Просмотр кода страницы Шары Данделена

[[Файл:Dandelin spheres.svg|300пкс|мини|Шары Данделена. Секущая плоскость касается шаров и не параллельна ни одной образующей конуса ([[коническое сечение]] — эллипс с фокусами в местах касания)]]
[[Файл:ConicSection parabola.PNG|300пкс|мини|Шары Данделена. Секущая плоскость касается шара и параллельна одной из образующих конуса (коническое сечение — парабола с фокусом в месте касания)]]
[[Файл:ConicSection hyperbola.PNG|300пкс|мини|Шары Данделена. Секущая плоскость касается шаров (расположенных в двух полостях двойного конуса) и не параллельна ни одной образующей конуса (коническое сечение — гипербола с фокусами в местах касания)]]
[[Файл:Dandelin spheres and ellipse.gif|thumb|right|Положение и форма шаров Данделена при некоторых углах наклона секущей плоскости к оси конуса]]

'''Шары́ Данделе́на''' или '''сфе́ры Данделе́на''' — [[сфера|сферы]], участвующие в геометрическом построении, которое связывает планиметрическое определение [[эллипс]]а, [[гипербола (математика)|гиперболы]] и [[парабола|параболы]] через фокусы с их стереометрическим определением как сечения прямого кругового [[конус]]а.
Предложены [[Данделен, Жерминаль|Данделеном]] в [[1822 год]]у.

== Описание ==
Рассмотрим круговой конус, рассечённый плоскостью, не проходящей через центр конуса.

Рассмотрим две сферы, касающиеся поверхности конуса по окружностям <math>C</math> и <math>C'</math> и касающиеся секущей плоскости в точках <math>F</math> и <math>F'</math>.

Такие сферы называют ''сферами Данделена''.

В случае, когда сечение конуса — эллипс или гипербола, существует две таких сферы, а в случае параболы — только одна.

Если сфер две, то в случае эллипса обе расположены в том же конусе, одна — над секущей плоскостью, вторая — под ней; в случае гиперболы одна сфера расположена в данном конусе, вторая — в конусе, симметричном данному относительно вершины, обе — над секущей плоскостью (или по ту же сторону от секущей плоскости, что и ось конуса, если секущая плоскость параллельна оси конуса, но не содержит её).

Для параболы единственная сфера расположена в том же конусе над секущей плоскостью.

Из соображений симметрии ясно, что центры шаров лежат на оси конуса.

Построим шары Данделена в случае эллипса, в случаях параболы и гиперболы построение во многом сходно. Опустим [[перпендикуляр]] из вершины конуса на секущую плоскость и проведем прямую через его основание и точку пересечения оси конуса и секущей плоскости. Через верхнюю точку пересечения этой прямой и поверхности конуса проведем [[биссектриса|биссектрису]] угла между этой прямой и образующей конуса, проходящей через эту точку. Через эту же точку проведём вторую биссектрису — угла, [[Смежные углы|смежного]] указанному. Эти две биссектрисы пересекут ось конуса в центрах двух шаров Данделена. Осталось провести две сферы с центрами в этих двух точках и радиусом, равным расстоянию от центра до образующей.

== Применение к построению сечений ==
Если взять произвольную точку <math>P</math> на линии пересечения конуса и плоскости <math>e</math> и провести через неё образующую конуса, которая пересекается с окружностями <math>C</math> и <math>C'</math> в точках <math>Q</math> и <math>Q'</math>, то при перемещении точки <math>P</math>, точки <math>Q</math> и <math>Q'</math> будут перемещаться по окружностям <math>C</math> и <math>C'</math> с сохранением расстояния <math>QQ'</math>.

Так как <math>PQ</math> и <math>PF</math> — отрезки двух [[касательная прямая#Касательная к окружности|касательных]] к сфере из одной точки <math>P</math>, то <math>PQ=PF</math> и, аналогично, <math>PQ'=PF'</math>.

Таким образом, точки на линии пересечения
* имеют постоянную сумму <math>PF+PF'=PQ+PQ'=QQ '</math> и значит, что множество возможных точек <math>P</math> — это есть эллипс, а точки <math>F</math> и <math>F'</math> — его фокусы.
* или имеют постоянную разницу <math>PF-PF'=PQ-PQ'=QQ '</math> и значит, что множество возможных точек <math>P</math> — это есть гипербола, а точки <math>F</math> и <math>F'</math> — её фокусы.

