imported>Sldst-bot: Замена параметров ш:rq на вложенные шаблоны с датами установки: refless → ш:нет сносок (2025-06-20), sources → ш:нет источников (2025-06-20)

2025-08-28T20:51:43Z

Замена параметров ш:rq на вложенные шаблоны с датами установки: refless → ш:нет сносок (2025-06-20), sources → ш:нет источников (2025-06-20)

Новая страница

{{о|поле множеств|алгебраической системе, независимой от теории множеств|Алгебра множеств (по Куранту и Роббинсу)}}
'''Алгебра множеств''' в [[теория множеств|теории множеств]] — это непустая [[Система множеств|система подмножеств]] некоторого множества <math>X</math>, [[Замыкание (алгебра)|замкнутая]] относительно операций [[Разность множеств|дополнения (разности)]] и [[Объединение множеств|объединения (суммы)]].

== Определение ==
Семейство <math>\mathfrak{A} \subset 2^{X}</math> подмножеств [[Множество|множества]] <math>X</math> (здесь <math>2^{X}</math> — [[булеан]]) называется алгеброй, если оно удовлетворяет следующим свойствам:
# <math>\varnothing\in \mathfrak{A}.</math>
# Если множество <math>A\in \mathfrak{A}</math>, то и его [[Операции над множествами|дополнение]] <math>X\setminus A\in\mathfrak{A}.</math>
# [[Операции над множествами|Объединение]] двух множеств <math>A,B\in \mathfrak{A}</math> также принадлежит <math>\mathfrak{A}.</math>

== Замечания ==
* По определению, если алгебра содержит множество <math>A</math>, то она содержит и его дополнение. Объединением <math>A</math> с его дополнением является исходное множество <math>X</math>. Дополнением к множеству <math>X</math> является пустое множество. Это означает, что множество <math>X</math> и пустое множество содержится в алгебре по определению.
* В силу свойств операций над множествами, алгебра множеств также замкнута относительно [[Операции над множествами|пересечения]] и [[Операции над множествами|симметрической разности]].
* Алгебра множеств — это частный случай [[Алгебра над кольцом|алгебры с единицей]], где [[Бинарная операция|операцией]] «умножения» является пересечение множеств, а операцией «сложения» является симметрическая разность.
* Если исходное множество <math>X</math> является [[Пространство элементарных событий|пространством элементарных событий]], то алгебра <math>\mathfrak{A}</math> называется '''''алгеброй событий''''' — ключевое понятие [[теория вероятностей|теории вероятностей]] и связанных с ней математических дисциплин, имеющее уникальную интерпретацию и играющее самостоятельную роль в математике.

== Алгебра событий ==
'''''Алгебра событий''''' (в [[теория вероятностей|теории вероятностей]]) — алгебра подмножеств [[пространство элементарных событий|пространства элементарных событий]] <math>\Omega</math>, элементами которого служат [[элементарное событие|элементарные события]].

Как и положено алгебре множеств, ''алгебра событий'' содержит [[невозможное событие]] ([[пустое множество]]) и замкнута относительно [[теоретико-множественные операции|теоретико-множественных операций]], производимых с [[Конечное множество|конечным количеством]] множеств. Достаточно потребовать, чтобы ''алгебра событий'' была замкнута относительно двух операций, например, [[пересечение|пересечения]] и [[Дополнение (теория множеств)|дополнения]], из чего сразу последует её замкнутость относительно любых других теоретико-множественных операций. Алгебра событий, замкнутая относительно теоретико-множественных операций, производимых со [[счётное множество|счётным количеством]] множеств, называется [[сигма-алгебра|сигма-алгеброй]] событий.

В теории вероятностей встречаются следующие алгебры и сигма-алгебры событий:

* ''алгебра'' [[конечное множество|конечных]] подмножеств <math>\Omega</math>;
* ''сигма-алгебра'' [[счётное множество|счётных]] подмножеств <math>\Omega</math>;
* ''алгебра'' подмножеств <math>{\mathbb{R}}^n</math>, образованная конечными [[Объединение множеств|объединениями]] [[Интервал (математика)|интервалов]];
* ''сигма-алгебра'' борелевских подмножеств [[топологическое пространство|топологического пространства]] <math>\Omega</math>, то есть наименьшая сигма-алгебра, содержащая все [[открытое множество|открытые]] подмножества <math>\Omega</math>;
* ''алгебра'' [[Измеримое пространство|цилиндров]] в пространстве функций и сигма-алгебра, ими порожденная.

Событие <math> A + B </math> или <math>A \cup B </math>, заключающееся в том, что из двух событий <math> A </math> и <math> B </math> происходит по крайней мере одно, называется '''''суммой событий''''' <math> A </math> и <math> B </math>.

[[Вероятностное пространство]] — это алгебра событий с заданной функцией вероятности <math>\mathbb{P}</math>, то есть [[Мера множества#Счётно-аддитивная мера|сигма-аддитивной конечной мерой]], областью определения которой является алгебра событий, где <math>\mathbb{P}(\Omega) = 1</math>.

Любая сигма-аддитивная вероятность на ''алгебре событий'' однозначно продолжается до сигма-аддитивной вероятности, определённой на ''сигма-алгебре событий'', порожденной данной ''алгеброй событий''.

== См. также ==
* [[Кольцо множеств]]
* [[Аксиоматика Колмогорова]]
* [[Событие (теория вероятностей)]]

== Примечания ==
{{Примечания}}

== Литература ==
* {{книга |часть= |автор=[[ Курант, Рихард| Курант]] Р., Роббинс Г.
|заглавие=Что такое математика?
|издание = изд. 7-е, стереотипное
|ref= Курант, Роббинс| ссылка= https://azbyka.ru/deti/wp-content/uploads/2021/09/chto-takoe-matematika.-kurrant-robbins.pdf |место=М. |издательство=МЦНМО |год=2015 |страниц=568 }}
* {{книга |автор=Кулик Б.А.
|заглавие= Логика и математика: просто о сложных методах логического анализа |ref=Кулик| ссылка= http://logic-cor.narod.ru/index/knigi/0-9 |место=СПб. |издательство=Политехника |год=2020 |страниц=141}}
* {{книга
|заглавие = Элементы теории функций и функционального анализа
|автор= [[Колмогоров, Андрей Николаевич|Колмогоров А.Н.]], [[Фомин, Сергей Васильевич|Фомин С.В.]]
|издание = изд. четвёртое, переработанное
|место = М.}}

{{rq|
{{нет сносок|дата=2025-06-20}}
{{нет источников|дата=2025-06-20}}
}}
[[Категория:Теория множеств]]
[[Категория:Теория меры]]
[[Категория:Теория вероятностей]]

Алгебра множеств - История изменений

imported>Sldst-bot: Замена параметров ш:rq на вложенные шаблоны с датами установки: refless → ш:нет сносок (2025-06-20), sources → ш:нет источников (2025-06-20)