imported>InternetArchiveBot: Спасено источников — 1, отмечено мёртвыми — 0. #IABot (v1.6.5)

2018-05-26T02:19:00Z

Спасено источников — 1, отмечено мёртвыми — 0. #IABot (v1.6.5)

Новая страница

'''Аффи́нная длина́''' — параметр плоской [[кривая|кривой]], который сохраняется при эквиаффинных преобразованиях (то есть [[аффинное преобразование|аффинных преобразованиях]], сохраняющих [[площадь (геометрия)|площадь]]).

==Определение==

Для плоской кривой <math>\gamma\colon [a,b]\to \mathbb R^2</math> аффинная длина вычисляется по формуле

: <math>l=\int\limits_a^b|\dot\gamma(t)\times\ddot\gamma(t)|^{1/3} dt,</math>

где <math>\times</math> обозначает [[векторное произведение]], а <math>\dot\gamma(t)</math> и <math>\ddot\gamma(t)</math> — первую и вторую производную.

===Частные случаи===
*Аффинная длина графика <math>y=f(x)</math> функции <math>f</math> задаётся как
*:<math>
l=\int\limits_{a}^{b} \sqrt[3]{|f''(x)|} dx,
</math>
*Для кривой <math>\gamma(s)</math> с [[натуральный параметр|натуральным параметром]] и [[кривизна|кривизной]] <math>\varkappa(s)</math>
*:<math>
l=\int\limits_{a}^{b} \sqrt[3]{|\varkappa(s)|} ds.
</math>

==Свойства==

*Аффинная длина дуги параболы равна <math>2\sqrt[3]S,</math> где ''S'' есть площадь треугольника, образованного хордой дуги и касательными к параболе в концах дуги.
*Среди выпуклых замкнутых кривых с фиксированной аффинной длиной [[эллипс]]ы (и только они) ограничивают наименьшую площадь.

==Вариации и обобщения==

Существуют также обобщения аффинной длины на случай пространственных кривых и для общей аффинной группы, а также других её подгрупп.

== Литература ==

* Л. Фейеш Тот, ''[https://web.archive.org/web/20071229202850/http://ilib.mirror1.mccme.ru/djvu/geometry/tot-rasp.htm Расположения на плоскости, на сфере и в пространстве]'', М., Физматлит, 1958. — 364 с.

[[Категория:Аффинная геометрия]]

Аффинная длина - История изменений

imported>InternetArchiveBot: Спасено источников — 1, отмечено мёртвыми — 0. #IABot (v1.6.5)