imported>Raye Penber в 11:11, 16 сентября 2025

2025-09-16T11:11:42Z

Новая страница

[[Файл:Convex polygon illustration1.svg|right|мини|Выпуклое множество.]]
[[Файл:Convex polygon illustration2.svg|right|мини|Невыпуклое множество.]]
'''Выпуклое множество''' в [[Аффинное пространство|аффинном]] или [[Векторное пространство|векторном]] пространстве — [[множество]], в котором все точки [[отрезок|отрезка]], образуемого любыми двумя [[Точка (геометрия)|точками]] данного множества, также принадлежат данному множеству.

[[Граница (топология)|Граница]] выпуклого множества всегда является [[Выпуклая кривая|выпуклой кривой]]. Пересечение всех выпуклых множеств, содержащих данное подмножество {{mvar|A}} евклидова пространства, называется [[Выпуклая оболочка|выпуклой оболочкой]] {{mvar|A}}. Это наименьшее выпуклое множество, содержащее {{mvar|A}}.

[[Выпуклая функция]] — это [[вещественнозначная функция]], определённая на интервале со свойством, что ее надграфик (множество точек на графике функции или над ним) является выпуклым множеством. [[Выпуклое программирование]] — это подраздел оптимизации, изучающая проблему минимизации выпуклых функций над выпуклыми множествами. Раздел математики, посвященный изучению свойств выпуклых множеств и выпуклых функций, называется [[Выпуклый анализ|выпуклым анализом]].

Выпуклые множества играют важную роль во многих оптимизационных задачах{{sfn|Демьянов, Малоземов|1972}}.

== Определения ==
Пусть <math>A</math> — [[аффинное пространство|аффинное]] или [[векторное пространство]] над [[Поле (алгебра)|полем]] [[вещественное число|вещественных чисел]] <math>\mathbb{R}</math>.

[[Множество]] <math>K\subset A</math> называется '''выпуклым''', если вместе с любыми двумя [[Точка (геометрия)|точками]] <math>x,\;y\in K</math> множеству <math>K</math> принадлежат все точки отрезка <math>xy</math>, соединяющего в пространстве <math>A</math> точки <math>x</math> и <math>y</math>.
Этот отрезок можно представить как
: <math>\bigcup\limits_{t\in[0;\;1]}\{x+t\cdot\overrightarrow{xy}\}.</math>

== Связанные определения ==
Множество <math>K</math> векторного пространства <math>V</math> называется '''абсолютно выпуклым''', если оно выпукло и [[уравновешенное множество|уравновешенно]].

== Выпуклый многосторонник ==
[[Файл:Supporting hyperplane4 - closed line segment.svg|thumb|250px|Отрезок как выпуклый четырёхсторонник]]
{{не путать|Конфигурация (геометрия)|конфигурационным полным многосторонником}}
{{Основная статья|Выпуклый многосторонник}}

[[Выпуклый многосторонник]] — [[Геометрическая фигура|фигура]] на плоскости, которую можно представить как пересечение ''конечного'' числа [[Полуплоскость|замкнутых полуплоскостей]]{{sfn|''Болтянский В. Г., Яглом И. М.'' Выпуклые фигуры и тела|1966|loc=3.2. Выпуклые многосторонники и многогранники|с=209|name=Болтянский209}}.

Простейший выпуклый многосторонник — это [[Выпуклый односторонник|односторонник]], то есть замкнутая полуплоскость<ref name=Болтянский209/>.

[[Треугольник]] — простейший ''ограниченный'' выпуклый многосторонник; при <math>n \geqslant 3</math> выпуклые [[Трёхсторонник|трёхсторонники]], [[Четырёхсторонник|четырёхсторонники]] и так далее бывают ограниченные и неограниченные. [[Отрезок#Отрезок в геометрии|Отрезок]] — пример выпуклого ограниченного четырёхсторонника<ref name=Болтянский209/>.

