imported>Mrgarazh: уточнил подпись к графику

2024-05-16T22:09:24Z

уточнил подпись к графику

Новая страница

[[Файл:Convex supergraph.svg|мини|Выпуклая вниз функция, её график выделен синим, и [[надграфик]] закрашен зелёным.]]
'''Выпуклая функция''' — [[функция (математика)|функция]], [[надграфик]] или [[подграфик]] которой является [[Выпуклое множество|выпуклым множеством]].

Выпуклый надграфик означает, что отрезок между любыми двумя точками [[График функции|графика]] функции в [[Векторное пространство|векторном пространстве]] лежит не ниже соответствующей дуги графика; иногда такую функцию называют ''выпуклой вниз''. ''Выпуклой вверх'' или ''вогнутой'' называют функцию с выпуклым подграфиком; некоторыми авторами вогнутыми называются выпуклые вниз функции<ref>{{Книга |автор={{автор|Клюшин, Владимир Леонидович|Клюшин В. Л.}} |заглавие=Высшая математика для экономистов|ответственный=под ред. И. В. Мартынова |язык=ru|издание=Учебное издание |место=М. |издательство=Инфра-М |год=2006 |страницы=229 |страниц=448 |isbn=5-16-002752-1}}</ref>.

Понятие имеет важное значение для классического [[Математический анализ|математического анализа]] и [[Функциональный анализ|функционального анализа]], где особо изучаются [[Выпуклый функционал|выпуклые функционалы]], а также для таких приложений, как [[теория оптимизации]], где выделяется специализированный подраздел — [[выпуклый анализ]].
[[Файл:ConvexFunction.svg|мини|справа|Неравенство Йенсена в определении выпуклой функции]]

== Определения ==
Формально, для числовой функции на некотором [[Промежуток (математика)|интервале]] (в общем случае — на [[выпуклое подмножество|выпуклом подмножестве]] некоторого [[векторное пространство|векторного пространства]]) выпуклость (вниз) можно определить как выполнение [[неравенство Йенсена|неравенства Йенсена]] — если для любых двух значений аргумента <math>x</math>, <math>y</math> и для любого числа <math>t \in \left[ 0, 1 \right]</math> имеет место:
: <math>f \big( tx + \left( 1 - t \right)y \big) \leqslant tf \left( x \right) + \left( 1 - t \right)f \left( y \right)</math>.

Если неравенство Йенсена выполняется в [[строгое неравенство|строгом]] варианте для всех <math>t \in \left( 0, 1 \right)</math> и <math>x \ne y</math>, то функция называется '''''строго выпуклой'''''. Если выполняется обратное неравенство, функция называется '''''вогнутой''''' (соответственно, '''''строго вогнутой''''' для строгого случая).

Если для некоторого <math>\varepsilon>0</math> выполняется более сильное неравенство:
: <math>f \big( tx + \left( 1 - t \right)y \big) \leqslant tf \left( x \right) + \left( 1 - t \right)f \left( y \right) - \varepsilon t \left( 1 - t \right)\left| x - y \right| ^2</math>,
то функция называется '''''сильно выпуклой'''''.

== Свойства ==
Функция <math>f</math>, выпуклая на интервале <math>\mathbb{I}</math>, [[Непрерывная функция|непрерывна]] на всём <math>\mathbb{I}</math>, [[дифференцируемость|дифференцируема]] на всём <math>\mathbb{I}</math> за исключением не более чем [[счётное множество|счётного множества]] точек и дважды дифференцируема [[почти всюду]].

Любая выпуклая функция является субдифференцируемой (имеет [[субдифференциал]]) на всей области определения.

У выпуклой функции через любую точку проходит [[опорная гиперплоскость]] её [[надграфик]]а.

Непрерывная функция <math>f</math> выпукла на <math>\mathbb{I}</math> тогда и только тогда, когда для всех точек <math>x, y \in \mathbb{I}</math> выполняется неравенство:
: <math>f \left( \dfrac{x+y}{2} \right) \leqslant \frac{f \left( x \right) + f \left( y \right)}{2}</math>

[[Непрерывно дифференцируемая функция]] одной переменной выпукла на интервале тогда и только тогда, когда её [[график функции|график]] лежит не ниже [[касательная|касательной]] ([[Опорная гиперплоскость|опорной гиперплоскости]]), проведённой к этому графику в любой точке промежутка выпуклости.

Выпуклая функция одной переменной на интервале имеет левую и правую производные; левая производная в точке меньше или равна правой производной; [[Производная функции|производная]] выпуклой функции — неубывающая функция.

Дважды дифференцируемая функция одной переменной выпукла на интервале тогда и только тогда, когда её вторая [[Производная функции|производная]] неотрицательна на этом интервале. Если вторая производная дважды дифференцируемой функции строго положительна, такая функция является строго выпуклой, однако обратное неверно (например, функция <math>f \left( x \right) = x^4</math> строго выпукла на <math>\left[ -1, 1 \right]</math>, но её вторая производная в точке <math>x=0</math> равна нулю).

Если функции <math>f</math>, <math>g</math> выпуклы, то любая их [[линейная комбинация]] <math>af+bg</math> с положительными коэффициентами <math>a</math>, <math>b</math> также выпукла.

[[Локальный минимум]] выпуклой функции является также [[глобальный минимум|глобальным минимумом]] (соответственно, для выпуклых вверх функций локальный максимум является глобальным максимумом). Любая [[Критическая точка (математика)|стационарная точка]] выпуклой функции будет глобальным экстремумом.

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
* {{БРЭ|автор = Теляковский С. А.|ссылка = https://old.bigenc.ru/mathematics/text/2336913|статья = Выпуклость и вогнутость|том = 6|страницы = 126-127|архив = https://web.archive.org/web/20220913133008/https://bigenc.ru/mathematics/text/2336913|архив дата = 2022-09-13}}
* {{Из КНЭ|1|525|Выпуклость и вогнутость}}

[[Категория:Типы функций]]
[[Категория:Выпуклый анализ]]

Выпуклая функция - История изменений

imported>Mrgarazh: уточнил подпись к графику