imported>ShabeBot: /* top */ переход перед знаками препинания — автоправка по запросу или скрипту

2025-10-18T20:57:14Z

top: переход перед знаками препинания — автоправка по запросу или скрипту

Новая страница

'''Бино́м Нью́то́на''' — [[Математическая формула|формула]] для разложения на отдельные слагаемые целой неотрицательной степени суммы двух переменных, имеющая вид
: <math>(a + b)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^{n - k} b^k = \binom{n}{0} a^n + \binom{n}{1} a^{n-1}b + \dots + \binom{n}{k} a^{n-k}b^k + \dots + \binom{n}{n} b^n,</math>
где <math>\binom{n}{k} \equiv C_n^k = \frac{n!}{k! (n - k)!}</math> — [[биномиальный коэффициент|биномиальные коэффициенты]], <math>n</math> — неотрицательное [[целое число]].

В таком виде эта формула была известна ещё [[История математики в Индии|индийским]] и [[Математика исламского средневековья|персидским]] математикам; [[Ньютон, Исаак|Ньютон]] вывел формулу бинома для более общего случая, когда показатель степени — произвольное [[действительное число]] (позднее она была распространена и на [[комплексные числа]]). В общем случае бином представляет собой бесконечный ряд{{переход|Обобщения}}.

Примеры:
: <math>
\begin{align}
(x + y)^2 &= x^2 + 2xy + y^2, \\
(x + y)^3 &= x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3, \\
(x + y)^4 &= x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4, \\
(x + y)^5 &= x^5 + 5x^4y + 10x^3y^2 + 10x^2y^3 + 5xy^4 + y^5.
\end{align}
</math>
Для быстрого разложения часто пользуются [[Треугольник Паскаля|треугольником Паскаля]].

== Доказательство ==
Чтобы умножить скобки, нужно взять из каждой по одному слагаемому и все полученные произведения сложить. Для получения степени <math>a^kb^{n-k}</math> нужно из <math>k</math> скобок выбрать <math>a</math>, а из оставшихся <math>n-k</math> выбрать <math>b</math>. Вариантов выбрать <math>a</math> в первый раз столько же, сколько и скобок, то есть <math>n</math>. Затем, соответственно, <math>n-1</math>, и так далее до <math>n-k+1</math> на <math>k</math>-м шаге. Однако для каждого варианта посчитаются и все его порядковые перестановки, число которых <math>k!</math>. Нормируя, получаем в точности <math>C^k_n</math>. Ниже приводится доказательство по индукции.
{{Доказ1|Докажем формулу бинома Ньютона [[Математическая индукция|индукцией]] по <math>n</math>:

'''База индукции:''' <math>n=0</math>

: <math>(a+b)^0=1=\binom{0}{0}a^0b^0</math>

'''Шаг индукции:''' Пусть утверждение для <math>n</math> верно:

: <math>(a+b)^n = \sum_{k=0}^n {n \choose k } a ^ {n-k} b ^ {k} </math>

Тогда надо доказать утверждение для <math>n+1</math>:

: <math>(a+b)^{n+1} = \sum_{k=0}^{n+1} {{n+1} \choose k } a ^ {n+1-k} b ^ {k} </math>

Начнём доказательство:

: <math>(a+b)^{n+1} = (a+b)(a+b)^n=(a+b)\sum_{k=0}^{n} {n \choose k} a ^ {n-k} b ^ {k} = \sum_{k=0}^n {n \choose k} {a ^ {n - k + 1} b ^ {k}}\quad + \quad \sum_{k=0}^n {n \choose k} a ^ {n-k} b ^ {k+1}</math>

Извлечём из первой суммы слагаемое при <math>k = 0</math>

: <math> \sum_{k=0}^n {n \choose k} {a ^ {n - k + 1} b ^ {k}} = a^{n+1} + \sum_{k = 1}^n {n \choose k} a ^ {n - k + 1} b ^ k </math>

Извлечём из второй суммы слагаемое при <math>k=n</math>

: <math>\sum_{k=0}^n {n \choose k} a ^ {n-k} b ^ {k+1} = b^{n+1} + \sum_{k=0}^{n-1}{n \choose k}a^{n - k} b ^ {k+1} =
b^{n+1} + \sum_{k = 1}^n {n \choose {k-1}} a^{n - k + 1} b ^ {k}</math>

