imported>LGB: Отмена — это именно НЕФОРМАЛЬНОЕ, интуитивное определение для начального представления, поскольку надо строго определить, что имеется в виду под расстоянием, координатами и точкой числа. Строгое определение даётся ниже.

2026-03-18T18:12:52Z

Отмена — это именно НЕФОРМАЛЬНОЕ, интуитивное определение для начального представления, поскольку надо строго определить, что имеется в виду под расстоянием, координатами и точкой числа. Строгое определение даётся ниже.

Новая страница

[[Файл:Absolute value.svg|right|thumb|220px|<center>График вещественной функции</center>]]
[[Файл:Complex number.svg|thumb|<center>Модуль <math>|z|</math> и другие характеристики комплексного числа <math>z</math></center>]]
'''Абсолю́тная величина́''', или '''мо́дуль''', числа <math>x</math> (в [[Математика|математике]]) — [[неотрицательное число]], которое, [[Неформальная логика|неформально говоря]], обозначает расстояние между [[Начало координат|началом координат]] и <math>x</math>. Обозначается: <math>|x|.</math>

В случае [[Вещественное число|вещественного]] <math>x</math> абсолютная величина есть непрерывная [[кусочно-линейная функция]], определённая следующим образом:
: <math>|x| = \begin{cases} x, & x > 0, \\ 0, & x=0, \\ -x, & \ x < 0.\end{cases} </math>

Обобщением этого понятия является [[модуль комплексного числа|модуль]], или абсолютная величина<ref>{{книга|ссылка=http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Vinogradov_MatEnc_t1.djvu|заглавие=Математическая энциклопедия (в 5 томах)|год=1982|место=М.|издательство=[[Большая Российская энциклопедия (издательство)|Советская Энциклопедия]]|том=1|archivedate=2013-11-13|archiveurl=https://web.archive.org/web/20131113180443/http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Vinogradov_MatEnc_t1.djvu}}</ref>, [[Комплексное число|комплексного числа]] <math>z=x+iy.</math> Это число определяется по формуле:
: <math>|z|=|x+iy|=\sqrt{x^2+y^2}.</math>

== Основные свойства ==
С геометрической точки зрения, модуль [[Вещественное число|вещественного]] или [[Комплексное число|комплексного числа]] есть расстояние между числом и началом координат. В математике широко используется тот факт, что геометрически величина <math>|x_1 - x_2|</math> означает расстояние между точками <math>x_1</math> и <math>x_2</math> и, таким образом, может быть использована как мера близости одной (вещественной или комплексной) величины к другой — например, в [[Предел функции#Предел функции по Коши|определении предела по Коши]] или [[Медиана (статистика)|медианы]]<ref>{{Cite web|url=https://math.stackexchange.com/questions/113336|title=Определение медианы как числа (точки), минимизирующего сумму расстояний до некоторого набора}}</ref>.

=== Вещественные числа ===
* [[Область определения функции|Область определения]]: <math>(- \infty ; + \infty ).</math>
* [[Область значений функции|Область значений]]: <math>[0; + \infty ).</math>
* Функция [[Чётная функция|чётная]].
* Функция [[Дифференцируемая функция|дифференцируема]] всюду, кроме нуля. В точке <math>x = 0</math> функция претерпевает [[Точка излома|излом]].

=== Комплексные числа ===
* Область определения: вся [[комплексная плоскость]].
* Область значений: <math>[0; + \infty ).</math>
* Модуль как комплексная функция не дифференцируема ни в одной точке, поскольку [[условия Коши-Римана]] не выполнены.

== Алгебраические свойства ==
Для любых вещественных чисел <math>a, b </math> имеют место следующие соотношения:
* <math>\ |x| = \sqrt {x^2} = x \cdot \sgn x = {\rm max}\,\{x,\,-x \} </math> ([[sgn]] — функция знака);
* <math>-|a| \leqslant a \leqslant |a|; </math>
* квадрат модуля числа равен квадрату этого числа: <math>|a|^2 = a^2.</math>

Как для вещественных, так и для комплексных <math>a, b </math> имеют место соотношения:
* модуль любого числа равен либо больше нуля: <math>|a| \geqslant 0</math>, причём <math>|a|=0</math> тогда и только тогда, когда <math>a=0;</math>
* модули противоположных чисел равны: <math>|{-a}| = |a|;</math>
* модуль произведения двух (и более) чисел равен произведению их модулей: <math>|ab| = |a||b|;</math>
**в частности, постоянный положительный множитель можно выносить за знак модуля: <math>|ab| = a|b|,\quad a>0;</math>
* модуль частного от деления двух чисел равен частному от деления модулей этих двух чисел: <math>\left| \frac {a} {b} \right| = \frac {|a|} {|b|}</math>, если знаменатель не равен нулю;
* <math>|a+b| \leqslant |a|+|b|</math> (модуль суммы не больше суммы модулей слагаемых; геометрический смысл выражается [[неравенство треугольника|неравенством треугольника]]);
* <math>|a-b| \leqslant |a|+|b|;</math>
* <math>|a|-|b| \leqslant |a+b|; </math>
* <math>|a \pm b| \geqslant \big||a|-|b|\big|; </math>
* <math>|a^k| = |a|^k,</math> если <math>a^k</math> существует.

== История ==
Считают, что термин предложил использовать [[Котс, Роджер|Котс]], ученик [[Ньютон, Исаак|Ньютона]]. [[Лейбниц, Готфрид Вильгельм|Лейбниц]] тоже использовал эту функцию, которую называл ''модулем'' и обозначал: mol. Общепринятое обозначение абсолютной величины введено в 1841 году [[Вейерштрасс, Карл|Вейерштрассом]]. Для комплексных чисел это понятие ввели [[Коши, Огюстен Луи|Коши]] и [[Арган, Жан Робер|Арган]] в начале XIX века.

== В языках программирования ==
Поскольку эта функция вычисляется достаточно просто (а именно с помощью [[Сравнение (программирование)|сравнений]] и [[присваивание|присваиваний]]), то обычно она входит в стандартный список функций во все [[язык программирования|языки программирования]]. Например, в [[Pascal]] есть функция abs(x), а в [[C (язык программирования)|C]] fabs(x) для [[Вещественный тип данных|вещественного типа]]. В программе Wolfram Mathematica: Abs[x].

== Обобщение ==
Понятие абсолютной величины можно ввести в произвольном [[Упорядоченное кольцо|упорядоченном кольце]] или [[Упорядоченное поле|упорядоченном поле]], и свойства её будут аналогичны приведённым выше.

Обобщением понятия модуля можно считать [[Норма (математика)|норму элемента многомерного векторного пространства]], обозначаемую <math>\|x\|</math>. Норма вектора в [[Евклидово пространство|евклидовом пространстве]] иногда тоже называется модулем. По аналогии с модулем разности чисел, норма разности двух векторов является мерой близости между ними. В отличие от модуля числа, норма вектора может определяться различными способами, однако в случае одномерного пространства норма вектора пропорциональна (часто и равна) модулю его единственной координаты.

== См. также ==
* [[Модуль комплексного числа]]
* [[Модуль вектора]]
* [[Норма вектора]]
* [[Нормирование (алгебра)|Нормирование]]
* [[Нормированное векторное пространство]]

== Примечания ==
{{примечания}}

{{Внешние ссылки}}

[[Категория:Элементарные функции]]
[[Категория:Кусочно-линейные функции]]
[[Категория:Комплексные числа]]

Абсолютная величина - История изменений