imported>Sldst-bot: Удаление topic=math из ш:Rq — заменено на отслеживание через ш:Статья проекта Математика на СО

2025-09-04T19:26:02Z

Удаление topic=math из ш:Rq — заменено на отслеживание через ш:Статья проекта Математика на СО

Новая страница

'''Асимптотическая кривая''' (асимптотическая линия) — кривая <math>\gamma = \gamma(t)</math> на [[Поверхность#Поверхность в дифференциальной геометрии|гладкой регулярной поверхности]] <math>F</math> в [[евклидово пространство|евклидовом пространстве]], в каждой точке касающаяся асимптотического направления поверхности <math>F</math>, т. е. такого направления, в котором [[нормальное сечение]] поверхности имеет нулевую [[кривизна кривой|кривизну]]. Так как нормальные сечения с нулевой кривизной существуют не во всех точках поверхности, то и асимптотические линии, вообще говоря, заполняют не всю поверхность. Асимптотическая кривая определяется [[дифференциальное уравнение|дифференциальным уравнением]]
:<math>\mathrm{I\!I}_{\gamma(t)}(\dot\gamma(t), \dot\gamma(t)) = 0,</math>
где <math>\mathrm{I\!I}</math> — [[вторая фундаментальная форма]] поверхности <math>F</math>.

== Три типа точек поверхности ==
Точки, в которых [[гауссова кривизна]] <math>K<0</math>, называются ''гиперболическими'' (примером поверхности, целиком состоящей из гиперболических точек, служит однополостный гиперболоид или гиперболический параболоид); точки, в которых гауссова кривизна <math>K>0</math>, называются ''эллиптическими'' (примером поверхности, целиком состоящей из эллиптических точек, служит эллипсоид или двуполостный гиперболоид); точки, в которых гауссова кривизна <math>K=0</math>, но [[средняя кривизна]] <math>K \neq 0</math>, называются ''параболическими'' (примером поверхности, целиком состоящей из параболических точек, служит цилиндр). Параболические точки, как правило, образуют кривую, разделяющую поверхность на эллиптическую и гиперболическую области.

В области эллиптических точек асимптотических линий нет. В области гиперболических точек имеется ровно два семейства асимптотических линий, составляющие так называемую '''асимптотическую сеть''': через каждую гиперболическую точку проходит по одной линии каждого семейства, они пересекаются под ненулевым углом. В параболических точках асимптотические линии имеют, как правило, особенность типа [[Касп|точки возврата]] (касп) и представляют собой [[Полукубическая парабола|полукубические параболы]], лежащие (за исключением самой точки возврата) в гиперболической области, примыкающей к параболической линии.

== Свойства ==
* [[Соприкасающаяся плоскость]] асимптотической кривой <math>\gamma</math> (там, где она существует) совпадает с [[касательная плоскость|касательной плоскостью]] к <math>F</math> в той же точке.
* ('''[[Теорема Бельтрами — Эннепера]]''') Квадрат [[Кручение кривой|кручения]] асимптотической кривой (там, где оно определено) равен модулю [[гауссова кривизна|гауссовой кривизны]] поверхности <math>F</math>.
* Прямолинейный отрезок на поверхности <math>F</math> всегда является асимптотической кривой. В частности, асимптотическими кривыми являются прямолинейные образующие поверхности.
* На поверхностях постоянной отрицательной кривизны асимптотическая сеть является [[чебышёвская сеть|чебышёвской сетью]], причем площадь четырёхугольника, образованного асимптотическими кривыми, пропорциональна избытку суммы его внутренних углов над <math>2\pi</math> (формула Хаццидакиса).
* На [[минимальная поверхность|минимальной поверхности]] асимптотическая сеть является [[ортогональная сеть|ортогональной сетью]].
* При [[проективное преобразование|проективном преобразовании]] <math>\pi</math> пространства асимптотические кривые поверхности <math>F</math> переходят в асимптотические кривые преобразованной поверхности <math>\pi(F)</math>.

