imported>LGB: /* Преамбула */

2025-06-26T15:06:25Z

Преамбула

Новая страница

{{Значения}}
[[Файл:Function-1 x.svg|thumb|300px|Для гиперболы <math>y = \frac{1} {x}</math> асимптотами являются оси абсцисс и ординат. [[Кривая]] может приближаться к своей асимптоте, оставаясь с одной стороны от неё]]
'''Аси́мптота''', или '''асимпто́та'''<ref>Двойное ударение указано в Советском энциклопедическом словаре. В словарях XIX и первой половины XX века (например, в кн.: {{книга|заглавие= Словарь иностранных слов|ответственный= Под ред. И. В. Лёхина и проф. Ф. Н. Петрова|место= М.|издательство= Гос. изд-во иностр. и нац. словарей|год= 1955|страниц= 856|страницы= 77}}) указывался единственный вариант ударения «Асимпто́та». В Большой Российской энциклопедии и в последнем издании Русского орфографического словаря Лопатина указан иной и также единственный вариант: Аси́мптота.</ref> (от {{lang-grc|ἀσύμπτωτος}} — несовпадающая, не касающаяся) [[Кривая|кривой]] с [[Бесконечность#Бесконечность в математике|бесконечной]] ветвью, — [[прямая]], обладающая тем свойством, что расстояние от точки кривой до этой [[Прямая|прямой]] стремится к нулю при удалении точки вдоль ветви в [[бесконечность]]<ref>{{МатЭнц|1|автор=Купцов Л. П.|статья=Асимптота|ссылка=http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Vinogradov_MatEnc_t1.djvu|столбцы=319—320}}</ref>. Термин впервые появился у [[Аполлоний Пергский|Аполлония Пергского]], хотя асимптоты [[Гипербола (математика)|гиперболы]] исследовал ещё [[Архимед]]<ref name="mes">{{МЭС|автор = |статья = Асимптота |ссылка = https://www.mathedu.ru/text/matematicheskiy_entsiklopedicheskiy_slovar_1988/p80/ |с = 80}}</ref>.
[[Файл:Damped oscillation function plot.svg|right|thumb|300px|Затухающие колебания. <math>y = e^{-x/10}\sin x</math>. Кривая может бесконечное множество раз пересекать асимптоту]]
[[Файл:3d curve and its asymptote.gif|right|thumb|300px|Пример асимптоты для кривой в пространстве. Спираль бесконечно приближается к прямой]]

== Виды асимптот графиков ==

=== Вертикальная ===
[[Прямая]] вида <math>x = a</math> является вертикальной асимптотой при выполнении хотя бы одного из равенств:
# <math>\lim_{x \to a^-}f(x)= \pm\infty </math>
# <math>\lim_{x \to a^+}f(x)=\pm\infty </math>.
Вертикальных асимптот может быть любое количество.

Прямая не может быть вертикальной асимптотой, если функция непрерывна в точке <math>a</math>. Поэтому вертикальные асимптоты следует искать в точках разрыва функции.

=== Горизонтальная и наклонная ===
{{Якорь|Наклонная}} {{Якорь|Горизонтальная}}
[[Файл:1-over-x-plus-x.svg|thumb|На графике функции {{math|''x'' + 1/''x''}}, ось {{math|''y''}} ({{math|''x'' {{=}} 0}}) и линия {{math|''y {{=}} x''}} являются асимптотами]]
Наклонная асимптота — [[прямая]] вида <math>y=kx+b</math>, если выполняется хотя бы одно из равенств:
# <math>\lim_{x \to +\infty}(f(x)-kx)=b</math>
# <math>\lim_{x \to -\infty}(f(x)-kx)=b</math>.
При этом, если выполняется первое условие, то говорят, что эта прямая является асимптотой при <math>x \to + \infty</math>, а если второе, то асимптотой при <math>x \to - \infty</math><ref>{{книга
|автор = Кудрявцев Л. Д.
|заглавие = Курс математического анализа
|издание = 5-е изд
|место = М.
|издательство = Дрофа
|год = 2003
|том = 1
|страниц = 704
|страницы = 374—375
|isbn = 5-7107-4119-1
}}</ref>.

Если <math>k=0</math>, то асимптота также называется '''горизонтальной'''.

'''Замечание 1:''' Число наклонных асимптот у функции не может быть больше двух: одна при <math>x \to + \infty</math> и одна при <math>x \to - \infty</math>; но асимптота может быть и одна или их вовсе может не быть.

'''Замечание 2:''' Некоторые источники включают требование, чтобы кривая не пересекала эту прямую в [[окрестность бесконечности|окрестности бесконечности]]<ref name=Talman>[https://web.archive.org/web/*/http://rowdy.msudenver.edu/~talmanl/PDFs/APCalculus/OnAsymptotes.pdf «Asymptotes» by Louis A. Talman]</ref>.

'''Замечание 3:''' В некоторых случаях, таких как алгебраическая геометрия, асимптота определена, как прямая, которая является «касательной» к кривой на бесконечности<ref name=Talman />.

