imported>Bogdanov-62: /* Ссылки */

2025-11-17T18:26:04Z

Ссылки

Новая страница

'''Алгебраи́ческое число́''' — [[комплексное число]], являющееся [[Корень многочлена|корнем]] некоторого [[многочлен]]а с [[Рациональное число|рациональными]] коэффициентами, не равного тождественно [[0 (число)|нулю]].

Множество всех алгебраических чисел является [[Алгебраическое замыкание|алгебраическим замыканием]] [[Поле (алгебра)|поля]] рациональных чисел и обозначается <math>\mathbb{A}</math>. Оно является [[подполе]]м поля комплексных чисел.

== Связанные определения ==
[[Вещественное число|Вещественное]] или [[комплексное число]], не являющееся алгебраическим, называется [[трансцендентное число|трансцендентным]].

[[Целое алгебраическое число|Целыми алгебраическими числами]] называются корни многочленов с целыми коэффициентами и со старшим коэффициентом, равным единице.

=== Степень алгебраического числа ===
Если <math>\alpha</math> — алгебраическое число, то среди всех многочленов с рациональными коэффициентами, имеющих <math>\alpha</math> своим корнем, существует единственный многочлен наименьшей степени и со старшим коэффициентом, равным единице. Такой многочлен называется '''[[Минимальный многочлен алгебраического элемента|минимальным]]''', или '''каноническим''', многочленом для алгебраического числа <math>\alpha</math> (иногда '''каноническим''' называют многочлен, получающийся из минимального домножением его коэффициентов на [[наименьшее общее кратное]] знаменателей его коэффициентов, то есть многочлен с целыми коэффициентами). Степень канонического многочлена для <math>\alpha</math> называется '''степенью алгебраического числа''' <math>\alpha</math>.

Другие корни канонического многочлена <math>\alpha</math> называются '''[[Сопряжённый корень|сопряжёнными]]''' '''(по [[Галуа, Эварист|Галуа]])''' с <math>\alpha</math>.

Минимальный многочлен по определению является [[Неприводимый многочлен|неприводимым]] над '''<math>\mathbb{Q}</math>'''.

'''Высотой''' алгебраического числа <math>\alpha</math> называется наибольшая из абсолютных величин коэффициентов в неприводимом и [[Примитивный многочлен (алгебра)|примитивном многочлене]] с целыми коэффициентами, имеющем <math>\alpha</math> своим корнем. Эта величина также называется '''[[Высота многочлена|высотой]]''' самого́ ''неприводимого'' многочлена.

== Примеры ==
* [[Рациональные числа]], и только они, являются алгебраическими числами первой степени.
* [[Мнимая единица]] <math>i</math> и <math>\sqrt2</math> являются алгебраическими числами второй степени. Сопряжёнными к ним являются соответственно <math>-i</math> и <math>-\sqrt2</math>.
* [[Гауссовы целые числа]], степень у них также вторая.
* [[Золотое сечение]] как корень многочлена <math>x^2-x-1.</math>
* <math>\sqrt[3]{1+\sqrt2}+\sqrt[3]{1-\sqrt2}</math> — алгебраическое число 3-й степени, корень многочлена <math>x^3+3x-2</math>. Сопряжённые числа равны <math>\tfrac{-1\pm\sqrt3i}2\sqrt[3]{1+\sqrt2}+\tfrac{-1\mp\sqrt3i}2\sqrt[3]{1-\sqrt2}</math>.
* Для любого натурального числа <math>n</math> число <math>\sqrt[n]3</math> является алгебраическим числом степени <math>n</math>.

== Свойства ==
* Сумма, разность, произведение и частное<ref>кроме частного от деления на ноль</ref> двух алгебраических чисел — алгебраические числа, то есть множество всех алгебраических чисел образует [[Поле (алгебра)|поле]].
** Следствие: [[комплексное число]] <math>a+bi</math> является алгебраическим тогда и только тогда, когда обе его компоненты <math>a,b</math> — алгебраические числа.
* Множество алгебраических чисел [[счётное множество|счётно]], а следовательно, его [[Мера Лебега|мера]] равна нулю.
* Множество алгебраических чисел [[плотное множество|плотно]] на [[комплексное число|комплексной плоскости]].
** Однако дополнение комплексной плоскости к множеству алгебраических чисел является линейно связным.
* Корень многочлена с алгебраическими коэффициентами есть алгебраическое число, то есть поле алгебраических чисел [[алгебраически замкнутое поле|алгебраически замкнуто]].
* Для всякого алгебраического числа <math>\alpha</math> существует такое [[натуральное число|натуральное]] <math>N</math>, что <math>N\alpha</math> — [[целое алгебраическое число]].
* Алгебраическое число <math>\alpha</math> степени <math>n</math> имеет <math>n</math> различных сопряжённых чисел (включая себя).
* <math>\alpha</math> и <math>\beta</math> сопряжены [[тогда и только тогда]], когда существует [[автоморфизм]] поля <math>\mathbb{A}</math>, переводящий <math>\alpha</math> в <math>\beta</math>.
* Любое алгебраическое число [[Вычислимое число|вычислимо]], а следовательно, [[Арифметическое число|арифметично]].

== Числа, [[Выразимость в радикалах|выразимые в радикалах]] ==
Любое число, которое можно получить из целых чисел при помощи четырёх действий арифметики (сложения, вычитания, умножения, деления), а также извлечением [[Корень (математика)|корня]] целой степени, является алгебраическим.
Так, например, алгебраическим будет число <math>\sqrt{\frac{1998}{\sqrt[19]{98}-\sqrt[199]{8}}}</math>, а также числа вида <math>Q_1^{Q_2} + Q_3^{Q_4} + \ldots + Q_n^{Q_{n+1}}</math>, где <math> Q_1, Q_2, Q_3, Q_4 \dots Q_{n+1}</math> — [[рациональное число|рациональные числа]].

