imported>Alexander Mikhalenko: /* Перевод */

2026-01-29T15:06:15Z

Перевод

imported>Leganto Esploristo в 20:08, 11 июля 2025

2025-07-11T20:08:35Z

Новая страница

{{викисловарь|аппроксимация}}
'''Аппроксима́ция''' (от {{lang-la|proxima}} — ближайшая) или '''приближе́ние''' — упрощение, замена сложного более простым, но схожим в результате.

Аппроксимация позволяет исследовать числовые характеристики и качественные свойства объекта, сводя задачу к изучению более простых или более удобных объектов (например, таких, характеристики которых легко вычисляются или свойства которых уже известны). В [[Теория чисел|теории чисел]] изучаются [[Диофантово приближение|диофантовы приближения]], в частности, приближения [[Иррациональное число|иррациональных]] чисел [[Рациональное число|рациональными]]. В [[Геометрия|геометрии]] рассматриваются аппроксимации [[Кривая|кривых]] [[Ломаная|ломаными]]. Некоторые разделы математики в сущности целиком посвящены аппроксимации, например, [[Теория приближений|теория приближения]] [[Функция (математика)|функций]], [[Численный анализ|численные методы анализа]].

В переносном смысле употребляется в [[Философия|философии]] как ''метод приближения'', указание на приблизительный, неокончательный характер. Например, в таком смысле термин «аппроксимация» активно употреблялся [[Кьеркегор, Сёрен|Сёреном Кьеркегором]] (1813—1855) в «Заключительном ненаучном послесловии…».

== Остаточный член ==
'''Остаточный член''' — разность между заданной [[Функция (математика)|функцией]] и функцией её аппроксимирующей.
Тем самым оценка остаточного члена является оценкой точности рассматриваемой аппроксимации. Этот термин применяется, например, в [[формула Тейлора|формуле ряда Тейлора]].

== Примеры ==
* Приблизить действительное число <math>\alpha</math> дробью со знаменателем <math>n</math> — это значит из всех дробей со знаменателями <math>n</math> найти ближайшую к числу <math>\alpha</math>.
* Для приближённого вычисления [[интеграл]]а используется [[формула прямоугольников]] или [[формула трапеций]], или более сложная [[формула Симпсона]]. Фактически при этом происходит приближение [[Подынтегральная функция|подынтегральной функции]] [[Ступенчатая функция|ступенчатой функцией]] или вписанной ломаной, интеграл от которой считается мгновенно.
* Для вычисления значений сложных функций часто используется вычисление значения отрезка [[Ряд (математика)|ряда]], аппроксимирующего функцию.
* Для обработки экспериментальных или натурных данных. Тут следует рассматривать два случая: 1) аппроксимирующая функция ограничена диапазоном заданных точек и служит в качестве только интерполирующей зависимости; 2) аппроксимирующая функция выступает в роли физического закона и с её помощью допускается экстраполировать переменные. Приведём пример. Пусть на основе натурных наблюдений получены следующие пары чисел <math>x</math> и <math>y</math>.:

<math>x \qquad y </math>

<math>2 \quad 0,3842</math>

<math>3 \quad 1,1062</math>

<math>4 \quad 2,6291</math>

<math>5 \quad 7,8320</math>

<math>6 \quad 17,379</math>

<math>7 \quad 36,607</math>

<math>8 \quad 66,696</math>

<math>9 \quad 104,43</math>

Если функция будет использована только для [[Интерполяция|интерполяции]], то достаточно аппроксимировать точки полиномом, скажем, пятой степени:

<big><math>y=ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+fx+k</math></big>

где:

<big><math>a=-0,0190543</math></big>

<big><math>b=0,4874708</math></big>

<big><math>c=-4,3207141</math></big>

<big><math>d=18,3040989</math></big>

<big><math>f=-36,58884</math></big>

<big><math>k=27,7555259</math></big>

Намного сложней обстоит дело в случае, если приведённые выше натурные данные служат опорными точками для выявления закона изменения <math>y=F(x)</math> с известными граничными условиями. Например: <math>F(0)=0</math> и <math>F(\infty) \to \infty</math>. Тут уже качество результата зависит от профессионализма исследователя. В данном случае наиболее приемлемым окажется закон:

<big><math>y=ax^b \mathrm{arctg}\big (e^{cx^d+f}\big )</math></big>

где:

<big><math>a=1,87926</math></big>

<big><math>b=1,76696</math></big>

<big><math>c=0,532588</math></big>

<big><math>d=1,01509</math></big>

<big><math>f=-4,16485</math></big>

Для оптимального подбора параметров уравнений обычно используют [[метод наименьших квадратов]].

== См. также ==
* [[Абстрагирование]]
* [[Моделирование]]
* [[Интерполяция]]
* [[Экстраполяция]]
* [[Теорема Ока об аппроксимации]]

== Литература ==
* ''Лоран П. Ж.'' Аппроксимация и оптимизация. — М.: Мир, 1975. — 496 с.
* ''Виноградов В. Н., Гай Е. В., Работнов Н. С.'' Аналитическая аппроксимация данных в ядерной и нейтронной физике. — М.: [[Энергоатомиздат]], 1987. — 128 с.

{{вс}}

[[Категория:Вычислительная математика]]
[[Категория:Теория приближений]]

Аппроксимация - История изменений

imported>Alexander Mikhalenko: /* Перевод */

imported>Leganto Esploristo в 20:08, 11 июля 2025