https://camokathomelab.servebeer.com/mediawiki/index.php?action=history&feed=atom&title=%D0%91%D0%B0%D1%81%D1%81%D0%B5%D0%B9%D0%BD%D1%8B_%D0%9D%D1%8C%D1%8E%D1%82%D0%BE%D0%BD%D0%B0Бассейны Ньютона - История изменений2026-07-17T21:37:03ZИстория изменений этой страницы в викиMediaWiki 1.45.3https://camokathomelab.servebeer.com/mediawiki/index.php?title=%D0%91%D0%B0%D1%81%D1%81%D0%B5%D0%B9%D0%BD%D1%8B_%D0%9D%D1%8C%D1%8E%D1%82%D0%BE%D0%BD%D0%B0&diff=22345&oldid=previmported>Alex NB OT: замена имён и значений устаревшего неподдерживаемого InternetArchiveBot формата параметров доступности ссылок (1)2025-07-16T10:13:17Z<p>замена имён и значений устаревшего неподдерживаемого InternetArchiveBot формата параметров доступности ссылок (1)</p>
<p><b>Новая страница</b></p><div>{{другие значения|Бассейн}}<br />
[[Файл:Fractal newton.png|frame|Бассейны Ньютона]]<br />
[[Файл:Newtroot 1 0 0 0 0 m1.png|thumb|250px|Бассейны Ньютона для полинома пятой степени <math>p(x)=x^5-1</math>. Разными цветами закрашены области притяжения для разных корней. Более тёмные области соответствуют большему числу итераций]]<br />
[[Файл:NewtonPool 1.5.jpg|мини|Бассейн Ньютона, ширина поиска 1.5.]]<br />
'''Бассе́йны [[Ньютон, Исаак|Нью́тона]]''', '''фракталы Ньютона''' — разновидность [[алгебраические фракталы|алгебраических]] [[фрактал]]ов.<br />
<br />
Области с фрактальными границами появляются при приближенном нахождении корней [[нелинейное уравнение|нелинейного уравнения]] [[алгоритм Ньютона|алгоритмом Ньютона]] на [[Комплексная плоскость|комплексной плоскости]] (для функции действительной переменной [[метод Ньютона]] часто называют ''методом касательных'', который, в данном случае, обобщается для комплексной плоскости)<ref>{{Cite web |url=http://www.fractalworld.xaoc.ru/Newton_fractal |title=Фрактал Ньютона |access-date=2009-11-12 |archive-date=2016-12-20 |archive-url=https://web.archive.org/web/20161220154337/http://fractalworld.xaoc.ru/Newton_fractal |url-status=live }}</ref>.<br />
<br />
Применим метод Ньютона для нахождения нуля [[функция комплексной переменной|функции комплексного переменного]], используя процедуру:<br />
: <math>z_{n+1}=z_n-\frac{f(z_n)}{f'(z_n)}.</math><br />
<br />
Выбор начального приближения <math>z_0</math> представляет особый интерес. Так как [[Функция (математика)|функция]] может иметь несколько нулей, в различных случаях метод может сходиться к различным значениям. Однако, какие именно области обеспечат сходимость к тому или иному корню?<br />
<br />
== История ==<br />
Этот вопрос заинтересовал [[Кэли, Артур|Артура Кэли]] ещё в [[1879 год]]у, однако разрешить его смогли лишь в [[1970-е|70]]-х годах [[двадцатый век|двадцатого столетия]] с появлением вычислительной техники. Оказалось, что на пересечениях этих областей (их принято называть ''областями притяжения'') образуются так называемые ''[[фрактал]]ы'' — бесконечные [[Самоподобие|самоподобные]] геометрические фигуры.<br />
<br />
Ввиду того, что Ньютон применял свой метод исключительно к [[полином]]ам, фракталы, образованные в результате такого применения, обрели название ''фракталов Ньютона'' или ''бассейнов Ньютона''.<br />
<br />
== Три корня ==<br />
<!-- викифицировать с http://www.fractalworld.xaoc.ru/Newton_fractal --><br />
Рассмотрим уравнение:<br />
: <math>p(z)=0</math>, <math>p(z)=z^3-1</math><br />
<br />
Оно имеет три корня. При выборе различных <math>z_0</math> процесс будет сходиться к различным корням (областям притяжения). Артур Кэли поставил задачу описания этих областей, границы которых, как оказалось, имеют [[фрактал]]ьную структуру.<br />
<br />
== Построение ==<br />
По следующей формуле:<br />
<br />
: <math>z_{i+1} = z_i-\frac{p(z_i)}{p'(z_i)}=z_i-\frac{z_i^3-1}{3\,z_i^2}</math><br />
<br />
== Масштабирование ==<br />
