imported>Sldst-bot: Замена параметров ш:rq на вложенные шаблоны с датами установки: isbn → ш:оформить литературу (2013-08-16), refless → ш:нет сносок (2013-08-16)

2025-05-12T03:23:48Z

Замена параметров ш:rq на вложенные шаблоны с датами установки: isbn → ш:оформить литературу (2013-08-16), refless → ш:нет сносок (2013-08-16)

Новая страница

'''Алгебраи́ческая тополо́гия''' (устаревшее название: '''комбинаторная топология''') — раздел [[топология|топологии]], изучающий [[топологическое пространство|топологические пространства]] путём сопоставления им [[алгебраическая система|алгебраических объектов]] ([[группа (математика)|групп]], [[Кольцо (математика)|колец]] и т. д.), а также поведение этих объектов под действием различных топологических операций.

== Основные методы ==
Методы алгебраической топологии основаны на предположении, что [[общая алгебра|общеалгебраические]] структуры устроены проще, чем топологические.

Важным инструментом алгебраической топологии являются так называемые группы [[Гомология (топология)|гомологий]] (например, [[Симплициальные гомологии|симплициальные]] или сингулярные). Каждому топологическому пространству <math>X</math> соответствует в каждой размерности <math>n</math> своя [[абелева группа]] гомологий <math>H_n(X)</math>, а каждому непрерывному отображению <math>f:X\to Y</math> соответствует [[гомоморфизм]] групп <math>f_*:H_n(X)\to H_n(Y)</math>, причём композиции отображений <math>fg</math> соответствует композиция гомоморфизмов <math>f_*g_*</math>, а тождественному отображению <math>\mathrm{id}</math> соответствует тождественный гомоморфизм <math>\mathrm{id}_*</math>. На языке теории [[Категория (математика)|категорий]] это означает, что <math>n</math>-я группа гомологий является ковариантным [[Функтор (математика)|функтором]] из категории топологических пространств в категорию абелевых групп.

Помимо различных теорий гомологий (сейчас очень большое значение приобрели [[Теория гомологий#Экстраординарные гомологии|экстраординарные гомологии]], например, теория [[бордизм]]ов или [[K-теория|<math>K</math>-теория]]), для алгебраической топологии важны [[гомотопические группы]] <math>\pi_n(X)</math>. Из них главной является <math>\pi_1(X)</math> — так называемая [[фундаментальная группа]], которая, в отличие от групп всех других размерностей, может быть неабелевой.

== Пример методики ==
Одним из классических примеров применения методов алгебраической топологии является доказательство [[Теорема Брауэра о неподвижной точке|теоремы Брауэра о неподвижной точке]]. Утверждение теоремы состоит в том, что всякое [[Непрерывность (математика)|непрерывное отображение]] замкнутого <math>n</math>-мерного шара в себя <math>f \colon D_n \to D_n</math> обладает неподвижной точкой, то есть <math>\exists x\colon f(x) =x</math>.

Для доказательства используется следующая лемма: не существует [[Ретракция (топология)|ретракции]] <math>n</math>-мерного шара <math>D_n</math> на свою границу, <math>(n-1)</math>-мерную сферу <math>S_{n-1}</math>(такого непрерывного отображения <math>g:D_n\to S_{n-1},</math> что <math>g(x)=x</math> для всех точек границы). В самом деле: если у отображения <math>f</math> нет неподвижных точек, то возможно построить отображение <math>g</math> шара на сферу, проведя для каждой точки шара <math>x</math> луч, выходящий из <math>f(x)</math> и проходящий через <math>x</math> (в случае отсутствия неподвижных точек это разные точки); пусть <math>y</math> — точка пересечения луча со сферой <math>S_{n-1}</math>, и <math>g(x)=y</math>. Отображение <math>g(x)=y</math> непрерывно, и если <math>x</math> принадлежит сфере, то <math>g(x)=x</math>. Таким образом, получена [[Ретракция (топология)|ретракция]] шара на сферу, что по лемме невозможно. Следовательно, хотя бы одна неподвижная точка существует.

Для доказательства леммы предполагается, что существует такая ретракция <math>g</math>. Для вложения сферы в шар <math>i(x)=x</math> выполнено следующее свойство: композиция отображений <math>gi=\mathrm{id}</math> — тождественное отображение сферы (вначале <math>i</math>, затем <math>g</math>). Далее показывается, что <math>H_{n-1}(S_{n-1})=\mathbf{Z}</math>, а <math>H_{n-1}(D_n)=0</math>. Тогда отображение <math>g_*:H_{n-1}(D_n)\to H_{n-1}(S_{n-1})</math> будет отображением в 0, но, с другой стороны, так как <math>gi=\mathrm{id}</math>, имеем <math>g_*i_*=\mathrm{id}_*:\mathbf{Z}\to\mathbf{Z}</math> — является не нулевым гомоморфизмом, а тождественным изоморфизмом.

