imported>Well, Well, Bot!: уборка лишних параметров шаблона {{переход}}

2026-03-25T07:44:07Z

уборка лишних параметров шаблона {{переход}}

Новая страница

{{Значения|Пространство}}
{{Перенаправление|Линейное пространство}}
[[Файл:Vector-space-illust-transparent-background.png|мини|справа]]
'''Ве́кторное простра́нство''' (''лине́йное пространство'') — [[математическая структура]], представляющая собой набор элементов, называемых [[Вектор (математика)|векторами]], для которых определены операции сложения друг с другом и умножения на число — [[скаляр]]<ref>Не следует путать понятия «умножение на скаляр» и «[[скалярное произведение]]».</ref>. Эти операции подчинены восьми аксиомам{{Переход|Определение}}. Скаляры могут быть элементами [[Вещественное число|вещественного]], [[Комплексное число|комплексного]] или любого другого [[Поле (алгебра)|поля чисел]]. Частным случаем подобного пространства является обычное трёхмерное [[евклидово пространство]], векторы которого используются, к примеру, для представления [[Сила|физических сил]]. При этом вектор как элемент векторного пространства не обязательно должен быть задан в виде направленного отрезка. Обобщение понятия «вектор» до элемента векторного пространства любой природы не только не вызывает смешения терминов, но и позволяет уяснить или даже предвидеть ряд результатов, справедливых для пространств произвольной природы{{sfn|Ильин, Позняк|2010|с=45}}.

Векторные пространства являются предметом изучения [[Линейная алгебра|линейной алгебры]]. Одна из главных характеристик векторного пространства — его размерность{{переход|Базис. Размерность}}. Размерность представляет собой максимальное число линейно независимых элементов пространства, то есть, прибегая к грубой геометрической интерпретации, число направлений, которые невозможно выразить друг через друга посредством только операций сложения и умножения на скаляр. Векторное пространство можно наделить дополнительными структурами, например, [[Норма (математика)|нормой]] или [[Скалярное произведение|скалярным произведением]]. Подобные пространства естественным образом появляются в [[Математический анализ|математическом анализе]], преимущественно в виде бесконечномерных {{Не переведено|Функциональное пространство|функциональных пространств|en|Function space}}, где в качестве векторов выступают [[Функция (математика)|функции]]. Многие проблемы анализа требуют выяснить, сходится ли последовательность векторов к данному вектору. Рассмотрение таких вопросов возможно в векторных пространствах с дополнительной структурой, в большинстве случаев — подходящей [[Топология|топологией]], что позволяет определить понятия близости и [[Непрерывное отображение|непрерывности]]. Такие [[Топологическое векторное пространство|топологические векторные пространства]], в частности, [[Банахово пространство|банаховы]] и [[Гильбертово пространство|гильбертовы]], допускают более глубокое изучение.

Первые труды, предвосхитившие введение понятия векторного пространства, относятся к [[XVII век]]у. Именно тогда своё развитие получили [[аналитическая геометрия]], учения о [[Матрица (математика)|матрицах]], [[СЛАУ|системах линейных уравнений]], [[Вектор (математика)|евклидовых векторах]].

== Определение ==
'''Линейное''', или '''векторное''', '''пространство''' <math>V(F)</math> над [[поле (алгебра)|полем]] <math>F</math> — это упорядоченная четвёрка <math>(V, F, +, \cdot)</math>, где
* <math>V</math> — [[непустое множество]] элементов произвольной природы, которые называются '''векторами'''.
* <math>F</math> — [[поле (алгебра)|поле]], элементы которого называются '''скалярами'''.
* Определена операция '''сложения''' векторов <math>V \times V \to V</math>, сопоставляющая каждой паре элементов <math>\mathbf{x}, \mathbf{y}</math> множества <math>V</math> единственный элемент множества <math>V</math>, называемый их '''суммой''' и обозначаемый <math>\mathbf{x} + \mathbf{y}</math>.
* Определена операция '''умножения векторов на скаляры''' <math>F \times V \to V</math>, сопоставляющая каждому элементу <math>\lambda</math> поля <math>F</math> и каждому элементу <math>\mathbf{x}</math> множества <math>V</math> единственный элемент множества <math>V</math>, обозначаемый <math>\lambda \cdot \mathbf{x}</math> или <math>\lambda \mathbf{x}</math>.