Если переместить центр экрана в точку <math>z_0</math>и произвести масштабирование (<math>z = z_0 + \cfrac{Z}{\alpha}</math>), то вместо подстановки <math>z</math> в многочлен <math>P(z)</math>, можно изменить сам многочлен. Так как <math>z_{n+1} = F(z_n) => (z_0+\cfrac{Z_{n+1}}{\alpha}) = F(z_0 + \cfrac{Z_n}{\alpha}) </math>, а <math>F(z) = z-\cfrac{p(z)}{p'(z)} => F(z_0 + \cfrac{Z_n}{\alpha}) = z_0 + \cfrac{Z_n}{\alpha} - \cfrac{p(z(Z))}{p'_z(z(Z))}</math>, то <math>Z_{n+1} = Z_n+\alpha\cdot \cfrac{p(z(Z_n)}{p'_z(z(Z_n)}</math>. Так как <math>p'_Z(z(Z)) = p'_z(z(Z))\cdot z'_Z(Z) = \cfrac{p'_z(z(Z))}{\alpha}</math>, то <math>p'_z(z(Z)) = \alpha \cdot p'_Z(z(Z))</math>. <br />
<br />
Тогда <br />
<br />
<math>Z_{n+1} = Z_n+\cfrac{p(z(Z_n))}{p'_Z(z(Z_n))}</math>, считая новый многочлен <math>P(Z) = p(z(Z))</math>, получаем <math>Z_{n+1} = Z_n+\cfrac{P(Z_n)}{P'(Z_n)}</math><br />
<br /><br />
== Литература ==<br />
# {{книга|автор = Акулич И. Л.|заглавие = Математическое программирование в примерах и задачах: Учеб. пособие для студентов эконом. спец. вузов|оригинал = |ссылка = |издание = |место = М.|издательство = Высш. шк.|год = 1986|страницы =|isbn = }}<br />
# {{книга|автор = Амосов А. А., Дубинский Ю. А., Копченова Н. П.|заглавие = Вычислительные методы для инженеров|оригинал = |ссылка <br />
|издание = |место = М.|издательство = Мир|год = 1998|страницы =|isbn = }}<br />
# {{книга|автор = Бахвалов Н. С., [[Жидков, Николай Петрович|Жидков Н. П.]], Кобельков Г. Г.|заглавие = Численные методы|оригинал = |ссылка = |издание = 8-е изд|место = М.|издательство = Лаборатория Базовых Знаний|год = 2000|страницы =|isbn = }}<br />
# {{книга|заглавие = Исаак Ньютон|автор = Вавилов С. И. | место = М.| издательство = Изд. АН СССР| год = 1945|ссылка = http://vivovoco.astronet.ru/VV/BOOKS/NEWTON/CHAPTER_13.HTM}}<br />
# {{книга|автор = Волков Е. А.|заглавие = Численные методы|оригинал = |ссылка = |издание =|место = М.|издательство = Физматлит|год = 2003|страницы =|isbn = }}<br />
# {{книга|автор = Гилл Ф., Мюррей У., Райт М.|заглавие = Практическая оптимизация. Пер. с англ|оригинал = |ссылка = |издание =|место = М.|издательство = Мир|год = 1985|страницы =|isbn = }}<br />
# {{книга|автор = Корн Г., Корн Т.|заглавие = Справочник по математике для научных работников и инженеров|оригинал = |ссылка = |издание = |место = М.|издательство = Наука|год = 1970|страницы = 575-576|isbn = }}<br />
# {{книга|автор = Коршунов Ю. М., Коршунов Ю. М.|заглавие = Математические основы кибернетики|оригинал = |ссылка = |издание =|место М.|издательство = Энергоатомиздат|год = 1972|страницы =|isbn = }}<br />
# {{книга|автор = Максимов Ю. А.,Филлиповская Е. А.|заглавие = Алгоритмы решения задач нелинейного программирования|оригинал = |ссылка = |издание =|место = М.|издательство = МИФИ|год = 1982|страницы =|isbn = }}<br />
# {{книга|автор = Морозов А. Д.|заглавие = Введение в теорию фракталов|оригинал = |ссылка = |издание = |место = |издательство = МИФИ|год = 2002|страницы =|isbn = }}<br />
# Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. — М.: «Институт компьютерных исследований», 2002.<br />
# Пайтген Х.-О., Рихтер П. Х. Красота фракталов. — М.: «Мир», 1993.<br />
# Федер Е. Фракталы. — М: «Мир», 1991.<br />
# Фоменко А. Т. Наглядная геометрия и топология. — М.: изд-во МГУ, 1993.<br />
# Фракталы в физике. Труды 6-го международного симпозиума по фракталам в физике, 1985. — М.: «Мир», 1988.<br />
# Шредер М. Фракталы, хаос, степенные законы. Миниатюры из бесконечного рая. — Ижевск: «РХД», 2001.<br />
# Морозов А. Д. Введение в теорию фракталов. — Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002, 109—111.<br />
# Кроновер Р. М. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории. Москва: Постмаркет, 2000. 248—251.<br />
<br />
== Примечания ==<br />
{{примечания}}<br />
<br />
== Ссылки ==<br />
{{Навигация}}<br />
* [https://web.archive.org/web/20110723190151/http://msint.lokos.net/prez/20080703.ppt Красота фракталов]<br />
* [https://github.com/SergeevPavel/Newton_fractal Построение бассейнов Ньютона на MATLAB]<br />
<br />
{{Фракталы}}<br />
<br />
[[Категория:Фракталы]]</div>imported>Alex NB OT