imported>Retimuko: ё

2026-01-08T16:59:48Z

Новая страница

{{Значения|Пространство}}
'''Ба́нахово пространство''' — [[нормированное векторное пространство]], [[полное метрическое пространство|полное]] по [[Метрическое пространство|метрике]], порождённой [[Норма (математика)|нормой]]. Основной объект изучения [[функциональный анализ|функционального анализа]].

Банаховы пространства названы в честь польского математика [[Банах, Стефан|Стефана Банаха]] , который ввёл это понятие и систематически изучал его в 1920–1922 годах вместе с [[Ган, Ганс|Гансом Ханом]] и [[Хелли, Эдуард|Эдуардом Хелли]]. [[Фреше, Морис Рене|Морис Рене Фреше]] был первым, кто использовал термин «банахово пространство», а [[Банах, Стефан|Банах]], в свою очередь, затем ввёл термин [[Пространство Фреше| «пространство Фреше»]]. Банаховы пространства первоначально возникли в результате изучения функциональных пространств [[Гильберт, Давид|Гильбертом]], Фреше и [[Рисс, Фридьеш|Риссом]] в начале века. Банаховы пространства играют центральную роль в функциональном анализе. В других областях анализа изучаемые пространства часто являются банаховыми пространствами.

== Примеры ==
Некоторые примеры банаховых пространств (далее через <math>K</math> обозначено одно из полей <math>\R</math> или <math>\Complex</math>):
* [[Евклидово пространство|Евклидовы пространства]] <math>K^n</math> с [[евклидова норма|евклидовой нормой]], определяемой для <math>x=(x_1,\;\ldots,\;x_n)</math> как <math>\|x\|=\sqrt{\sum|x_i|^2}</math>, являются банаховыми пространствами.
* Пространство всех [[Непрерывное отображение|непрерывных]] [[функция (математика)|функций]] <math>f\colon[a,\;b]\to K</math>, определённых на закрытом [[Интервал (математика)|интервале]] <math>[a,\;b]</math> будет банаховым пространством, если мы определим его норму как <math>\|f\|=\sup\{|f(x)|\colon x\in[a,\;b]\}</math>. Такая функция будет нормой, так как непрерывные функции на закрытом интервале являются ограниченными. Пространство с такой нормой является полным, а полученное банахово пространство обозначается как <math>C[a,b]</math>. Этот пример можно обобщить к пространству <math>C(X)</math> всех непрерывных функций <math>X\to K</math>, где <math>X</math> — [[компактное пространство]], или к пространству всех ''ограниченных'' непрерывных функций <math>X\to K</math>, где <math>X</math> — любое [[топологическое пространство]], или даже к пространству <math>B(X)</math> всех ограниченных функций <math>X\to K</math>, где <math>X</math> — любое [[множество]]. Во всех этих примерах мы можем перемножать функции, оставаясь в том же самом пространстве: все эти примеры являются [[Банахова алгебра|банаховыми алгебрами]].
* Если <math>p\geqslant 1</math> — вещественное число, то пространство всех бесконечных [[числовая последовательность|последовательностей]] <math>(x_1,\;x_2,\;x_3,\;\ldots)</math> элементов из <math>K</math>, таких что [[ряд (математика)|ряд]] <math>\sum|x_i|^p</math> сходится, является банаховым относительно нормы, равной корню степени <math>p</math> из суммы этого ряда, и обозначается <math>l^p</math>.
* Банахово пространство <math>l^\infty</math> состоит из всех ограниченных последовательностей элементов из <math>K</math>; норма такой последовательности определяется как [[точная верхняя грань]] [[абсолютная величина|абсолютных величин (модулей)]] элементов последовательности.
* Снова, если <math>p\geqslant 1</math> — вещественное число, можно рассматривать все функции, [[Интеграл Лебега|интегрируемые по Лебегу]] (причём степень <math>p</math> их модуля также суммируема). Корень степени <math>p</math> этого интеграла от <math>p</math>-й степени модуля функции определим как полунорму <math>f</math>. Это множество — не банахово пространство, поскольку есть ненулевые функции, чья норма будет равна нулю. Определим [[отношение эквивалентности]] следующим образом: <math>f</math> и <math>g</math> эквивалентны тогда и только тогда, когда полунорма разности <math>f-g</math> равна нулю. Множество [[класс эквивалентности|классов эквивалентности]] относительно этого отношения уже является банаховым пространством; оно обозначается как <math>L^p[a,\;b]</math>. Важно использовать именно [[интеграл Лебега]], а не [[интеграл Римана]], поскольку интеграл Римана не порождает полное пространство. Эти примеры можно обобщить. См., например, [[Lp (пространство)|L<sup>p</sup>-пространства]].
* Если <math>X</math> и <math>Y</math> — банаховы пространства, то можно составить их [[Прямая сумма|прямую сумму]] <math>X\oplus Y</math>, которая опять-таки будет банаховым пространством. Можно и обобщить этот пример к прямой сумме произвольно большого числа банаховых пространств.
* Если <math>M</math> — замкнутое [[линейное подпространство|подпространство]] банахова пространства <math>X</math>, то [[факторпространство]] <math>X/M</math> снова является банаховым.
* Любое [[гильбертово пространство]] тоже является банаховым. Обратное неверно.
* Если <math>V</math> и <math>W</math> — банаховы пространства над одним полем <math>K</math>, тогда множество [[Непрерывное отображение|непрерывных]] [[линейное отображение|<math>K</math>-линейных отображений]] <math>A\colon V\to W</math> обозначается <math>L(V,\;W)</math>. Заметим, что в бесконечномерных пространствах не все линейные отображения автоматически являются непрерывными. <math>L(V,\;W)</math> — векторное пространство, и, если норма задана как <math>\|A\|=\sup\{\|Ax\|\colon x\in V,\;\|x\|\leqslant 1\}</math>, является также и банаховым.
** Пространство <math>L(V)=L(V,\;V)</math> представляет собой [[Унитарная алгебра|унитарную]] [[банахова алгебра|банахову алгебру]]; операция умножения в ней задаётся как композиция линейных отображений.

== Типы банаховых пространств ==
* [[Гильбертово пространство]]
* [[Рефлексивное пространство]]

== Литература ==
* Виноградов И. М. Банахово пространство // [[Математическая энциклопедия]] / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: Советская энциклопедия, 1977—1985.

{{Внешние ссылки}}
{{rq|
{{проверить факты|дата=2013-12-03}}
{{нет сносок|дата=2014-01-09}}
}}
{{Перевести|en|Banach space}}

[[Категория:Функциональный анализ]]
[[Категория:Топологические векторные пространства]]
[[Категория:Банаховы пространства| ]]

Банахово пространство - История изменений

imported>Retimuko: ё