Заданные [[Операция (математика)|операции]] должны удовлетворять следующим аксиомам — аксиомам линейного (векторного) пространства:
# <math>\mathbf{x} + \mathbf{y} = \mathbf{y} + \mathbf{x}</math> для любых <math>\mathbf{x}, \mathbf{y} \in V</math> (''коммутативность сложения'');
# <math>\mathbf{x} + (\mathbf{y} + \mathbf{z}) = (\mathbf{x} + \mathbf{y}) + \mathbf{z}</math> для любых <math>\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z} \in V</math> (''ассоциативность сложения'');
# существует такой элемент <math>\mathbf{0} \in V</math>, что <math>\mathbf{x} + \mathbf{0} = \mathbf{0} + \mathbf{x} = \mathbf{x}</math> для любого <math>\mathbf{x} \in V</math> (''существование нейтрального элемента относительно сложения''), называемый '''нулевым вектором''', или просто '''нулём''', пространства <math>V</math>;
# для любого <math>\mathbf{x} \in V</math> существует такой элемент <math>-\mathbf{x} \in V</math>, что <math>\mathbf{x} + (-\mathbf{x}) = \mathbf{0}</math>, называемый вектором, '''противоположным''' вектору <math>\mathbf{x}</math>;
# <math>\alpha(\beta\mathbf{x}) = (\alpha\beta)\mathbf{x}</math> (''ассоциативность умножения на скаляр'');
# <math>1 \cdot \mathbf{x} = \mathbf{x}</math> (''унитарность: умножение на нейтральный (по умножению) элемент поля <math>F</math> сохраняет вектор'').
# <math>(\alpha + \beta)\mathbf{x} = \alpha \mathbf{x} + \beta \mathbf{x}</math> (''дистрибутивность умножения вектора на скаляр относительно сложения скаляров'');
# <math>\alpha(\mathbf{x} + \mathbf{y}) = \alpha \mathbf{x} + \alpha \mathbf{y}</math> (''дистрибутивность умножения вектора на скаляр относительно сложения векторов'').
Таким образом, операция сложения задаёт на множестве <math>V</math> структуру (аддитивной) [[абелева группа|абелевой группы]].

Векторные пространства, заданные на одном и том же множестве элементов, но над различными полями, будут различными векторными пространствами (например, множество пар действительных чисел <math>\mathbb{R}^2</math> может быть двумерным векторным пространством над полем [[действительные числа|действительных чисел]] либо одномерным — над полем [[комплексные числа|комплексных чисел]]).

== Простейшие свойства ==
# Векторное пространство является [[абелева группа|абелевой группой]] по сложению.
# Нейтральный элемент <math>\mathbf{0} \in V</math> является единственным, что вытекает из групповых свойств.
# <math> 0\cdot\mathbf{x} = \mathbf{0} </math> для любого <math>\mathbf{x} \in V</math>.
# Для любого <math>\mathbf{x} \in V</math> противоположный элемент <math>-\mathbf{x} \in V</math> является единственным, что вытекает из групповых свойств.
# <math>1\cdot\mathbf{x} = \mathbf{x}</math> для любого <math>\mathbf{x} \in V</math>.
# <math>(-\alpha)\cdot\mathbf{x} = \alpha\cdot(-\mathbf{x}) = -(\alpha\mathbf{x})</math> для любых <math>\alpha \in F</math> и <math>\mathbf{x} \in V</math>.
# <math> \alpha\cdot \mathbf{0} = \mathbf{0}</math> для любого <math>\alpha \in F</math>.

== Связанные определения и свойства ==

=== Подпространство ===
Алгебраическое определение:
'''Линейное подпространство''', или '''векторное подпространство''', ― непустое подмножество <math>K</math> линейного пространства <math>V</math> такое, что <math>K</math> само является линейным пространством по отношению к определённым в <math>V</math> действиям сложения и умножения на скаляр. Множество всех подпространств обычно обозначают как <math>\mathrm{Lat}(V)</math>. Чтобы подмножество было подпространством, необходимо и достаточно, чтобы
# для всякого вектора <math>\mathbf{x}\in K</math> вектор <math>\alpha\mathbf{x}</math> также принадлежал <math>K</math> при любом <math>\alpha\in F</math>;
# для всяких векторов <math>\mathbf{x}, \mathbf{y} \in K</math> вектор <math>\mathbf{x}+\mathbf{y}</math> также принадлежал <math>K</math>.
Эти два утверждения эквивалентны следующему:
: для всяких векторов <math>\mathbf{x}, \mathbf{y} \in K</math> вектор <math>\alpha\mathbf{x}+\beta\mathbf{y}</math> также принадлежал <math>K</math> для любых <math>\alpha, \beta \in F</math>.
В частности, векторное пространство, состоящее из одного лишь нулевого вектора, является подпространством любого пространства; любое пространство является подпространством самого себя. Подпространства, не совпадающие с этими двумя, называют ''собственными'', или ''нетривиальными''.

