imported>Sldst-bot: Замена редиректа ш:Переписать раздел на актуальный ш:Переработать раздел с добавлением даты установки в разделе «Свойства» (2022-09-08)

2025-02-23T10:47:01Z

Замена редиректа ш:Переписать раздел на актуальный ш:Переработать раздел с добавлением даты установки в разделе «Свойства» (2022-09-08)

Новая страница

{{не путать|Грассманиан|грассманианом}}
[[Файл:Exterior calc triple product.png|right|thumb|300px|Ориентация, определяемая упорядоченным набором векторов]]

'''Внешняя алгебра''', или '''алгебра Грассмана''', — [[ассоциативная алгебра]], используемая в геометрии при построении теории интегрирования в многомерных пространствах.
Впервые введена [[Грассман, Герман Гюнтер|Грассманом]] в 1844 году.

Внешняя алгебра над пространством <math>V</math> обычно обозначается <math>{\textstyle\bigwedge} V </math>.
Важнейшим примером является алгебра [[Дифференциальная форма|дифференциальных форм]] на данном многообразии.

== Определение и связанные понятия ==
'''Внешней алгеброй''' <math>{\textstyle\bigwedge} V</math> векторного пространства <math>V</math> над полем <math>K</math> называют ассоциативную [[Факторалгебра|факторалгебру]] [[Тензорная алгебра|тензорной алгебры]] <math>T(V)</math> по [[Идеал (алгебра)|двустороннему идеалу]] <math>I</math>, порождённому элементами вида <math> x \otimes x, x \in V </math>:
:<math>{\textstyle\bigwedge} V = T(V)/I </math>.
Если [[характеристика поля]] <math>\operatorname{char}(K) \ne 2</math>, то идеал <math>I</math> в точности совпадает с идеалом, порождённым элементами вида <math>x\otimes y + y \otimes x</math>.

Умножение <math>\wedge</math> в такой алгебре при этом называют '''внешним произведением'''. По построению оно антикоммутативно:
:<math> x \wedge y = - ( y \wedge x ) .</math>

''k''-й '''внешней степенью''' пространства <math>V</math> называют векторное пространство <math>\wedge^kV</math>, порождённое элементами вида
:<math>x_1\wedge x_2\wedge\cdots\wedge x_k,\quad x_i\in V, i=1,2,\ldots, k,</math>
причём <math>\dim {\textstyle\bigwedge}^kV = \binom{n}{k}\,</math> и {{math|1=<math>{\textstyle\bigwedge}^kV</math> = { 0 }<nowiki/>}} при {{math| ''k'' > ''n''}}.

Если <math>\dim V = n</math> и {{math| { ''e''<sub>1</sub>, …, ''e''<sub>''n''</sub> } }} — базис <math>V</math>, то базисом <math>{\textstyle\bigwedge}^kV</math> является множество
:<math>\{\,e_{i_1}\wedge e_{i_2}\wedge\cdots\wedge e_{i_k} ~ \big| ~~ k = 1,2,\cdots, n ~~\text{ и }~~ 1 \leqslant i_1 < i_2 < \cdots < i_k \leqslant n \,\}.</math>

Тогда
:<math>{\textstyle\bigwedge}(V) = {\textstyle\bigwedge}^0(V)\oplus {\textstyle\bigwedge}^1(V) \oplus {\textstyle\bigwedge}^2(V) \oplus \cdots \oplus {\textstyle\bigwedge}^n(V),</math>
причём легко заметить, что внешняя алгебра естественным образом имеет [[Градуированная алгебра|градуировку]]: если <math>\alpha\in{\textstyle\bigwedge}^k\left(V\right)</math> и <math>\beta\in {\textstyle\bigwedge}^p\left(V\right)</math>, то
:<math>\alpha\wedge\beta = (-1)^{kp}\beta\wedge\alpha \quad \in {\textstyle\bigwedge}^{k+p}\left(V\right).</math>

== Свойства ==
{{переработать раздел|дата=2022-09-08}}
* Элементы пространства <math>{\textstyle\bigwedge}^rV</math> называются '''''r-векторами'''''. В случае, когда [[Характеристика поля|характеристика]] основного поля равна 0, их можно понимать также как кососимметрические ''r'' раз контравариантные [[тензор]]ы над <math>V,</math> с операцией [[Симметризация и антисимметризация тензора|антисимметризированного (альтернированного)]] тензорного произведения, то есть внешнее произведение двух антисимметрических тензоров является композицией полной антисимметризации (альтернирования) по всем индексам с [[тензорное произведение|тензорным произведением]].
** В частности, внешнее произведение двух векторов можно понимать как следующий тензор:
**: <math>(\mathbf a \wedge \mathbf b)_{ij} = a_i b_j - a_j b_i.</math>
** '''Замечание:''' Нет единого стандарта в том, что значит «антисимметризация». Например, многие авторы предпочитают формулу
**: <math>(\mathbf a \wedge \mathbf b)_{ij} = (a_i b_j - a_j b_i)/2.</math>
* Внешний квадрат произвольного вектора <math>\omega \in \wedge^1V</math> нулевой:
:: <math>\omega^{\wedge2} =\omega \wedge \omega = 0.</math>
:* Для ''r''-векторов при чётном ''r'' это неверно. Например
:::<math>(\mathbf e_1 \wedge \mathbf e_2 + \mathbf e_3 \wedge \mathbf e_4)^{\wedge 2}=2\cdot \mathbf e_1 \wedge \mathbf e_2 \wedge \mathbf e_3 \wedge \mathbf e_4.</math>
* Линейно независимые системы из <math>r</math>-векторов <math>x_1, \dots, x_r</math> и <math>y_1, \dots, y_r</math> из <math>V</math> порождают одно и то же подпространство тогда и только тогда, когда <math>r</math>-векторы <math>x_1\wedge \dots \wedge x_r</math> и <math>y_1\wedge \dots \wedge y_r</math> пропорциональны.

== Ссылки ==
* ''Винберг Э. Б.'' Курс алгебры. — {{М}}: Факториал Пресс, 2002. — ISBN 5-88688-060-7
* ''[[Шафаревич, Игорь Ростиславович|Шафаревич И. Р.]], Ремизов А. О.'' Линейная алгебра и геометрия, — {{М}}: Физматлит, 2009.
* ''Шутц Б.'' Геометрические методы математической физики. — {{М}}: Мир, 1984.
* ''[[Ефимов, Николай Владимирович|Ефимов Н. В.]]'' Введение в теорию внешних форм. — {{М}}: [[Наука (издательство)|Наука]], 1977.

== См. также ==
* [[Алгебра Клиффорда]]
* [[Тензорная алгебра]]
* [[Симметрическая алгебра]]
* [[Поливектор]]

{{algebra-stub}}

[[Категория:Линейная алгебра]]
[[Категория:Дифференциальные формы]]

Внешняя алгебра - История изменений

imported>Sldst-bot: Замена редиректа ш:Переписать раздел на актуальный ш:Переработать раздел с добавлением даты установки в разделе «Свойства» (2022-09-08)