== Примеры ==
* Выпуклые [[подмножество|подмножества]] множества <math>\R</math> (множество вещественных чисел) представляют собой [[Промежуток (математика)|промежутки]] из <math>\R</math>.
* Примерами выпуклых подмножеств в двумерном [[Евклидово пространство|евклидовом пространстве]] (<math>\R^2</math>) являются [[правильный многоугольник|правильные многоугольники]].
* Примерами выпуклых подмножеств в трёхмерном евклидовом пространстве (<math>\R^3</math>) являются [[Архимедово тело|архимедовы тела]] и [[Правильный многогранник|правильные многогранники]].
* [[Звёздчатый многогранник|Тела Кепплера — Пуансо (правильные звездообразные многогранники)]] являются примерами невыпуклых множеств.

== Свойства ==
* Пустое множество и все пространство являются выпуклыми множествами. Поскольку пустое пространство и все пространство являются также и [[Замкнутое множество|замкнутыми множествами]], то они также являются замкнутыми выпуклыми множествами.
* Совокупность всех выпуклых множеств линейного пространства по отношению порядка образованного отношением включения является [[Частично упорядоченное множество |частично упорядоченным множеством]] с минимальным элементом, являющимся пустым множеством и максимальным элементом равным всему пространству. Такое же утверждение справедливо и для совокупности замкнутых выпуклых множеств.
* Выпуклое множество в [[топологическое линейное пространство|топологическом линейном пространстве]] является [[связное множество|связным]] и [[линейно связное множество|линейно связным]], гомотопически эквивалентным точке.
* В терминах связности, выпуклое множество можно определить так: множество выпукло, если его пересечение с любой (вещественной) прямой связно.
* Пусть <math>K</math> — выпуклое множество в линейном пространстве. Тогда для любых элементов <math>u_1,\;u_2,\;\ldots,\;u_r</math> принадлежащих <math>K</math> и для всех неотрицательных <math>\lambda_1,\;\lambda_2,\;\ldots,\;\lambda_r </math>, таких что <math>\lambda_1+\lambda_2+\ldots+\lambda_r=1</math>, вектор
*: <math>w=\sum_{k=1}^r\lambda_k u_k</math>
: принадлежит <math>K</math>.
: Вектор <math>w</math> называется [[выпуклая комбинация|выпуклой комбинацией]] элементов <math>u_1,\;u_2,\;\ldots,\;u_r</math>.
* Пересечение любой совокупности выпуклых множеств является выпуклым множеством. Поскольку операция пересечения обладает также свойствами ассоциативности и коммутативности, совокупность выпуклых множеств по операции пересечения образует коммутативную [[полугруппа|полугруппу]]. Эта полугруппа содержит единицу, равную всему пространству. Таким образом совокупность выпуклых множеств является [[моноид]]ом по операции пересечения.
* Из замкнутости семейства выпуклых множеств по операции пересечения следует, что для любого подмножества <math>A</math> линейного пространства существует наименьшее выпуклое множество, его содержащее. Это множество является пересечением всех выпуклых множеств, содержащих <math>A</math>, и называется [[выпуклая оболочка|выпуклой оболочкой]] множества <math>A</math>. Обозначается <math>co A</math>, <math>co(A)</math>, а также <math>\operatorname{Conv}A</math>.

