 3
| 1, {{val|65536}}, <math>\exp_{10}^{7\,625\,597\,484\,986}(1{,}09902)</math>, ...
|-
| 4
| 1, <math>\exp_{10}^{65\,533}(4{,}29508)</math>, ...
|}

Помимо разложения в ряд Фурье, существуют и другие разложения в ряды. Одно из самых известных это ряд [[Стирлинг, Джеймс|Стирлинга]]
: <math>\ln \Gamma(z) = \left(z-\frac{1}{\,2\,}\right)\!\ln z -z +\frac{1}{\,2\,}\ln2\pi
+\sum_{n=1}^N \frac{B_{2n}}{2n(2n-1)z^{2n-1}}+ O(z^{-2N-1})\,,\qquad |\arg z|<\frac{\pi}{2}
</math>
В его стандартной вариации
: <math>\ln \Gamma(z) = z\ln z + O(z)</math>
где коэффициенты <math>B_{2n}</math> означают [[числа Бернулли]].
{| class="wikitable"
|+
! a !! <math>\underbrace{^{^{^{^{^{a}.}.}.}a}a}_{b}</math>
|-
| 1
| 1, 1, 1, 1, 1, ...
|-
| 2
| 2, 4, {{val|65536}}, <math>\exp_{10}^{65\,533}(4{,}29508)</math>, ...
|-
| 3
| 3, {{val|7625597484987}}, <math>\exp_{10}^{7\,625\,597\,484\,986}(1{,}09902)</math>, ...
|-
| 4
| 4, <math>\exp_{10}^3(2{,}18726)</math>, <math>\exp_{10}^{4[4]4-1}(2{,}18726)</math>, ...
|}

Из определения гамма-функции по Вейерштрассу следует ещё одно важное представление рядом<ref>Д. С. Кузнецов. ''Специальные функции'' (2-е изд.). Высшая Школа, Москва, 1965.</ref>
: <math>\ln \Gamma(z) = -\gamma z -\ln z + \sum_{n=1}^\infty \left[\frac{z}{n}-\ln\!\left(1+\frac{z}{n}\right)\right]
</math>.

== Частные значения ==
Гамма-функция целого и полуцелого аргументов выражается через [[элементарные функции]]. В частности
: <math>\Gamma(1)=0!=1</math>
: <math>\Gamma(2)=1!=1</math>
: <math>\Gamma(3)=2!=2</math>
: <math>\Gamma(4)=3!=6</math>
: <math>\Gamma(5)=4!=24</math>
: <math>\Gamma\left(\tfrac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}</math>.
: <math>\Gamma\left(\tfrac{3}{2}\right)=\tfrac{1}{2}\sqrt{\pi}</math>.
: <math>\Gamma\left(\tfrac{5}{2}\right)=\tfrac{3}{4}\sqrt{\pi}</math>.
: <math>\Gamma\left(\tfrac{7}{2}\right)=\tfrac{15}{8}\sqrt{\pi}</math>.
: <math>\Gamma\left(-\tfrac{1}{2}\right)=-2\sqrt{\pi}</math>.
: <math>\Gamma\left(-\tfrac{3}{2}\right)=\tfrac{4}{3}\sqrt{\pi}</math>.
: <math>\Gamma\left(\tfrac{1}{2}+n\right) = {(2n)! \over 4^n n!} \sqrt{\pi} = \frac{(2n-1)!!}{2^n}\, \sqrt{\pi} = \sqrt{\pi} \cdot \left[ {n-\frac{1}{2}\choose n} n! \right] </math>
: <math>\Gamma\left(\tfrac{1}{2}-n\right) = {(-4)^n n! \over (2n)!} \sqrt{\pi} = \frac{(-2)^n}{(2n-1)!!}\, \sqrt{\pi} = \sqrt{\pi} / \left[ {-\frac{1}{2} \choose n} n! \right] </math>
Поиск значения гамма-функции в точках 1/4 и 1/3 являлся объектом подробных изысканий Эйлера, Гаусса и Лежандра, однако им не удалось подсчитать эти значения в замкнутом виде<ref name="Davis" />.

Существуют следующие представления в незамкнутом виде для <math>\Gamma(1/4)</math>:
: <math>\Gamma\left(\tfrac14\right) = \sqrt \frac{(2 \pi)^{\frac{3}{2}}}{\mathrm{AGM}(\sqrt 2, 1)}</math>
: <math>\Gamma\left(\tfrac14\right) = (2 \pi)^{\frac{3}{4}} \prod_{k=1}^\infty \mathrm{th} \left( \frac{\pi k}{2} \right)</math>
: <math>\Gamma\left(\tfrac14\right) = A^3 e^{-\frac{G}{\pi}} \sqrt{\pi} 2^{\frac{1}{6}} \prod_{k=1}^\infty \left(1-\frac{1}{2k}\right)^{k(-1)^k}</math>
где [[Среднее арифметико-геометрическое|AGM — функция арифметико-геометрического среднего]], [[Постоянная Каталана|G — постоянная Каталана]] и [[Постоянная Глейшера — Кинкелина|A — постоянная Глейшера — Кинкелина]].