==== Свойства подпространств ====
* Пересечение любого семейства подпространств — снова подпространство;
* Сумма подпространств <math>\{K_i\mid i\in1\ldots N\}</math> определяется как множество, содержащее всевозможные суммы элементов <math>K_i</math>:
*: <math>\sum_{i=1}^N{K_i}:=\{\mathbf x_1+\mathbf x_2+\ldots+\mathbf x_N\mid\mathbf x_i\in K_i\quad(i\in1\ldots N)\}</math>.
** Сумма конечного семейства подпространств — снова подпространство.

=== Линейные комбинации ===
Формальное выражение вида
: <math>\alpha_1\mathbf{x}_1 + \alpha_2\mathbf{x}_2 + \ldots + \alpha_n\mathbf{x}_n</math>
называется{{sfn|Кострикин, Манин|1986|с=8}} '''[[Линейная комбинация|линейной комбинацией]]''' элементов <math>\mathbf{x}_1, \mathbf{x}_2, \ldots, \mathbf{x}_n \in V</math> с коэффициентами <math>\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n \in F</math>.

В действительности данное определение (и приводимые ниже) приложимо не только к комбинациям векторов, но и к комбинациям любых других объектов, для которых подобные суммы вообще имеют смысл (например, к комбинациям точек [[аффинное пространство|аффинного пространства]]).

Линейная комбинация называется:
* '''нетривиальной''', если хотя бы один из её коэффициентов отличен от нуля.
* '''барицентрической''', если сумма её коэффициентов равна 1{{sfn|Кострикин, Манин|1986|с=198}},
* '''выпуклой''', если сумма её коэффициентов равна 1 и все коэффициенты неотрицательны,
* '''сбалансированной''', если сумма её коэффициентов равна 0.

=== Базис и размерность ===
{{Основная статья|Конечномерное пространство}}
Векторы <math>\mathbf{x}_1, \mathbf{x}_2, \ldots, \mathbf{x}_n</math> называются{{sfn|Кострикин, Манин|1986|с=16}} [[Линейная зависимость|линейно зависимыми]], если существует их нетривиальная линейная комбинация, значение которой равно нулю; то есть
:<math>\alpha_1\mathbf{x}_1 + \alpha_2\mathbf{x}_2 + \ldots + \alpha_n\mathbf{x}_n = \mathbf{0}</math>
при некоторых ненулевых коэффициентах <math>\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n \in F</math> (то есть если хотя бы один из <math>\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n </math> не равен нулю).

В противном случае эти векторы называются '''линейно независимыми'''.

Данное определение допускает следующее обобщение: бесконечное множество векторов из <math>V</math> называется '''линейно зависимым''', если линейно зависимо некоторое ''конечное'' его подмножество, и '''линейно независимым''', если любое его ''конечное'' подмножество линейно независимо.

Можно показать{{sfn|Кострикин, Манин|1986|с=14}}, что число элементов ([[Мощность множества|мощность]]) максимального линейно независимого множества элементов векторного пространства не зависит от выбора этого множества. Данное число называется '''рангом''', или '''размерностью''', пространства, а само это упорядоченное множество — '''[[базис]]ом''' (''базисом Га́меля'', или ''линейным базисом''). Элементы базиса именуют '''базисными векторами'''. Размерность пространства чаще всего обозначается символом <math>{\rm dim}</math>.

Таким образом, размерность векторного пространства является либо неотрицательным целым числом (в частности, равным нулю, если пространство состоит из одного лишь нулевого вектора), либо бесконечностью (точнее, мощностью бесконечного множества). В первом случае векторное пространство называется ''конечномерным'', а во втором — ''бесконечномерным'' (например, бесконечномерным является [[пространство непрерывных функций]]). Традиционно изучение конечномерных векторных пространств и [[Линейное отображение|их отображений]] относится к [[линейная алгебра|линейной алгебре]], а изучение бесконечномерных векторных пространств — к [[Функциональный анализ|функциональному анализу]]. Во втором случае существенную роль играет вопрос о разложимости данного элемента по заданной бесконечной системе функций, то есть о [[Предел последовательности|сходимости]] соответствующих бесконечных сумм, для чего бесконечномерное векторное пространство рассматривается вместе с дополнительной структурой, позволяющей определять сходимость, например, с [[Метрическое пространство|метрикой]] или [[Топологическое пространство|топологией]].