Плоскость <math>e</math> пересекает плоскости, в которых лежат окружности <math>C</math> и <math>C'</math> по прямым, являющимся [[директриса конического сечения|директрисами]] конического сечения<ref name="geom">{{книга|автор=[[Погорелов, Алексей Васильевич|Погорелов А. В.]]|заглавие=Геометрия|место=М.|издательство=[[Наука (издательство)|Наука]]|год=1983|страниц=288}}</ref>{{rp|46,47}}. Свойство директрисы таково, что для всех точек, лежащих на линии пересечения конуса и плоскости <math>e</math> отношение расстояний от точки до директрисы и до соответствующего ей фокуса одинаково. Действительно, пусть <math>P</math> лежит на линии пересечения, <math>c</math> — плоскость окружности <math>C</math>. Пусть плоскости <math>c</math> и <math>e</math> пересекаются по прямой <math>l </math>, <math>PH </math> — перпендикуляр из <math>P</math> на <math>l </math>, <math>PK</math> — перпендикуляр из <math>P</math> на <math>c</math>. Нетрудно заметить, что <math>\frac{PH}{PK}=\sin\alpha</math>, где <math>\alpha</math> — угол между плоскостями <math>c</math> и <math>e</math>. <math>\frac{PK}{PF}=\frac{PK}{PQ}=\frac{1}{\cos \varphi}</math>, где <math>\varphi</math> — угол между осью конуса и его образующей.

Перемножив два отношения, получим, что <math>\frac{PH}{PF} = \frac{\sin \alpha}{\cos \varphi}</math>, то есть величина, не зависящая от выбора точки <math>P</math>.

Величина <math>\frac{PF}{PH},</math> обратная ей, называется [[эксцентриситет]]ом [[Коническое сечение|коники]]. (Другому фокусу соответствует другая директриса, образуемая пересечением секущей плоскости и плоскости окружности <math>C'</math>.)

В случае, когда секущая плоскость параллельна некоторой образующей, <math>\alpha = 90^\circ - \varphi</math>, откуда <math>\frac{PF}{PH} = \frac{\cos \varphi}{\sin \alpha} = 1</math>, то есть <math>PF = PH</math>.

Это соответствует стандартному определению параболы как геометрического места точек, равноудалённых от заданных точки (фокуса) и прямой (директрисы).

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
* {{статья|автор=Dandelin G.|заглавие=[[s:fr:Mémoire sur l'hyperboloïde de révolution, et sur les hexagones de Pascal et de M. Brianchon|Mémoire sur l’hyperboloïde de révolution, et sur les hexagones de Pascal et de M. Brianchon]]|издание=Nouveaux mémoires de l’Académie Royale des Sciences et Belles-Lettres de Bruxelles|год=1826 |том=III|выпуск=|номер=|страницы=3—16|ссылка=|doi=|arxiv=|bibcode=|язык=fr}}
* {{книга
|автор=Шаль М.
|часть=[[s:Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов/Примечание IV/ДО|О способе построения фокусов и доказательства их свойств на косом конусе]]
|заглавие=[[s:Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов/ДО|Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов]]
|место=М.
|год=1883
}}
* {{книга
|автор=Гильберт Д., Кон-Фоссен С.
|заглавие=Наглядная геометрия
|издание=3-е русск. изд
|место=М.
|издательство=Наука
|год=1981
|часть=Глава 1
}}
* {{книга
|автор=Акопян А. В., Заславский А. А.
|ссылка=http://math.ru/lib/452
|заглавие=Геометрические свойства кривых второго порядка
|место=М.
|издательство=[[МЦНМО]]
|год=2007
|страниц=136
}}

* {{книга
|автор=Делоне Б. Н., Райков Д. А.
|заглавие=Аналитическая геометрия
|место=М., Л.
|издательство=[[Гостехиздат]]
|год=1949
|страниц=516
|часть=том 2
}}
* {{книга
|автор=Веселов А. П., Троицкий Е. В.
|ссылка=http://lib.mexmat.ru/books/13428
|заглавие=Лекции по аналитической геометрии
|место=СПб.
|издательство=Лань
|год=2003
|страниц=160
}}
* {{книга|автор=Протасов В. Ю.|заглавие=Максимумы и минимумы в геометрии|место= М.|издательство=МЦНМО|гпд=2005|страниц=56|серия=Библиотека «Математическое просвещение», выпуск 31|ссылка=http://www.mccme.ru/free-books/mmmf-lectures/book.31.pdf}}
* Ф. Нилов. {{YouTube|BsyddOm9uv4|Сферы Данделена }} Лекция на Малом мехмате МГУ, 2011 г.

== Ссылки ==
{{commonscat-inline}}

{{Конические сечения}}

[[Категория:Конические сечения]]
[[Категория:Стереометрия]]