imported>Sldst-bot: Замена ш:rq с единственным параметром img на ш:нет иллюстрации (2023-02-10)

2025-05-12T03:08:04Z

Замена ш:rq с единственным параметром img на ш:нет иллюстрации (2023-02-10)

Новая страница

'''Аксиомы отделимости''' — наборы дополнительных требований, налагаемых на [[Топологическое пространство|топологические пространства]], позволяющие изучать ограниченные классы топологических пространств со свойствами в той или иной степени близкими к [[метрическое пространство|метрическим пространствам]]. На предположении выполнения аксиом отделимости основано применение такой техники [[Математическое доказательство|математического доказательства]], как [[принцип разделимости]].

==Аксиомы==

Введено множество аксиом отделимости, наиболее широко используемых — шесть, обозначаемые соответственно T0, T1, T2, T3, T3½, T4 (от {{lang-de|Trennungsaxiom}}); кроме того, иногда используются другие аксиомы и их вариации (R0, R1, T2½, T5, T6 и другие).

===T0===
{{Основная статья|Пространство Колмогорова}}
{{Якорь|T0}}T0 (''аксиома [[Колмогоров, Андрей Николаевич|Колмогорова]]''): для любых двух различных точек <math>x</math> и <math>y</math> по крайней мере одна точка должна иметь [[словарь терминов общей топологии#О|окрестность]], не содержащую вторую точку.

===T1===
{{Якорь|T1}}T1 (''аксиома [[Тихонов, Андрей Николаевич|Тихонова]]''): для любых двух различных точек <math>x</math> и <math>y</math> должна существовать окрестность точки <math>x</math>, не содержащая точку <math>y</math>, и окрестность точки <math>y</math>, не содержащая точку <math>x</math>. Эквивалентное условие: все одноточечные множества замкнуты.

===T2===
{{Основная статья|Хаусдорфово пространство}}
{{Якорь|T2}}T2 (''аксиома [[Хаусдорф, Феликс|Хаусдорфа]]''): для любых двух различных точек <math>x</math> и <math>y</math> должны найтись непересекающиеся окрестности <math>U(x)</math> и <math>V(y)</math>.

===T3===
{{Якорь|T3}}T3: Для любого замкнутого множества и не содержащейся в нём точки существуют их непересекающиеся окрестности<ref name=":0">Виро, Иванов, Харламов, Нецветаев, с.105</ref><ref name=":1">математическая энциклопедия</ref>. Эквивалентное условие: для любой точки <math>x</math> и её окрестности <math>U</math> существует окрестность <math>V</math>, такая, что <math>x\in V\subset\bar{V}\subset U</math>. Иногда в определение аксиомы отделимости T3 включают требования аксиомы отделимости T1.<ref>Энгелькинг, с.71</ref><ref name=":2">Келли, с.154</ref> Также иногда в определении регулярного пространства не включается требование аксиомы T1<ref name=":1" /><ref name=":2" />. [[Регулярное пространство]] — пространство, удовлетворяющие аксиомам T1 и T3.

===T3½===
{{Якорь|T3.5}}T3½: для любого замкнутого множества <math>F</math> и не содержащейся в нём точки <math>a</math> существует непрерывная (в данной топологии) числовая функция <math>f(x)</math>, заданная на этом пространстве, принимающая значения от <math>0</math> до <math>1</math> на всем пространстве, причем <math>f(a)=0</math> и <math>f(x)=1</math> для всех <math>x</math>, принадлежащих <math>F</math>. Пространства, удовлетворяющие аксиомам T1 и T3½ называются [[вполне регулярное пространство|вполне регулярными пространствами]] или тихоновскими пространствами; при этом иногда выполнение T1 включают в определение T3½<ref>Энгелькинг, с.73</ref>, а в определении вполне регулярного пространства не включают требование аксиомы T1 (тогда в определение тихоновского пространства она включается)<ref name=":1" />.

===T4===
{{Якорь|T4}}T4: для любых двух замкнутых непересекающихся множеств существуют их непересекающиеся окрестности<ref name=":0" /><ref name=":1" />. Эквивалентное условие: для любого замкнутого множества <math>F</math> и его окрестности <math>U</math> существует окрестность <math>V</math>, такая, что <math>F\subset V\subset\bar{V}\subset U</math> (<math>\bar{V}</math> — [[Замыкание (топология)|замыкание]] <math>V</math>). [[Нормальное пространство]] — пространства, удовлетворяющие T1 и T4<ref name=":1" /><ref>Виро, Иванов, Харламов, Нецветаев, с.106</ref>. Иногда в определение T4 включают требование выполнения T1<ref>Энгелькинг, с.74</ref><ref name=":3">Келли, с.153</ref>, а в определении нормального пространства не включается требование T1<ref name=":3" />.

==Свойства==
Некоторые соотношения аксиом отделимости и связанных с ними классов друг с другом:
* <math>T_0</math>, <math>T_1</math> и <math>T_2</math> не следуют из остальных аксиом (если в их определение не включается аксиома <math>T_1</math>);
* из <math>T_1</math> следует <math>T_0</math>;
* регулярные пространства являются хаусдорфовыми;
* вполне регулярные пространства являются регулярными;
* нормальные пространства являются также и вполне регулярными;
* [[Компактное пространство|компактные]] хаусдорфовы пространства являются нормальными.

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
* ''О. Я. Виро, О. А. Иванов, В. М. Харламов и Н. Ю. Нецветаев'' [http://www.pdmi.ras.ru/~olegviro/topoman/index.html Задачный учебник по топологии]
* ''Энгелькинг Р.'' Общая топология: Пер. с англ. — {{М}}: Мир, 1986. — 752 с.
* ''Келли, Дж. Л.'' Общая топология. — М.: Наука, 1968.
* {{книга|заглавие=Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия|часть=Отделимости аксиома|год=1977—1985|автор=И. М. Виноградов|язык=ru}} — статья из математической энциклопедии, автор — В. И. Зайцев

{{нет иллюстрации|дата=2023-02-10}}

[[Категория:Общая топология]]

Аксиомы отделимости - История изменений

imported>Sldst-bot: Замена ш:rq с единственным параметром img на ш:нет иллюстрации (2023-02-10)