imported>Bezik: отклонены последние 2 изменения от Don Stroud: на этой иллюстрации не всё А. с.

2025-05-19T09:45:27Z

отклонены последние 2 изменения от Don Stroud: на этой иллюстрации не всё А. с.

Новая страница

'''Алгебраическая система''' в [[Универсальная алгебра|универсальной алгебре]] — непустое [[множество]] <math>G</math> (''носитель'') с заданным на нём набором [[Операция (математика)|операций]] и [[Отношение (теория множеств)|отношений]] ([[Сигнатура (математическая логика)|сигнатурой]]). Алгебраическая система с пустым множеством отношений называется [[Алгебра (универсальная алгебра)|алгеброй]], а система с пустым множеством операций — [[Теория моделей|моделью]].

<math>n</math>-арная операция на <math>G</math> — это [[Функция (математика)|отображение]] [[Прямое произведение|прямого произведения]] <math>n</math> экземпляров множества в само множество <math>G^n \to G</math>. По определению, нульарная операция — это просто выделенный элемент множества. Чаще всего рассматриваются [[унарная операция|унарные]] и [[бинарная операция|бинарные]] операции, поскольку с ними легче работать, но в связи с нуждами [[Топология|топологии]], [[Алгебра|алгебры]], [[Комбинаторика|комбинаторики]] постепенно накапливается техника работы с операциями большей [[арность|арности]], здесь в качестве примера можно привести теорию [[Операда|операд]] (клонов полилинейных операций) и алгебр над ними ([[Мультиоператорная алгебра|мультиоператорных алгебр]]).

Понятие возникло из наблюдений за общностью конструкций, характерных для различных [[общая алгебра|общеалгебраических]] структур, таких как [[Группа (алгебра)|группы]], [[Кольцо (математика)|кольца]], [[Решётка (алгебра)|решётки]]; в частности, таковы конструкции [[подсистема (универсальная алгебра)|подсистемы]] (обобщающей понятия [[подгруппа|подгруппы]], [[подкольцо|подкольца]], [[подрешётка|подрешётки]] соответственно), [[гомоморфизм]]а, [[изоморфизм]]а, [[Факторсистема|факторсистемы]] (обобщающей соответственно конструкции [[Факторгруппа|факторгруппы]], [[Факторкольцо|факторкольца]], [[факторрешётка|факторрешётки]]). Эта общность изучается в самостоятельном разделе [[Общая алгебра|общей алгебры]] — [[универсальная алгебра|универсальной алгебре]], при этом получен ряд содержательных результатов, характерных для любых алгебраических систем, например, такова [[теорема о гомоморфизме]], которая в случае алгебраической системы без заданных отношений — [[Алгебра (универсальная алгебра)|алгебры]] — уточняется до [[теоремы об изоморфизме|теорем об изоморфизме]], известных ранее из [[Теория групп|теории групп]] и [[Теория колец|теории колец]].

В математике с той или иной степенью строгости также используется понятие «[[Алгебраическая структура|алгебраической структуры]]». В частности, у [[Бурбаки]] оно формализовано как множество, наделённое операциями; при этом множество, наделённое отношениями (наличие которых возможно для алгебраической системы), уже рассматривается как математическая структура другого рода — [[структура порядка]]. Однако и не все алгебраические структуры описываются алгебраическими системами без дополнительных конструкций, в качестве примера таковых можно упомянуть [[Коалгебра|коалгебры]], [[Биалгебра|биалгебры]], [[Алгебра Хопфа|алгебры Хопфа]] и [[Комодуль|комодули]] над ними; кроме того, даже для определения таких классических структур, как [[Модуль над кольцом|модуля над кольцом]] или [[Алгебра над полем|алгебры над полем]], в универсальной алгебре используются такие искусственные конструкции, как определение для каждого элемента кольца (поля) унарной операции умножения на этот элемент.

== Основные классы алгебраических систем ==
* [[Множество]] можно считать вырожденной алгебраической системой с пустым набором операций и отношений<ref name="Kurosh">Курош А. Г. Общая алгебра. — М.: Наука, 1974. С.15</ref>.

=== Группоиды, полугруппы, группы ===
* [[Магма (алгебра)|Группоид]] — множество с одной бинарной операцией <math>\cdot: G\times G \to G</math>, обычно называемой [[умножение]]м.
* [[Правая квазигруппа]] — группоид, в котором возможно правое деление, то есть уравнение <math>x \cdot a = b</math> имеет единственное решение для любых <math>a</math> и <math>b</math>.
* [[Квазигруппа (математика)|Квазигруппа]] — одновременно правая и левая квазигруппа.
* [[Лупа (алгебра)|Лупа]] — квазигруппа с нейтральным элементом <math>e\in G</math>, таким, что <math>a\cdot e = e \cdot a = a</math>.
* [[Полугруппа]] — группоид, в котором умножение [[Ассоциативность (математика)|ассоциативно]]: <math>a\cdot(b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c</math>.
* [[Моноид]] — полугруппа с нейтральным элементом.
* [[группа (математика)|Группа]] — моноид, в котором для каждого элемента ''a'' группы можно определить обратный элемент ''a''<sup>−1</sup>, такой, что <math>a \cdot a^{-1} = a^{-1} \cdot a = e</math>.
* [[Абелева группа]] — группа, в которой операция [[коммутативность|коммутативна]], то есть <math>a\cdot b = b \cdot a</math>. Операцию в абелевой группе часто называют сложением ('+').

