imported>Sapphaline в 10:09, 23 августа 2025

2025-08-23T10:09:03Z

Новая страница

'''Бина́рная''', или '''двуме́стная''', '''опера́ция''' (от {{lang-lat|[[би-|bi]]}} «два») — [[Операция (математика)|математическая операция]], принимающая два [[Параметр|аргумента]] и возвращающая один результат (то есть операция с [[арность]]ю два).

== Определение ==
Пусть <math>A,\;B,\;C</math> — тройка непустых множеств. '''Бинарной операцией''', или '''бинарной функцией''', на паре <math>A,\;B</math> со значениями в <math>C</math> называется [[Функция (математика)|отображение]] <math>P: A\times B \to C</math>.

Пусть <math>A</math> — непустое множество. '''Бинарной операцией на множестве''' <math>A</math>, или '''внутренней бинарной операцией''', называют отображение <math>P: A\times A \to A</math>.

Первое определение соответствует франкоязычной традиции, второе — англоязычной. Чаще всего рассматриваются именно внутренние бинарные операции.

Также имеется близкое понятие '''закона композиции''', объединяющее внутренние бинарные операции <math>P: A\times A \to A</math> ('''внутренние законы композиции''') с бинарными операциями вида <math>P: A\times B \to A</math> или <math>P: B\times A \to A</math> ('''внешними законами композиции''').

== Замечание ==
Бинарную операцию принято обозначать знаком действия, который ставится между операндами ([[Инфиксная запись|инфиксная форма записи]]). Например, для произвольной бинарной операции <math>\circ</math> результат её применения к двум элементам <math>x</math> и <math>y</math> записывается в виде <math>x\circ y</math>.

При этом, однако, используются другие формы записи бинарных операций, а именно:
* префиксная ([[польская запись]]) — <math>\circ\,x\;y</math>;
* постфиксная ([[обратная польская запись]]) — <math>x\;y\,\circ</math>.

== Типы бинарных операций ==

=== Коммутативная операция ===
{{main|Коммутативная операция}}

Бинарная операция <math>\circ</math> называется коммутативной, только когда её результат не зависит от перестановки операндов, то есть
{{bi|<math>x\circ y=y\circ x,\quad\forall x,\;y\in M.</math>}}

=== Ассоциативная операция ===
{{main|Ассоциативная операция}}

Бинарная операция <math>\circ</math> называется ассоциативной, только когда
{{bi|<math>(x\circ y)\circ z=x\circ(y\circ z),\quad\forall x,\;y,\;z\in M.</math>}}

Для ассоциативной операции <math>\circ</math> результат вычисления <math>x_1\circ x_2\circ\ldots\circ x_n</math> не зависит от порядка вычисления (расстановки скобок), и потому позволяется опускать скобки в записи. Для неассоциативной операции выражение <math>x_1\circ x_2\circ\ldots\circ x_n</math> при <math>n>2</math> однозначно не определено.

Существует также более слабое, чем ассоциативность, свойство: [[альтернативная операция|альтернативность]].

== Примеры ==
Примерами бинарных операций могут служить [[сложение]], [[умножение]] и [[вычитание]] на поле [[Вещественные числа|вещественных чисел]]. Сложение и умножение чисел являются коммутативными и ассоциативными операциями, а вычитание — нет.

== Записи ==

=== Мультипликативная запись ===
Если абстрактную бинарную операцию на <math>M</math> называют '''умноже́нием''', то её результат для элементов <math>x,\;y\in M</math> называют их '''произведе́нием''' и обозначают <math>x\cdot y</math> или <math>xy</math>. В этом случае [[нейтральный элемент]] <math>e\in M</math>, то есть элемент, удовлетворяющий равенствам
{{bi|<math>x\cdot e=e\cdot x=x,\quad\forall x\in M,</math>}}
называется '''[[Единица (алгебра)|едини́чным элеме́нтом]]''' относительно выбранной бинарной операции.

=== Аддитивная запись ===
Если бинарную операцию называют '''сложе́нием''', то образ пары элементов <math>x,\;y\in M</math> называют '''су́ммой''' и обозначают <math>x+y</math>. Обычно, если бинарную операцию называют сложением, то она предполагается коммутативной. Нейтральный элемент в аддитивной записи обозначают символом 0, называют '''нулевы́м элеме́нтом''' и пишут
{{bi|<math>x+0=0+x= x,\quad\forall x\in M.</math>}}

== Обратная операция ==
{{дополнить раздел|дата=2014-03-26}}
Если операция обладает [[биективность]]ю, то у неё существуют [[Обратная функция|обратные операции]]. Для бинарной операции может быть до двух обратных операций (левая и правая), в случае коммутативной операции — они совпадают.

===Теорема 1===
''Для любой бинарной операции существует не более одного нейтрального элемента, то есть два любых нейтральных элемента на самом деле оказываются совпадающими.''

{{Доказательство|Пусть имеется два нейтральных элемента <math>e_{1}</math> и <math>e_{2}</math>. По определению нейтрального элемента, для любого элемента <math>x</math> должно выполняться:
{{bi|<math>e_{1}\circ x=x\circ e_{1}=x,</math>}}
{{bi|<math>e_{2}\circ x=x\circ e_{2}=x.</math>}}

Положим в первом из этих равенств <math>x=e_{2}</math>, а во втором <math>x=e_{1}</math>:
{{bi|<math>e_{1}\circ e_{2}=e_{2}\circ e_{1}=e_{2},</math>}}
{{bi|<math>e_{2}\circ e_{1}=e_{1}\circ e_{2}=e_{1}.</math>}}

Так как левые части этих равенств (после перестановки) равны, то равны и правые:
{{bi|<math>e_{1}=e_{2}.</math>}}}}

===Теорема 2===
''Если бинарная операция ассоциативна, то для каждого элемента существует не более одного обратного.''

{{Доказательство|Предположим, что у некоторого элемента <math>a</math> есть два обратных элемента <math>b_1</math> и <math>b_2</math>.
По определению обратного элемента должны выполняться следующие равенства:
{{bi|<math>a \circ b_{1}= b_{1}\circ a = e,</math>}}
{{bi|<math>a \circ b_{2}= b_{2}\circ a = e.</math>}}
Рассмотрим выражение <math>b_1 \circ \left( a \circ b_2 \right) </math>. Так как <math>b_2</math> является обратным элементом к <math>a</math>, то имеет место следующее равенство
{{bi|<math>b_1 \circ \left( a \circ b_2 \right) = b_1 \circ e = b_1</math>.}}
С другой стороны, так как операция является ассоциативной, то
{{bi|<math>b_1 \circ \left( a \circ b_2 \right) = \left( b_1 \circ a \right) \circ b_2 = e \circ b_2 = b_2.</math>}}
Левые части последних двух равенств равны, — значит, равны и правые, то есть <math>b_1 = b_2 </math>, что и требовалось доказать.
}}

== См. также ==
* [[Арность]]
* [[Унарная операция]]
* [[Тернарная операция]]

== Литература ==
* ''Цыпкин А. Г.'' Справочник по математике для средних и учебных заведений. — М.: Наука, 1988. — 430 с. — ISBN 5-02-013792-8.

[[Категория:Бинарные операции| ]]

Бинарная операция - История изменений

imported>Sapphaline в 10:09, 23 августа 2025