** Выпуклая оболочка выпуклого множества совпадает с самим множеством.
** Выпуклая оболочка замкнутого множества является замкнутым (и выпуклым) множеством.
** Выпуклая оболочка множества <math>K</math> совпадает с множеством всех выпуклых линейных комбинаций векторов <math> K</math>, <math>u_1,\;u_2,\;\ldots,\;u_r \in K</math>:
*: <math>w=\sum_{k=1}^r\lambda_k u_k</math>, где <math>\lambda_1,\;\lambda_2,\;\ldots,\;\lambda_r </math> неотрицательные числа, такие что <math>\lambda_1+\lambda_2+\ldots+\lambda_r=1</math>.
** Любой вектор <math>X\in \operatorname{Conv} K</math>, где <math>K</math> — подмножество <math>n</math> - мерного линейного пространства <math>E^n</math>, может быть представлен в виде выпуклой комбинации не более чем <math>n+1</math> векторов множества <math>K</math>. {{sfn|Демьянов, Малоземов|1972}} Это утверждение называется [[Теорема Каратеодори о выпуклой оболочке|теоремой Каратеодори о выпуклой оболочке]].
* Пусть <math>\Omega\subset E^n</math> — некоторое замкнутое выпуклое множество. Тогда найдётся точка <math>X^*\in \Omega</math> такая, что для всех <math>X\in \Omega</math> выполняется
:: <math>(X, X^* ) \geqslant (X^*, X^* ) </math>.{{sfn|Демьянов, Малоземов|1972}}
* Для произвольного замкнутого выпуклого множества <math>C</math> и не принадлежащей ему точки <math>P</math> существует гиперплоскость, разделяющая <math>C</math> и <math>P</math>.{{sfn|Демьянов, Малоземов|1972}} Это утверждение называется теоремой об отделимости{{sfn|Демьянов, Малоземов|1972}}, а также [[теорема об опорной гиперплоскости|теоремой об опорной гиперплоскости]]. Теорема об опорной гиперплоскости является частным случаем [[Теорема Хана — Банаха|теоремы Хана — Банаха]] [[функциональный анализ|функционального анализа]].
* Из теоремы об опорной гиперплоскости следует, что для выпуклого замкнутого множества <math>C</math> и находящейся вне множества <math>C</math> точки <math>P</math> существует замкнутое [[полупространство]] (множеств точек в пространстве, лежащих с одной стороны [[гиперплоскость|гиперплоскости]], включая также саму гиперплоскость) <math>H</math>, включающее <math>C</math> и не содержащее <math>P</math>. Из этого следует, что все замкнутые выпуклые множества могут быть образованы пересечениями замкнутых полупространств.
* [[Теорема Хелли]]: Предположим, что в конечном семействе выпуклых подмножеств <math>\R^d</math>, пересечение любых <math>d+1</math> из них непусто. Тогда пересечение всех подмножеств из этого семейства непусто.
* Любое выпуклое множество единичной [[Площадь|площади]] в <math>\R^2</math> можно целиком заключить в некоторый [[треугольник]] площади 2{{sfn|''Weisstein Eric W.'' Triangle Circumscribing|2025}}.
* [[Теорема Крейна — Мильмана]]. Выпуклый [[компакт (топология)|компакт]] <math>K</math> в [[локально выпуклое пространство|локально выпуклом пространстве]] <math>L</math> совпадает с [[Замыкание (геометрия)|замыканием]] [[выпуклая оболочка|выпуклой оболочки]] множества своих [[Крайняя точка|крайних точек]] <math>E(K)</math>.
* Замкнутое множество <math>K</math> евклидова пространства <math>\mathbb{E}^d</math> является выпуклым тогда и только тогда, когда для любой точки <math>x\in \mathbb{E}^d</math> найдётся единственная ближайшая к ней точка <math>x^{*}\in K</math>.
**В этом случае проекция <math>\mathbb{E}^d\to K</math> определяемая как <math>x\mapsto x^{*}</math> является коротким отображением; то есть
**: <math>|x-y|\geqslant |x^{*}-y^{*}|</math>
::для любых <math>x,y\in \mathbb{E}^d</math>.

== Вариации и обобщения ==
* Без каких-либо изменений определение верно и для [[аффинное пространство|аффинных пространств]] над произвольным [[расширение поля|расширением поля]] вещественных чисел.

== Алгоритмы ==
[[Алгоритм Дикстры]] — нахождение точки из пересечения выпуклых множеств.

