imported>Vulpo: откат правок 46.187.35.206 (обс.) к версии OneLittleMouse

2025-09-29T16:59:22Z

откат правок 46.187.35.206 (обс.) к версии OneLittleMouse

Новая страница

[[Файл:Archimedean spiral polar.svg|300px|thumb|Рис. 0]]
[[Файл:Archimedean-spiral-1.svg|thumb|300px|Рис. 1]]

'''Архиме́дова спира́ль''' — [[спираль]], плоская [[кривая]], траектория точки ''M'' (см. рис. 1), которая равномерно движется вдоль [[Луч (планиметрия)|луча]] ''OV'' с началом в ''O'', в то время как сам луч ''OV'' равномерно вращается вокруг ''O''. Другими словами, расстояние ρ = ''OM'' пропорционально углу поворота φ луча ''OV''.
Повороту луча ''OV'' на один и тот же [[угол]] соответствует одно и то же [[приращение (математика)|приращение]] ρ.

Свойства этой спирали описаны [[Древняя Греция|древнегреческим]] [[Учёный|учёным]] [[Архимед|Архимедом]] в его сочинении «{{iw|О спиралях||en|On Spirals}}».

== Описание ==
Уравнение Архимедовой спирали в [[полярная система координат|полярной системе координат]] записывается так:

: (1) <math>\rho = k\varphi,</math>

где '''''k''''' — смещение точки ''M'' по лучу ''r'' при повороте на угол, равный одному радиану.

Повороту прямой на <math>2\pi</math> соответствует смещение ''a'' = |''BM''| = |''MA''| = <math>2k\pi</math>.
Число ''a'' — называется «'''шагом спирали'''». Уравнение Архимедовой спирали можно переписать так:

: <math>\rho = \frac{a}{2\pi}\varphi.</math>

При вращении луча против часовой стрелки получается правая спираль (синяя линия) (см. рис. 2), при вращении по часовой стрелке — левая спираль (зелёная линия).

[[Файл:Archimedean-spiral-2.svg|thumb|300px|Рис. 2]]

Обе ветви спирали (правая и левая) описываются одним уравнением (1). Положительным значениям <math>\varphi</math> соответствует правая спираль, отрицательным — левая спираль. Если точка M будет двигаться по [[Прямая|прямой]] UV из отрицательных значений через центр вращения O и далее в положительные значения, вдоль прямой UV, то точка M опишет обе ветви спирали.

Луч OV, проведённый из начальной точки O, пересекает спираль бесконечное число раз — точки B, M, A и так далее. Расстояния между точками B и M, M и A равны шагу спирали <math>a = 2k\pi</math>. При раскручивании спирали расстояние от точки O до точки M стремится к бесконечности, при этом шаг спирали остаётся постоянным (конечным), то есть чем дальше от центра, тем ближе витки спирали по форме приближаются к окружности.

== Площадь сектора ==
Площадь <math>S</math> сектора OCM:

: <math>\left(2 \right)</math> <math>S = \frac{1}{6} \varphi \left( \rho^2 + \rho \rho'+ \rho'^2 \right)</math>,

где <math>\rho = OC</math>, <math>\rho' = OM</math>, <math>\varphi = \angle COM</math>.

При <math>\rho = 0</math>, <math>\rho' = a</math>, <math>\varphi = 2\pi</math>, формула (2) даёт площадь фигуры, ограниченной первым витком спирали и отрезком CO:

: <math>S_1 = \frac{1}{3} \pi a^2 = \frac{1}{3} S'_1</math>,

где <math>S'_1</math> — площадь круга, радиус которого равен шагу спирали — <math>a</math>.

Все эти свойства и уравнения были открыты [[Архимед]]ом.

== Вычисление длины дуги Архимедовой спирали ==
Бесконечно малый отрезок дуги <math>dl</math> равен (см. рис.3):

[[Файл:Archimedean spiral length.svg|right|thumb|300px|Рис. 3: Вычисление длины дуги Архимедовой спирали]]

: <math>dl = \sqrt{d \rho^2 + dh^2}</math>,

где <math>d\rho</math> — [[приращение (математика)|приращение]] радиуса <math>\rho</math>, при приращении угла <math>\varphi</math> на <math>d\varphi</math>.
Для бесконечно малого приращения угла <math>d\varphi</math> справедливо:

: <math>dh^2 = \left(\rho d \varphi \right)^2</math>.

Поэтому:

: <math>dl = \sqrt{d \rho^2 + \rho^2 d \varphi^2}</math>

так как <math>\rho = k\varphi</math> и

: <math>d \rho = k d \varphi</math>

или

: <math>dl = \sqrt{k^2 d \varphi^2 + k^2 \varphi^2 d \varphi^2}</math>

: <math>dl = k d \varphi \sqrt{1 + \varphi^2}</math>.

Длина дуги <math>L</math> равна интегралу от <math> dl </math> по <math> d \varphi </math> в пределах от <math> 0 </math> до <math> \varphi</math>:

: <math> L = \int\limits_{0}^ {\varphi} k \sqrt{1 + \varphi^2} d \varphi</math>

: <math> L = \frac{k}{2} \left[ \varphi \sqrt{1 + \varphi^2} + \ln \left( \varphi + \sqrt{1 + \varphi^2}\right) \right]</math>.<ref>{{MathWorld |title=Archimedes' Spiral |urlname=ArchimedesSpiral}}</ref>

== Трёхмерное обобщение ==
Трёхмерным обобщением '''архимедовой спирали''' можно считать проекцию конической спирали на плоскость, перпендикулярную оси конуса.
[[Файл:Schraube und archimedische Spirale.png|right|thumb|Архимедова спираль (черная), как проекция конической спирали на плоскость, перпендикулярную оси конуса, цилиндрическая спираль (зеленая) и коническая спираль (красная)]]

== Примечания ==
{{примечания}}

== Ссылки ==
* {{commonscat-inline}}

{{Кривые}}

[[Категория:Кривые]]
[[Категория:Спирали]]
[[Категория:Трансцендентные кривые]]

Архимедова спираль - История изменений

imported>Vulpo: откат правок 46.187.35.206 (обс.) к версии OneLittleMouse