Теперь сложим преобразованные суммы:

: <math>a^{n+1} + \sum_{k = 1}^n {n \choose k} a ^ {n - k + 1} b ^ k \quad + \quad b^{n+1} + \sum_{k = 1}^n {n \choose {k-1}} a^{n - k + 1} b ^ {k} = a ^ {n + 1} + b ^ {n + 1} + \sum_{k = 1}^n \left( {n \choose k} + {n \choose {k - 1} } \right) a ^ {n - k + 1} b ^ k = </math>

: <math>=\sum_{k=0}^0 {n+1 \choose k} a ^ {n + 1 - k} b ^ k \quad + \quad
\sum_{k = n + 1}^{n+1} {n+1 \choose k} a^{n + 1- k}b^k \quad + \quad
\sum_{k = 1} ^ {n} {n+1 \choose k} a ^ {n + 1 - k} b ^ k=
\sum_{k=0}^{n+1} {{n+1} \choose k } a ^ {n+1-k} b ^ {k} </math>

Что и требовалось доказать.
}}

== Обобщения ==
Формула бинома Ньютона является частным случаем разложения функции <math>(1 + x)^r</math> в [[ряд Тейлора]]:
: <math>(1 + x)^r = \sum_{k=0}^\infty \binom{r}{k} x^k,</math>
где <math>r</math> может быть произвольным [[Комплексное число|комплексным числом]] (в частности, отрицательным или вещественным). Коэффициенты этого разложения находятся по формуле
: <math>\binom{r}{k} = \frac{1}{k!} \prod_{n=0}^{k-1} (r - n) = \frac{r(r - 1)(r - 2) \cdots (r - (k - 1))}{k!}.</math>

При этом ряд
: <math>(1 + z)^\alpha = 1 + \alpha z + \frac{\alpha(\alpha - 1)}{2} z^2 + \ldots + \frac{\alpha(\alpha - 1) \cdots (\alpha - n + 1)}{n!} z^n + \ldots</math>
сходится при <math>|z| \leqslant 1</math>.

В частности, при <math>z = \frac{1}{m}</math> и <math>\alpha = x \cdot m</math> получается тождество
: <math>\left(1 + \frac{1}{m}\right)^{xm} = 1 + x + \frac{xm(xm - 1)}{2m^2} + \ldots + \frac{xm(xm - 1) \cdots (xm - n + 1)}{n!\,m^n} + \ldots.</math>

Переходя к пределу при <math>m \to \infty</math> и используя [[замечательные пределы|второй замечательный предел]] <math>\lim_{m\to\infty} \left(1 + \frac{1}{m}\right)^m = e</math>, выводим тождество
: <math>e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \ldots + \frac{x^n}{n!} + \ldots,</math>
которое именно таким образом было впервые получено [[Леонард Эйлер|Эйлером]].

=== Мультиномиальная теорема ===
{{main|Мультиномиальный коэффициент}}
Бином Ньютона может быть обобщён до полинома Ньютона — возведения в степень суммы произвольного числа слагаемых:
: <math>(x_1 + x_2 + \ldots + x_m)^n =\sum\limits_{k_j \geqslant 0 \atop k_1 + k_2 + \cdots + k_m = n} \binom{n}{k_1, k_2, \ldots, k_m} x_1^{k_1} \ldots x_m^{k_m},</math>
где
: <math>\binom{n}{k_1, k_2, \ldots, k_m} = \frac{n!}{k_1!\,k_2! \ldots k_m!}</math>
суть [[Мультиномиальный коэффициент|Мультиномиальные коэффициенты]]. Сумма берётся по всем неотрицательным целым индексам <math>k_j</math>, сумма которых равна <math>n</math> (то есть по всем [[композиция числа|композициям числа]] <math>n</math> длины <math>m</math>). При использовании полинома Ньютона [[0^0|считается]], что выражения <math>x_j^0 = 1</math>, даже если <math>x_j = 0</math>.

Мультиномиальная теорема легко доказывается либо индукцией по <math>m</math>, либо из комбинаторных соображений и комбинаторного смысла полиномиального коэффициента.

При <math>m = 2</math>, выражая <math>k_2 = n - k_1</math>, получаем бином Ньютона.