Однако не все алгебраические числа можно записать при помощи радикалов. Так, например, согласно [[Теорема Абеля — Руффини|теореме Абеля — Руффини]], многочлены пятой степени и выше с целыми коэффициентами могут быть неразрешимы в радикалах. Корни таких многочленов являются алгебраическими числами, которые невозможно построить из целых четырьмя арифметическими действиями и извлечением корней<ref name=kvant>{{Статья |автор=A. Жуков |заглавие=Алгебраические и трансцендентные числа |ссылка=http://kvant.mccme.ru/pdf/1998/04/kv0498kaleid.pdf |издание=Квант |год=1998 |номер=4 |archive-date=2018-07-13 |archive-url=https://web.archive.org/web/20180713001634/http://kvant.mccme.ru/pdf/1998/04/kv0498kaleid.pdf }}</ref>.

== История ==
Название ''алгебраические'' и ''трансцендентные'' числа предложил [[Эйлер, Леонард|Эйлер]] в 1775 году.
В то время ещё не была известна трансцендентность ни одного известного числа<ref name=kvant/>.
Алгебраические поля, отличные от рационального, стал рассматривать [[Гаусс, Карл Фридрих|Гаусс]].
При обосновании теории биквадратичных [[Вычет (комплексный анализ)|вычетов]] он развил арифметику целых [[гауссово число|гауссовых чисел]], то есть чисел вида <math>a + bi</math>, где <math>a</math> и <math>b</math> — [[целые числа]].

Продолжение исследований Гаусса привело во второй половине XIX века к построению общей теории алгебраических чисел<ref>{{Книга|автор=[[Виноградов, Иван Матвеевич|Виноградов И. М.]] |часть=Карл Фридрих Гаусс|ссылка часть=http://www.ega-math.narod.ru/Books/Gauss.htm#imv|заглавие=Труды по теории чисел |место={{М}} |издательство=АН СССР|год=1959|страницы=|страниц=}}</ref>. Далее, изучая теорию кубических вычетов, [[Якоби, Карл Густав Яков|Якоби]] и [[Эйзенштейн, Фердинанд|Эйзенштейн]] создали арифметику чисел
вида <math>a + b\rho</math>, где <math>\rho = (-1+i\sqrt3)/2</math> — кубический [[корень из единицы]], а <math>a</math> и <math>b</math> — целые числа.
В 1844 году [[Лиувилль, Жозеф|Лиувилль]] доказал [[Теорема Лиувилля о приближении алгебраических чисел|теорему]] о невозможности слишком хорошего приближения корней многочленов с рациональными коэффициентами рациональными дробями, и, как следствие, ввёл формальные понятия алгебраических и трансцендентных (то есть всех прочих вещественных) чисел.

Попытки доказать [[великая теорема Ферма|великую теорему Ферма]] привели [[Куммер, Эрнст Эдуард|Куммера]] к изучению [[Круговое поле|полей деления круга]], введению понятия [[идеал (алгебра)|идеала]] и созданию элементов теории алгебраических чисел.
В работах [[Лежён-Дирихле, Петер Густав|Дирихле]],
[[Кронекер, Леопольд|Кронекера]],
[[Гильберт, Давид|Гильберта]]
и других теория алгебраических чисел получила своё дальнейшее развитие.
Большой вклад в неё внесли русские математики
[[Золотарёв, Егор Иванович|Золотарёв]] ([[теория идеалов]]),
[[Вороной, Георгий Феодосьевич|Вороной]] (кубические иррациональности, единицы кубических полей),
[[Марков, Андрей Андреевич (старший)|Марков]] (кубическое поле),
[[Сохоцкий, Юлиан Васильевич|Сохоцкий]] (теория идеалов)
и другие.

== Примечания ==
{{примечания}}

== Ссылки ==
* ''Фельдман, Н.'' [http://kvant.mccme.ru/1983/07/algebraicheskie_i_transcendent.htm ''Алгебраические и трансцендентные числа''] {{Wayback|url=http://kvant.mccme.ru/1983/07/algebraicheskie_i_transcendent.htm |date=20040919083252 }} // [[Квант (журнал)|Квант]], № 7, 1983.
* ''Нестеренко Ю. В.'' [http://new.math.msu.su/department/number/dw/lib/exe/fetch.php?media=lectures_algebraic_numbers.pdf Лекции об алгебраических числах] {{Wayback|url=http://new.math.msu.su/department/number/dw/lib/exe/fetch.php?media=lectures_algebraic_numbers.pdf |date=20170612220144 }} // Конспект курса лекций, читаемых на [[мехмат МГУ|мехмате МГУ]].
* [[Мазур, Барри|Mazur B.]]: [http://www.math.harvard.edu/~mazur/preprints/algebraic.numbers.April.30.pdf Algebraic Numbers] {{Wayback|url=http://www.math.harvard.edu/~mazur/preprints/algebraic.numbers.April.30.pdf |date=20160507221454 }} (PDF; 272 kB) {{ref|en}}.
{{ВС}}
{{Алгебраические числа}}
{{Числа}}

[[Категория:Общая алгебра]]
[[Категория:Числа]]
[[Категория:Алгебраические числа]]

Алгебраическое число - История изменений

imported>Bogdanov-62: /* Ссылки */