Свойства базиса:

* Любые <math>n</math> линейно независимых элементов <math>n</math>-мерного пространства образуют ''базис'' этого пространства.
* Любой вектор <math>\mathbf{x} \in V</math> можно представить (единственным образом) в виде конечной линейной комбинации базисных элементов:
*: <math>\mathbf{x} = \alpha_1\mathbf{x}_1 + \alpha_2\mathbf{x}_2 + \ldots + \alpha_n\mathbf{x}_n</math>.

=== Линейная оболочка ===
{{falseredirect|Линейная оболочка}}
'''Линейная оболочка''' <math>\mathcal V(X)</math> подмножества <math>X</math> линейного пространства <math>V</math> — пересечение всех подпространств <math>V</math>, содержащих <math>X</math>.

Линейная оболочка является подпространством <math>V</math>.

Линейная оболочка также называется '''подпространством, порождённым''' <math>X</math>. Говорят также, что линейная оболочка <math>\mathcal V(X)</math> — пространство, '''натянутое на''' множество <math>X</math>.

Линейная оболочка <math>\mathcal V(X)</math> состоит из всевозможных линейных комбинаций различных конечных подсистем элементов из <math>X</math>. В частности, если <math>X</math> — конечное множество, то <math>\mathcal V(X)</math> состоит из всех линейных комбинаций элементов <math>X</math>. Таким образом, нулевой вектор всегда принадлежит линейной оболочке.

Если <math>X</math> — линейно независимое множество, то оно является базисом <math>\mathcal V(X)</math> и тем самым определяет его размерность.

=== Изоморфизм ===
Два линейных пространства <math>V'(F)</math> и <math>V''(F)</math> называются [[Изоморфизм|изоморфными]], если между векторами <math>x' \in V'</math> и <math>x'' \in V''</math> можно установить [[биекция|взаимно однозначное соответствие]] таким образом, что выполняются условия:
# если вектору <math>\mathbf{x}' \in V'</math> соответствует вектор <math>\mathbf{x}'' \in V''</math>, а вектору <math>\mathbf{y}' \in V'</math> соответствует вектор <math>\mathbf{y}'' \in V''</math>, то вектору <math>\mathbf{x}' + \mathbf{y}' \in V'</math> соответствует вектор <math>\mathbf{x}'' + \mathbf{y}'' \in V''</math>
# если вектору <math>\mathbf{x}' \in V'</math> соответствует вектор <math>\mathbf{x}'' \in V''</math>, и <math>\lambda</math> - элемент поля <math>F</math>, то вектору <math>\lambda \mathbf{x}' \in V'</math> соответствует вектор <math>\lambda \mathbf{x}'' \in V''</math><ref>''[[Шилов, Георгий Евгеньевич|Шилов Г. Е.]]'' Введение в теорию линейных пространств. — М., Л., Гостехтеориздат, 1952. — с. 70</ref>

== Примеры ==
{{якорь|Нулевое пространство}}''Нулевое пространство'' — простейшее из всех возможных векторных пространств, единственным его элементом является ноль, а базис [[Пустое множество|пуст]].

Пространство всех функций <math>X\to F</math> с конечным носителем образует векторное пространство размерности, равной [[Мощность множества|мощности]] <math>X</math>.

[[Поле (алгебра)|Поле]] [[вещественное число|действительных чисел]] может быть рассмотрено как [[Континуум (теория множеств)|континуально]]-мерное векторное пространство над полем [[рациональное число|рациональных чисел]].

Любое поле является одномерным пространством над собой.

Пространства [[Матрица (математика)|матриц]] и [[тензор]]ов образуют линейное пространство.

== Дополнительные структуры ==
* [[Нормированное векторное пространство]]
* [[Метрическое векторное пространство]]
* [[Топологическое векторное пространство]]
* [[Евклидово пространство]]
* [[Пространство Минковского]]
* [[Гильбертово пространство]]

== См. также ==
* [[Аффинное пространство]]
* [[Выпуклый функционал]]
* [[Конечномерное пространство]]
* [[Линейная независимость]]
* [[Линейное отображение]]
* [[Модуль над кольцом]]
* [[Прямая сумма]]
* [[Сопряжённое пространство]]
* [[Флаг (математика)|Флаг]]

