imported>Theodor Ludenhof: викификация

2023-04-27T21:46:53Z

викификация

Новая страница

{{Значения|Пространство}}
'''Аффи́нное простра́нство''' — математический объект ([[Пространство (математика)|пространство]]), обобщающий некоторые свойства [[Евклидова геометрия|евклидовой геометрии]]. В отличие от [[Векторное пространство|векторного пространства]], аффинное пространство оперирует с объектами не одного, а двух типов: «векторами» и «точками».

== Определение ==
Аффинное пространство, ассоциированное с векторным пространством <math>V</math> над [[поле (алгебра)|полем]] <math>\mathbb{K}</math>, — множество <math>A</math> со [[действие группы|свободным транзитивным действием]] аддитивной группы <math>V</math> (если поле <math>\mathbb{K}</math> явно не указано, то подразумевается, что это поле [[вещественное число|вещественных чисел]]).

=== Комментарий ===
Данное определение означает{{sfn|Кострикин, Манин|1986|с=193}}, что определена операция ''сложения'' элементов пространства <math>A</math> (называемых ''точками'' аффинного пространства) с векторами из пространства <math>V</math> (которое называют ''пространством свободных векторов'' для аффинного пространства <math>A</math>), удовлетворяющая следующим аксиомам:
:# <math>(M + v) + w = M + (v + w) \in A</math> для всех <math>M\in A</math> и всех <math>v, w\in V</math>;
:# <math>M + 0 = M</math> для всех <math>M\in A</math>;
:# для любых двух точек <math>M, N\in A</math> существует единственный вектор <math>v\in V</math> (обозначаемый <math>\overrightarrow{MN}</math> или <math>\overrightarrow{N-M}</math>) со свойством <math>N = M + v</math>.

Таким образом, образ действия <math>v\in V</math> на <math>M\in A</math> обозначается <math>M + v</math>.

== Аффинное подпространство ==
'''Аффинное подпространство''' аффинного пространства <math>A</math> ― подмножество <math>A' \subset A</math>, являющееся сдвигом какого-либо линейного подпространства <math>V' \subset V</math>, то есть <math>A' = x + V'</math> при некоторой точке <math>x\in A</math>. Множество <math>A'</math> определяет <math>V'</math> однозначно, тогда как <math>x</math> определяется только с точностью до сдвига на вектор из <math>V'</math>. [[Размерность пространства|Размерность]] <math>A'</math> определяется как размерность подпространства <math>V'</math>.

Если <math>A_1 = v_1 + V'</math> и <math>A_2 = v_2 + V'</math>, то <math>A_1 = A_2</math> тогда и только тогда, когда и <math>v_1 - v_2 \in V'</math>.

[[Пересечение]] аффинных подпространств также является аффинным подпространством либо пусто. Если оно не пусто, то его размерность удовлетворяет соотношению
: <math>\dim (A_1 \cap A_2) \geq \dim A_1 + \dim A_2 - \dim A</math>.

Аффинное подпространство, которому соответствует подпространство [[коразмерность|коразмерности]] 1, называется '''[[гиперплоскость]]ю'''.

Часто рассматриваются аффинные подпространства линейного пространства (снабжённого стандартной аффинной структурой — действием на себе сложением). Они иногда называются '''линейными многообразиями'''<ref>''Ульянов А. П.'' [http://www.phys.nsu.ru/ulyanov/AU-algebra-2014.pdf Алгебра и геометрия плоскости и пространства для студентов-физиков] {{Wayback|url=http://www.phys.nsu.ru/ulyanov/AU-algebra-2014.pdf |date=20180922013913 }} Лекции для студентов 1 курса физического факультета НГУ.</ref><ref>''Дьедонне Ж.'' Линейная алгебра и элементарная геометрия. Перевод с французского Г. В. Дорофеева. — М.: Наука, 1972. — 335 с.</ref>.

Такое аффинное подпространство является линейным подпространством тогда и только тогда, когда оно содержит 0.

== Связанные определения ==
Возможно рассматривать{{sfn|Кострикин, Манин|1986|с=198}} произвольные [[линейные комбинации]] точек аффинного пространства.
Однако результат обретает смысл в следующих двух случаях:
* комбинация — ''барицентрическая комбинация'' (то есть сумма её коэффициентов равна 1), и тогда она будет точкой из <math>A</math>;
* комбинация — ''сбалансированная комбинация'' (то есть сумма её коэффициентов равна 0), и тогда она будет вектором из <math>V</math>.

По аналогии с понятием [[линейная независимость|линейной независимости]] векторов вводят понятие ''аффинной независимости'' точек аффинного пространства. Именно: точки <math>P_0, P_1, \ldots, P_n</math> называют{{sfn|Болтянский|1973|с=138}} '''аффинно зависимыми''', если какую-либо из них, скажем, <math>P_0</math>, можно представить в виде барицентрической комбинации остальных точек. В противном случае эти точки называются '''аффинно независимыми'''.

Условию аффинной независимости точек можно придать иную форму: справедливо предложение, по которому точки аффинного пространства аффинно независимы тогда и только тогда, когда не существует нетривиальной сбалансированной комбинации данных точек, равной нулевому вектору<ref>{{книга|автор=[[Александров, Павел Сергеевич|Александров П. С.]], Пасынков В. А.|заглавие=Введение в теорию размерности|место=М.|издательство=Наука|год=1973|страниц=576}} — C. 193.</ref>.

[[Размерность пространства|Размерность]] аффинного пространства равна{{sfn|Болтянский|1973|с=135}} по определению размерности соответствующего пространства свободных векторов.
При этом число точек в максимальном аффинно независимом множестве точек аффинного пространства оказывается на единицу больше размерности пространства.

Любое из максимальных аффинно независимых множеств точек аффинного пространства можно трактовать как [[Репер (аффинная геометрия)|точечный базис]] (перенумеровав данные точки тем или иным способом).

Всякую точку пространства можно представить в виде барицентрической комбинации точек, входящих в точечный базис; коэффициенты этой комбинации называют{{sfn|Кострикин, Манин|1986|с=199}} [[барицентрические координаты|барицентрическими координатами]] рассматриваемой точки.

== Вариации и обобщения ==
* Аналогичным образом определяется ''аффинное пространство над [[тело (алгебра)|телом]]''.

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
* {{книга|автор=[[Беклемишев, Дмитрий Владимирович|Беклемишев Д. В.]] |заглавие=Аналитическая геометрия и линейная алгебра|место=М.|издательство=Высшая школа|год=1998|страниц=320|ref=Беклемишев}}
* {{книга|автор=[[Болтянский, Владимир Григорьевич|Болтянский В. Г.]] |заглавие=Оптимальное управление дискретными системами|место=М.|издательство=Наука|год=1973|страниц=446|ref=Болтянский}}
* {{книга|автор=[[Кострикин, Алексей Иванович|Кострикин А. И.]], [[Манин, Юрий Иванович|Манин Ю. И.]] |заглавие=Линейная алгебра и геометрия|место=М.|издательство=Наука|год=1986|страниц=304|ref=Кострикин, Манин}}
* {{книга|автор=[[Шафаревич, Игорь Ростиславович|Шафаревич И. Р.]], Ремизов А. О. |заглавие=Линейная алгебра и геометрия|место=М.|издательство=Физматлит|год=2009|страниц=511|ref=Шафаревич, Ремизов}}

{{Вектора и матрицы}}
{{Размерность}}
[[Категория:Аффинная геометрия]]

Аффинное пространство - История изменений

imported>Theodor Ludenhof: викификация