== Обобщения ==
В классическом интегральном определении гамма-функции пределы интегрирования фиксированы. Рассматривают также [[Неполная гамма-функция|неполную гамма-функцию]], определяемую аналогичным интегралом с переменным верхним либо нижним пределом интегрирования. Различают верхнюю неполную гамма-функцию, часто обозначаемую как гамма-функцию от двух аргументов:
: <math>\Gamma(z,a)=\int\limits_{\mathrm a}^\infty\!{ t^{z-1}e^{-t}\,dt}</math>
и нижнюю неполную гамма-функцию, аналогично обозначаемую строчной буквой «гамма»:
: <math>\gamma(z,a)=\int\limits_0^{\mathrm a}\!{t^{z-1}e^{-t}\,dt}</math>.
Иногда неполную гамма-функцию определяют как<ref>{{Из|МЭ|заглавие=Неполная гамма-функция}}</ref>:
: <math>I(z,a)=\frac{1}{\Gamma(z)}\int\limits_0^{\mathrm a}\!{t^{z-1}e^{-t}\,dt}</math>.

== Вычисление интегралов ==
Важным применением Гамма функции служит сведение к ней интегралов следующего вида, где <math>a,\alpha,\beta</math> — постоянные параметры

: <math>\int_0^\infty x^\alpha \exp(-ax^\beta)\,dx = a^{-\frac{\alpha+1}{\beta}}\cdot\frac1\beta\Gamma\left(\frac{\alpha+1}{\beta}\right)</math>

{{Доказ1| После вынесения параметра:

: <math>\int_0^\infty x^\alpha \exp(-ax^\beta)\,dx=a^{-\frac{\alpha+1}{\beta}}\int_0^\infty \left(a^{1/\beta} x\right)^\alpha \exp\Big[-(a^{1/\beta}x)^\beta\Big]\,d\left(a^{1/\beta}x\right)</math>

Внесения дифференциала:

: <math>a^{-\frac{\alpha+1}{\beta}}\int_0^{\infty} \kappa^\alpha \exp(-\kappa^\beta)\,d\kappa=\dfrac{a^{-\frac{\alpha+1}{\beta}}}{\beta}\int_0^{\infty} \kappa^{\alpha+1-\beta} \exp(-\kappa^\beta)\,d\kappa^\beta</math>

И замены переменной:

: <math>\dfrac{a^{-\frac{\alpha+1}{\beta}}}{\beta}\int_0^{\infty} \varkappa^{\frac{\alpha+1}{\beta}-1} \exp(-\varkappa)\,d\varkappa=a^{-\frac{\alpha+1}{\beta}}\cdot\frac{1}{\beta}\Gamma\left(\frac{\alpha+1}{\beta}\right)</math>

}}В частности, для широко встречающихся в приложениях физики интегралов [[Гауссов интеграл|Гауссова]] типа:

: <math>\int_0^\infty x^\alpha \exp(-x^2/a^2)\,dx = a^{\alpha+1}\cdot\frac12\Gamma\left(\frac{\alpha+1}{2}\right)</math>

и эйлеровых интегралов:

: <math>\int_0^\infty x^\alpha \exp(-x/a)\,dx = a^{\alpha+1}\cdot\Gamma\left(\alpha+1\right)</math>

== См. также ==
* [[Список объектов, названных в честь Леонарда Эйлера]]
* [[K-функция]]
* [[G-функция Барнса]]
* [[Бета-функция]]
* [[Гамма-распределение]]
* [[Неполная гамма-функция]]

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
* В. Я. Арсенин. ''Математическая физика: основные уравнения и специальные функции'', глава X, сс. 225—233. Наука, [[Москва]], 1966.
* {{книга|автор=[[Артин, Эмиль|Артин Э.]]| заглавие = Введение в теорию гамма-функций| издание = 2-е| год = 2009 |издательство = Либроком}}
* М. А. Евграфов. ''Аналитические функции'', глава VI, сс. 267—273. Наука, Москва, 1968.
* М. А. Евграфов и др. ''Сборник задач по теории аналитических функций'', сс. 307—316. Наука, Москва, 1969.
* Г. М. Фихтенгольц. ''Курс дифференциального и интегрального исчисления'' (7-е изд.), глава XIV, сс. 750—794. Наука, Москва, 1969.
* А. И. Маркушевич. ''Теория аналитических функций'' (2-е изд.), том 2, сс. 303—324. Наука, Москва, 1968.
* Н. Н. Лебедев. ''Специальные функции и их приложения'' (2-е изд.), глава I, сс. 11—27. ФМ, Москва, 1963.
* А. Ф. Никифоров и В. Б. Уваров. ''Специальные функции математической физики'', сс. 263—268. Наука, Москва, 1978.
* Пагурова В. И. Таблицы неполной гамма-функции. (Редактор Диткин В. А.). Москва, Изд-во ВЦ АН СССР, 1963. 236 с.
** Л. Н. Большев. [http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=zvmmf&paperid=9070&option_lang=rus В. И. Пагурова. Таблицы неполной гамма-функции. Рецензия] // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 4:5 (1964), 977—978
* R. Campbell. ''Les intégrales eulériennes et leurs applications'', Dunod, Paris, 1966.
* M. Godefroy. ''La fonction Gamma; Théorie, Histoire, Bibliographie'', Gauthier-Villars, Paris, 1901.
* N. Nielson. ''Handbuch der Theorie der Gammafunktion'', Teubner, Leipzig, 1906.

{{ВС}}

[[Категория:Специальные функции]]
[[Категория:Объекты, названные в честь Леонарда Эйлера]]

Гамма-функция - История изменений

imported>EyeBot: автоматическая отмена правки участника 178.74.79.47 - R:6B ORES: 0.9193