=== Полные полиномы Белла ===
Пусть <math>B_n(a_s) = B_n(a_1, \dots, a_n)</math> и <math>B_0 = 1</math>, тогда полные [[полиномы Белла]] обладают биномиальным разложением:
: <math>B_n(a_s + b_s) = \sum_{i+j=n} \binom{n}{i, j} B_i(a_s) B_j(b_s).</math>

== История ==
В Европе долгое время считалось, что для натуральных показателей степени эту формулу, как и [[Треугольник Паскаля|треугольник]], позволяющий находить коэффициенты, изобрёл [[Паскаль, Блез|Блез Паскаль]], описавший её в своём «Трактате об арифметическом треугольнике», изданном в [[1665 год]]у.
Однако историки науки обнаружили, что формула была известна ещё китайскому математику [[Ян Хуэй|Яну Хуэю]] ([[1238]]—[[1298]]), а также [[Математика исламского средневековья|персидским математикам]] [[Ат-Туси, Насир ад-Дин|ат-Туси]] ([[1201]]—[[1274]]) и [[аль-Каши]] ([[1380]]—[[1429]]). В Европе немецкий математик [[Штифель, Михаэль|Михаэль Штифель]] ([[1487]]—[[1567]]) описал биномиальные коэффициенты и также составил их таблицу до степени 18 на столетие раньше Паскаля.

Первая известная формулировка биномиальной теоремы и таблицы биномиальных коэффициентов появилась в работе [[аль-Караджи]] ([[953]]—[[1029]])<ref>{{Статья|ссылка=http://dx.doi.org/10.1016/0315-0860(80)90004-x|автор=Mohammad Yadegari|заглавие=The binomial theorem: A widespread concept in medieval Islamic mathematics|год=1980-11|издание=Historia Mathematica|том=7|выпуск=4|страницы=401–406|issn=0315-0860|doi=10.1016/0315-0860(80)90004-x}}</ref>.

[[Ньютон, Исаак|Исаак Ньютон]] около [[1665 год в науке|1665 года]] обобщил формулу для произвольного показателя степени (дробного, отрицательного и др.). На основе биномиального разложения Ньютон, а позднее [[Эйлер, Леонард|Эйлер]], выводили всю теорию бесконечных рядов.

== В художественной литературе ==
В художественной литературе «бином Ньютона» часто фигурирует как синоним чего-то очень сложного (нередко иронически)<ref>{{статья |автор=[[Успенский, Владимир Андреевич|Успенский В. А.]] |заглавие=Предварение для читателей «Нового литературного обозрения» к семиотическим посланиям Андрея Николаевича Колмогорова |издание=[[Новое литературное обозрение (журнал)|Новое литературное обозрение]] |номер=24 |год=1997 |ссылка=http://kolmogorov.pms.ru/uspensky-predvarenie.html |archivedate=2011-06-14 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20110614225806/http://kolmogorov.pms.ru/uspensky-predvarenie.html }}</ref>. Например, в романе «[[Мастер и Маргарита]]» [[Булгаков, Михаил Афанасьевич|М. А. Булгакова]]: «подумаешь, бином Ньютона! Умрёт он через девять месяцев, в феврале будущего года, от рака печени в клинике Первого [[Московский государственный университет|МГУ]], в четвёртой палате».

В повести «[[Последнее дело Холмса]]» [[Шерлок Холмс]] рассказывает о [[Профессор Мориарти|профессоре Мориарти]], в частности, следующее: «…когда ему исполнился 21 год, он написал трактат о биноме Ньютона, завоевавший ему европейскую известность…»

Герой повести [[Толстой, Лев Николаевич|Л. Н. Толстого]] «Юность» Николенька Иртеньев на вступительном экзамене на математический факультет московского университета отвечает на вопрос о биноме Ньютона.

== См. также ==
* [[Биномиальное распределение]]
* [[Биномиальный коэффициент]]
* [[Треугольник Паскаля]]
* [[Формулы сокращённого умножения многочленов]] — наиболее частые частные случаи ''бинома Ньютона''

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
* {{ВТ-ЭСБЕ|Бином Ньютона}}

== Ссылки ==
* {{БСЭ3|заглавие=Ньютона бином}}

{{вс}}

[[Категория:Многочлены]]

Бином Ньютона - История изменений

imported>ShabeBot: /* top */ переход перед знаками препинания — автоправка по запросу или скрипту