== См. также ==
* [[Выпуклая функция]]
* [[Выпуклое метрическое пространство]]
* [[Выпуклый анализ]]
* [[Звёздная область]]
* [[Лемма Шепли — Фолкмана]]

== Примечания ==
{{примечания}}

== Источники ==
* {{книга |автор = {{автор|Болтянский, Владимир Григорьевич|Болтянский В. Г.}}, {{автор|Яглом, Исаак Моисеевич|Яглом И. М.}} |часть = Выпуклые фигуры и тела |заглавие = Энциклопедия элементарной математики |ответственный = гл. ред.: {{автор|Александров, Павел Сергеевич|П. С. Александров}}, {{автор|Маркушевич, Алексей Иванович|А. И. Маркушевич}}, {{автор|Хинчин, Александр Яковлевич|А. Я. Хинчин}}; редакторы книги пятой: {{автор|Болтянский, Владимир Григорьевич|В. Г. Болтянский}}, {{автор|Яглом, Исаак Моисеевич|И. М. Яглом}} | язык = ru |место = М. | издательство = [[Наука (издательство)|«Наука»]] |год = 1966 |том = 5 Геометрия |страницы = 181—269 |страниц как есть = 624 с., ил |тираж = 25000 |ref = ''Болтянский В. Г., Яглом И. М.'' Выпуклые фигуры и тела}}
* {{книга|автор = [[Демьянов, Владимир Фёдорович|Демьянов В.Ф.]], [[Малозёмов, Василий Николаевич|Малоземов В.Н.]]|заглавие = Введение в минимакс|место = Москва|издательство = Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука»|год = 1972|страниц = 368|ref=Демьянов, Малоземов}}
* {{Cite web |url = https://mathworld.wolfram.com/TriangleCircumscribing.html |title = Triangle Circumscribing |author = {{автор|Вайсстайн, Эрик|Weisstein Eric W}} |lang = en |website = [[MathWorld|Wolfram MathWorld]] |publisher = [[Wolfram Research]] |date = 2025 |archive-url = https://web.archive.org/web/20241205110343/https://mathworld.wolfram.com/TriangleCircumscribing.html |archive-date = 2024-12-05 |ref = ''Weisstein Eric W.'' Triangle Circumscribing}}

== Литература ==
* {{книга|автор = [[Яглом, Исаак Моисеевич|Яглом И. М.]], [[Болтянский, Владимир Григорьевич|Болтянский В. Г.]]|часть=|заглавие=Выпуклые фигуры|язык=ru|ссылка = http://ilib.mccme.ru/djvu/bib-mat-kr/4-figures.htm |серия = Библиотека математического кружка, вып. 4|ответственный=|место = М.-Л.|издательство = ГТТИ|год = 1951|том=|страницы=|страниц = 343|isbn=|тираж=|ref = Яглом, Болтянский}}
* {{книга|автор=Лейхтвейс, К.|заглавие=Выпуклые множества|год=1985|серия=|ссылка=|место=М.|издательство=Наука|тираж=|страниц=336|isbn=}}
* {{книга|автор = ''[[Половинкин, Евгений Сергеевич|Половинкин Е. С.]], [[Балашов, Максим Викторович|Балашов М. В.]]''|заглавие = [https://mipt.ru/education/chair/mathematics/upload/0a5/Элементы_выпуклого_и_сильно_выпуклого_анализа__Половинкин_Е.С.__Балашов_М.В.PDF Элементы выпуклого и сильно выпуклого анализа]|место = {{М.}}|издательство = ФИЗМАТЛИТ|год = 2004|страниц = 416|isbn = 5-9221-0499-3|ref = Половинкин, Балашов}}.
* {{книга|автор = Тиморин В. А.|заглавие = Комбинаторика выпуклых многогранников|место = {{М.}}|издательство = [[МЦНМО]]|год = 2002|страниц = 16|ссылка = http://www.mccme.ru/dubna/2001/material/timorin.pdf|isbn = 5-94057-024-0|ref = Тиморин}}.

{{ВС}}

[[Категория:Выпуклая геометрия]]
[[Категория:Выпуклый анализ]]

Выпуклое множество - История изменений

imported>Raye Penber в 11:11, 16 сентября 2025