== Уравнение для графика функции ==
Пусть в евклидовом пространстве с координатами <math>x, y, z</math> и метрикой <math>ds^2 = dx^2 + dy^2 + dz^2</math> поверхность задана в виде графика функции <math>z = f(x, y)</math>. Тогда в координатах <math>x, y</math> асимптотические линии поверхности задаются дифференциальным уравнением
<math>
f_{yy}\,dy^2 + 2f_{xy}\,dx \,dy + f_{xx}\,dx^2 = 0.
</math>
Введя обозначение <math>p = dy/dx</math>, его можно переписать в виде <math>f_{yy} p^2 + 2f_{xy} p + f_{xx} = 0.</math> Дискриминант <math>\Delta = f_{xy}^2 - f_{xx} f_{yy}</math> стоящего в левой части квадратного трёхчлена (относительно переменной <math>p</math>) совпадает с [[гессиан]]ом функции <math>f(x, y)</math>, взятым с обратным знаком, и уравнение <math>\Delta = 0</math> задаёт на плоскости <math>(x, y)</math> кривую, состоящую из параболических точек поверхности (при условии, что один из коэффициентов <math>f_{xx}</math> или <math>f_{yy}</math> отличен от нуля), которая также является дискриминантной кривой данного дифференциального уравнения, не разрешённого относительно производной. В типичном случае почти во всех параболических точках это уравнение имеет [[Нормальная форма Чибрарио|нормальную форму Чибрарио]], исключение составляют лишь точки, лежащие на дискриминантной кривой дискретно, в них нормальная форма уравнения более сложна. Ещё более сложную нормальную форму уравнение асимптотических линий имеет в точках, где все три коэффициента <math>f_{xx}</math>, <math>f_{xy}</math>, <math>f_{yy}</math> обращаются в нуль одновременно, — это так называемые [[Точка округления|плоские омбилики]], в которых <math>H = K = 0</math>, т. е. все нормальные сечения поверхности имеют нулевую кривизну.

== Примеры ==

* Все точки однополостного гиперболоида <math>x^2 + y^2 - z^2 = 1</math> относятся к гиперболическому типу. Уравнение асимптотических линий в данном случае принимает вид <math>(x^2 - 1)p^2 - 2xyp + y^2 - 1 = 0</math>, где <math>p = dy/dx</math>. Как легко проверить, общее решение этого уравнения задаётся формулой <math>y = ax + b</math>, где параметры <math>a</math> и <math>b</math> подчинены соотношению <math>b^2 - a^2 = 1</math>. Тем самым мы получаем два семейства (соответствующих разным знакам <math>\pm</math> в формуле <math>b = \pm \sqrt{a^2 + 1}</math>) асимптотических линий однополостного гиперболоида, совпадающих с семействами его прямолинейных образующих.
* Асимтотические линии конуса <math>x^2 + y^2 - z^2 = 0</math> также совпадают с его прямолинейными образующими. Так как все точки конуса параболические, то мы имеем ровно одно семейство асимптотических линий.
* В случае поверхности, заданной уравнением <math>z = y^2 + x^2y + ax^4</math> имеем <math>\Delta = (1 - 6a)x^2 - y</math>. Линия параболических точек (<math>y = (1 - 6a)x^2</math>) делит поверхность на эллиптическую (<math>y > (1 - 6a)x^2</math>) и гиперболическую (<math>y < (1 - 6a)x^2</math>) области. В последней расположены два семейства асимптотических линий. Во всех параболических точках, за исключением начала координат (<math>x = y = 0</math>) уравнение асимптотических линий имеет нормальную форму Чибрарио, следовательно, асимптотические линии в окрестности этих точек имеют вид полукубических парабол. В начале координат сеть асимптотических линий имеет более сложную особенность, характер которой зависит от параметра <math>a</math>, см. [http://www.mathnet.ru/php/getFT.phtml?jrnid=faa&paperid=1354&what=fullt&option_lang=rus статью].
* Асимптотическими кривыми на [[Тор (поверхность)|торе]], заданном параметрически в виде <math display="block">
\begin{cases}
x(\phi,\psi) = (R + r \cos \phi) \cos \psi, \\
y(\phi,\psi) = (R + r \cos \phi) \sin \psi, \\
z(\phi,\psi) = r \sin \phi,
\end{cases}
\qquad \phi, \psi \in [0,2\pi),
</math> являются два параллели <math>z = \pm r</math>, разделяющие гиперболические и эллиптические области и целиком состоящие из параболических точек, и бесконечное число кривых специального вида, осциллирующих между этими двумя параллелями.
* Асимптотической кривой является ребро возврата на [[псевдосфера|псевдосфере]].

== Литература ==
* ''Рашевский П. К.'' Курс дифференциальной геометрии, — Любое издание.
* ''Фиников С. П.'' Курс дифференциальной геометрии, — Любое издание.
* ''Фиников С. П.'' Теория поверхностей, — Любое издание.
* ''Мищенко А. С., Фоменко А. Т.'' Курс дифференциальной геометрии и топологии, — Любое издание.
*{{книга
|автор=Топоногов В. А.
|заглавие=Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей
|издательство=Физматкнига
|год=2012
|ISBN=9785891552135}}

{{rq|
{{стиль статьи|дата=2010-02-20}}
{{нет источников|дата=2010-02-20}}
}}

[[Категория:Дифференциальная геометрия поверхностей]]

Асимптотическая кривая - История изменений

imported>Sldst-bot: Удаление topic=math из ш:Rq — заменено на отслеживание через ш:Статья проекта Математика на СО