Известны и неалгебраические доказательства теоремы Брауэра, но введение гомологий сразу позволило легко доказать множество утверждений, ранее казавшихся не связанными друг с другом.

== История ==
Некоторые теоремы алгебраической топологии были известны ещё [[Эйлер, Леонард|Эйлеру]], например, что для всякого выпуклого многогранника с числом вершин <math>V</math>, рёбер <math>E</math> и граней <math>F</math> имеет место <math>V-E+F=2</math>.

Топологическими вопросами интересовались [[Гаусс, Карл Фридрих|Гаусс]] и [[Риман, Бернхард|Риман]].

Но основную роль в создании алгебраической топологии как науки сыграл [[Пуанкаре, Анри|Пуанкаре]] — именно ему принадлежат понятия симплициальных гомологий и фундаментальной группы.
Большой вклад внесли [[Александер, Джеймс Уэдделл|Александер]], [[Веблен, Освальд|Веблен]], [[Лефшец, Соломон|Лефшец]], [[Уайтхед, Джон Генри Константайн|Уайтхед]], [[Борсук, Кароль|Борсук]], [[Гуревич, Витольд|Гуревич]], [[Стинрод, Норман|Стинрод]], [[Эйленберг, Самуэль|Эйленберг]], [[Серр, Жан-Пьер|Серр]], [[Том, Рене|Том]], [[Атья, Майкл Фрэнсис|Атья]], [[Хирцебрух, Фридрих|Хирцебрух]], [[Ботт, Рауль|Ботт]], [[Адамс, Джон Фрэнк|Адамс]], [[Смейл, Стивен|Смейл]], [[Милнор, Джон|Милнор]], [[Квиллен, Даниель|Квиллен]]; из советских/российских математиков необходимо отметить [[Александров, Павел Сергеевич|П. С. Александрова]], [[Колмогоров, Андрей Николаевич|Колмогорова]], [[Понтрягин, Лев Семёнович|Понтрягина]], [[Люстерник, Лазарь Аронович|Люстерника]], [[Рохлин, Владимир Абрамович|Рохлина]], [[Новиков, Сергей Петрович (математик)|Новикова]], [[Фоменко, Анатолий Тимофеевич|Фоменко]], [[Концевич, Максим Львович|Концевича]], [[Воеводский, Владимир Александрович|Воеводского]], [[Перельман, Григорий Яковлевич|Перельмана]].

== Литература ==
* Васильев В. А. Введение в топологию. — М.: Фазис, 1997
* Вик Дж. У. Теория гомологий. Введение в алгебраическую топологию. — М.: МЦНМО, 2005
* Виро О. Я., Иванов О. А., Харламов В. М., Нецветаев Н. Ю. [http://www.pdmi.ras.ru/~olegviro/topoman/index.html Задачный учебник по топологии] {{Wayback|url=http://www.pdmi.ras.ru/~olegviro/topoman/index.html |date=20120219000132 }}
* Дольд А. Лекции по алгебраической топологии. — М.: Мир, 1976
* Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы и приложения. — М.: Наука, 1979
* Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы теории гомологий. — М.: Наука, 1984
* Зейферт Г., Трельфалль В. Топология. — Ижевск: РХД, 2001
* Коснёвски Ч. Начальный курс алгебраической топологии. — М.: Мир, 1983
* Лефшец С. Алгебраическая топология. — М.: ИЛ, 1949
* Новиков П. С. Топология. — 2 изд., испр. и доп. — Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002
* [[Прасолов, Виктор Васильевич|Прасолов В. В.]] Элементы теории гомологий. — М.: [[Московский центр непрерывного математического образования|МЦНМО]],2006
* Свитцер Р. М. Алгебраическая топология — гомотопии и гомологии. — М.: Наука, 1985
* Спеньер Э. Алгебраическая топология. — М.: Мир, 1971
* Стинрод Н., Эйленберг С. Основания алгебраической топологии. — М.: Физматгиз, 1958
* Фоменко А. Т., Фукс Д. Б. Курс гомотопической топологии. — М.: Наука, 1989
* Хатчер А., Алгебраическая топология — М.: МЦМНО, 2011. (Оригинал: Hatcher A. [http://pi.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html Algebraic Topology] {{Wayback|url=http://pi.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html |date=20180519001501 }})

{{перевести|en|Algebraic topology}}
{{rq|
{{оформить литературу|дата=2013-08-16}}
{{нет сносок|дата=2013-08-16}}
}}

{{Топология|expanded}}
{{Разделы математики|collapsed}}
{{вс}}

[[Категория:Алгебраическая топология]]

Алгебраическая топология - История изменений

imported>Sldst-bot: Замена параметров ш:rq на вложенные шаблоны с датами установки: isbn → ш:оформить литературу (2013-08-16), refless → ш:нет сносок (2013-08-16)