[[Файл:Asymptote03.svg|300px|thumb|Функция y=arctgx с двумя горизонтальными асимптотами]]

=== Обыкновенная и оскулирующая ===
'''Обыкновенная асимптота''' имеет с кривой на бесконечности [[Касание#Порядок касания|касание первого порядка]], '''оскулирующая асимптота''' — касание второго порядка. Эти асимптоты [[Кубика|кубик]] отличаются друг от друга следующими свойствами{{sfn|''Смогоржевский А. С., Столова Е. С.'' Справочник по теории плоских кривых 3-го порядка, 1961|loc=§ 1. Классификация Ньютона, с. 9}}:
* обыкновенная прямолинейная асимптота пересекает кубику на конечном расстоянии в одной и только одной точке;
* оскулирующая прямолинейная асимптота не пересекает кубику на конечном расстоянии.

== Нахождение асимптот ==

=== Порядок нахождения асимптот ===
# Нахождение точек разрыва, выбор точек, в которых есть вертикальная асимптота (прямой проверкой, что предел в этой точке есть <math>\pm \infty</math>).
# Проверка, не являются ли конечными пределы <math>\lim_{x \to +\infty}f(x)=b</math> и<math>\lim_{x \to -\infty}f(x)=b</math>. Если да, то существует горизонтальная асимптота <math>y=b</math> при <math>+\infin</math> и <math>-\infin</math> соответственно.
# Нахождение двух пределов <math>\lim_{x \to \pm \infty}\frac{f(x)}{x}=k</math>
# Нахождение двух пределов <math>\lim_{x \to \pm \infty}(f(x)-kx)=b</math>.
Если хотя бы один из пределов в пунктах 3 или 4 не существует (или равен <math>\pm\infty</math>), то наклонной асимптоты при <math>x \to + \infty</math> (или <math>x \to - \infty</math>) не существует.

=== Наклонная асимптота — выделение целой части ===
[[Файл:Function and its asymptote.svg|thumb|Нахождение наклонной асимптоты графика функции путём выделения целой части]]
Также наклонную асимптоту можно найти, выделив целую часть. Например:

Дана [[Функция (математика)|функция]] <math>f(x)=\frac{2x^3+5x^2+1}{x^2+1}</math>.

Разделив нацело числитель на знаменатель, получим: <math>f(x)=2x+5+ \frac{-2x-4}{x^2+1}=2x+5+(-2) \cdot \frac{x+2}{x^2+1}</math>.

При <math>x \to \pm\infty</math>, <math>\frac{x+2}{x^2+1} \to 0</math>,

и <math>y=2x+5</math> является искомым уравнением наклонной асимптоты, причем с обеих сторон.

== Свойства ==
* Среди невырожденных [[коническое сечение|конических сечений]] асимптоты имеют только [[Гипербола (математика)|гиперболы]]. Асимптоты гиперболы как конического сечения параллельны образующим [[конус]]а, лежащим в плоскости, проходящей через вершину конуса параллельно секущей плоскости<ref>{{книга|автор=Taylor C.|заглавие=Geometrical Conics; Including Anharmonic Ratio and Projection, With Numerous Examples|год=1863|место=Cambridge|издательство=[[Macmillan Publishers|Macmillan]]|страницы=170|страниц=|ссылка=https://books.google.com/books?id=_GoLAAAAYAAJ&pg=PA170}}</ref>. Максимальный угол между асимптотами гиперболы для данного конуса равен углу раствора конуса и достигается при секущей плоскости, параллельной оси конуса.

== См. также ==
* [[Асимптотическая кривая]]

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
* {{книга|автор=Вирченко Н. А., Ляшко И. И., Швецов К. И.|часть=|заглавие=Графики функций: Справочник|оригинал= |ссылка=|издание=|ответственный=|место=Киев|издательство=Наук. думка|год=1979|том=|страницы=|страниц=320 |isbn=|тираж=|язык=ru}}
* {{книга|автор=Рашевский П. К.|часть=|заглавие=Курс дифференциальной геометрии|оригинал= |ссылка=|издание=4-е изд|ответственный=|место= М.|издательство=|год=1956|том=|страницы=|страниц=|isbn=|тираж=|язык=ru}}
* {{h|''Смогоржевский А. С., Столова Е. С.'' Справочник по теории плоских кривых 3-го порядка, 1961|3=
{{книга|автор=Смогоржевский А. С., Столова Е. С.|часть=|заглавие=Справочник по теории плоских кривых 3-го порядка|оригинал= |ссылка=|издание=|ответственный=|место= М.|издательство=Физматлит|год=1961|том=|страницы=|страниц=271 |isbn=|тираж=|язык=ru}}
}}

== Ссылки ==
{{Навигация|Портал=Математика}}
* {{ВТ-ЭСБЕ|Асимптота}}
* {{БСЭ3|автор=Позняк Э. Г.|Асимптота|2}}

[[Категория:Кривые]]
[[Категория:Аналитическая геометрия]]

Асимптота - История изменений

imported>LGB: /* Преамбула */