=== Кольца ===
* [[Кольцо (алгебра)|Кольцо]] — структура с двумя бинарными операциями (абелева группа по сложению с заданной второй ассоциативной бинарной операцией — умножением), в которой выполняется закон [[дистрибутивность|дистрибутивности]]: <math> a\cdot (b+c) = a\cdot b + a\cdot c,\quad (a+b)\cdot c = a\cdot c + b\cdot c</math>.
* [[Коммутативное кольцо]] — кольцо с коммутативным умножением.
* [[Целостное кольцо]] — кольцо, в котором произведение двух ненулевых элементов не равно нулю.

* [[Тело (алгебра)|Тело]] — кольцо, в котором ненулевые элементы образуют группу по умножению.
* [[Поле (алгебра)|Поле]] — коммутативное кольцо, являющееся телом.

* [[Полукольцо]] — похоже на кольцо, но без обратимости сложения.
* [[Почтикольцо]] — также обобщение кольца, отличающееся от обычного кольца отсутствием требования коммутативности сложения и отсутствием требования дистрибутивности умножения по сложению (левой или правой)

=== Алгебры ===
* [[Алгебра (алгебраическая система)|Алгебра]] — [[линейное пространство]] с [[билинейное отображение|билинейной]] [[дистрибутивность|дистрибутивной]] операцией умножения, иначе говоря, кольцо с согласованной структурой [[Линейное пространство|линейного пространства]]
* [[Ассоциативная алгебра]] — алгебра с ассоциативным умножением
* [[Алгебра термов]]
* Коммутативная алгебра
* [[Градуированная алгебра]]
* [[Алгебра Ли]] — алгебра с [[антикоммутативность|антикоммутативным]] умножением (обычно обозначаемым <math>[a,b]</math>), удовлетворяющим [[тождество Якоби|тождеству Якоби]] <math>[a,[b,c]]+[b,[c,a]]+[c,[a,b]]=0</math>
* [[Алгебра Лейбница]] — алгебра с умножением (обычно обозначаемым <math>[a,b]</math>), удовлетворяющим [[тождество Якоби|тождеству Якоби]] <math>[a,[b,c]]+[b,[c,a]]+[c,[a,b]]=0</math>
* [[Алгебра Йордана]] — коммутативная алгебра с [[Тождество (математика)|тождеством]] слабой ассоциативности: <math>x^2(yx)=(x^2y)x</math>
* [[Алгебра некоммутативная йорданова]] — некоммутативная алгебра с [[Тождество (математика)|тождеством]] слабой ассоциативности: <math>x^2(yx)=(x^2y)x</math> и [[Тождество (математика)|тождеством]] эластичности: <math>x(yx)=(xy)x</math>
* [[Альтернативная алгебра]] — алгебра с [[Тождество (математика)|тождествами]] <math>x^2y=x(xy), \quad yx^2=(yx)x</math>
* [[Алгебра Мальцева]] — [[антикоммутативность|антикоммутативная]] алгебра с [[Тождество (математика)|тождеством]]:
*: <math>(xy)(xz)+(y(xz))x+((xz)x)y=((xy)z)x+((yz)x)x+((zx)y)x</math>
* [[Коммутантно-ассоциативная алгебра]]
* [[Операда|Алгебра над операдой]] — один из наиболее общих видов алгебраических систем. Здесь сама [[операда]] играет роль сигнатуры алгебры.

=== Решётки ===
* [[Решётка (теория множеств)|Решётка]] — структура с двумя коммутативными, ассоциативными, [[идемпотентность|идемпотентными]] операциями, удовлетворяющими [[закон поглощения|закону поглощения]].
* [[Булева алгебра]].

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
* {{Книга:Общая алгебра|6}}
* {{книга
|автор = [[Кон, Пол Мориц|Кон П.]]
|заглавие = Универсальная алгебра
|ссылка =
|ответственный =
|место = М.
|издательство = [[Мир (издательство)|Мир]]
|год = 1969
|том =
|страниц = 351
|страницы =
|isbn =
|ref = Кон
}}
* {{книга
|автор = [[Мальцев, Анатолий Иванович|Мальцев А. И.]]
|заглавие = Алгебраические системы
|место = М.
|издательство = [[Наука (издательство)|Наука]]
|год = 1970
|страниц = 392
|тираж = 17500
|ref = Мальцев
}}
__NOTOC__
[[Категория:Универсальная алгебра]]

Алгебраическая система - История изменений

imported>Bezik: отклонены последние 2 изменения от Don Stroud: на этой иллюстрации не всё А. с.