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
* {{книга
|автор = [[Гельфанд, Израиль Моисеевич|Гельфанд И. М.]]
|заглавие = Лекции по линейной алгебре
|ссылка =
|викитека =
|издание = 5-е
|место = М.
|издательство = Добросвет, [[МЦНМО]]
|год = 1998
|страниц = 319
|тираж =
|isbn = 5-7913-0015-8
|ref = Гельфанд
}}
* {{книга|автор=Гельфанд И. М. |заглавие=Лекции по линейной алгебре. 5-е изд|место=М.|издательство=Добросвет, МЦНМО| год=1998|страниц=320|isbn=5-7913-0016-6|ref=Гельфанд}}
* {{книга
|автор = [[Кострикин, Алексей Иванович|Кострикин А. И.]], [[Манин, Юрий Иванович|Манин Ю. И.]]
|заглавие = Линейная алгебра и геометрия. 2-е изд
|издание =
|место = М.
|издательство = [[Наука (издательство)|Наука]]
|год = 1986
|страниц = 304
|серия =
|isbn =
|тираж =
|ref = Кострикин, Манин
}}
* {{книга
|автор = [[Кострикин, Алексей Иванович|Кострикин А. И.]]
|заглавие = Введение в алгебру. Ч. 2: Линейная алгебра
|издание = 3-е
|место = М.
|издательство = [[Наука (издательство)|Наука]].
|год = 2004
|страниц = 368
|серия = Университетский учебник
|isbn =
|тираж =
|ref = Кострикин-2
}}
* {{книга
|автор = [[Мальцев, Анатолий Иванович|Мальцев А. И.]]
|заглавие = Основы линейной алгебры
|ссылка =
|викитека =
|издание = 3-е
|место = М.
|издательство = [[Наука (издательство)|Наука]]
|год = 1970
|страниц = 400
|тираж =
|isbn =
|ref = Мальцев
}}

* {{книга
|автор = [[Постников, Михаил Михайлович|Постников М. М.]]
|заглавие = Линейная алгебра (Лекции по геометрии. Семестр II)
|ссылка =
|викитека =
|издание = 2-е
|место = М.
|издательство = [[Наука (издательство)|Наука]]
|год = 1986
|страниц = 400
|тираж =
|isbn =
|ref = Постников
}}
* {{книга
|автор = Стренг Г.
|заглавие = Линейная алгебра и её применения
|оригинал = Linear Algebra and Its Applications
|издание =
|место = М.
|издательство = [[Мир (издательство)|Мир]]
|год = 1980
|страниц = 454
|серия =
|isbn =
|тираж =
|ref = Стренг
}}
* {{книга|автор=Ильин В. А., Позняк Э. Г. |заглавие=Линейная алгебра. 6-е изд|место=М.|издательство=Физматлит|год=2010|страниц=280|isbn = 978-5-9221-0481-4|ref = Ильин, Позняк}}
* {{книга
|автор = [[Халмош, Пол Ричард|Халмош П.]]
|заглавие = Конечномерные векторные пространства
|оригинал = Finite-Dimensional Vector Spaces
|издание =
|место = М.
|издательство = [[Физматгиз]]
|год = 1963
|страниц = 263
|серия =
|isbn =
|тираж =
|ref = Халмош
}}
* {{книга
|автор = [[Фаддеев, Дмитрий Константинович|Фаддеев Д. К.]]
|заглавие = Лекции по алгебре
|издание = 5-е
|место = СПб.
|издательство = [[Лань (издательство)|Лань]]
|год = 2007
|страниц = 416
|серия =
|isbn =
|тираж =
|ref = Фаддеев
}}
* {{книга
|автор = [[Шафаревич, Игорь Ростиславович|Шафаревич И. Р.]], Ремизов А. О.
|заглавие = Линейная алгебра и геометрия
|издание = 1-е
|место = М.
|издательство = [[Физматлит]]
|год = 2009
|страниц = 511
|серия =
|isbn =
|тираж =
|ref = Шафаревич
}}
* {{книга
|автор = Шрейер О., Шпернер Г.
|заглавие = Введение в линейную алгебру в геометрическом изложении
|оригинал = Einfuhrung in die analytische Geometrie und Algebra
|издание =
|ответственный = Ольшанский Г. (перевод с немецкого)
|место = М.–Л.
|издательство = [[Физматлит|ОНТИ]]
|год = 1934
|страниц = 210
|серия =
|isbn =
|тираж =
|ref = Шрейер, Шпернер
}}

{{Векторы и матрицы}}

[[Категория:Линейная алгебра]]
[[Категория:Векторы]]

Векторное пространство - История изменений

imported>Well, Well, Bot!: уборка лишних параметров шаблона {{переход}}