Просмотр кода страницы Центр масс

{{Falseredirect|Центровка}}
[[Файл:Ballance gravity center.svg|right|thumb|200px|Центр масс треугольника]]

'''Центр масс''' (тж. '''центр ине́рции''') — [[Точка (геометрия)|геометрическая точка]], положение которой определяется распределением [[Масса|массы]] в [[Физическое тело|теле]], а перемещение характеризует [[Механическое движение|движение]] тела или механической системы как целого<ref name="ФЭ">{{Книга:Физическая энциклопедия|5|автор=[[Тарг, Семён Михайлович|Тарг С. М.]]&nbsp;|статья= Центр инерции (центр масс)|ссылка=http://www.femto.com.ua/articles/part_2/4506.html|страницы=624—625}}</ref>. [[Радиус-вектор]] данной точки задаётся формулой
: <math> \vec r_c = \left(\int \rho(\vec r) dV\right)^{-1} \int \rho(\vec r) \vec r dV,</math>
где <math>\rho(\vec r)</math> — зависящая от координат плотность, а интегрирование осуществляется по объёму тела. Центр масс может оказаться как внутри, так и вне тела.

Использование понятия центра масс, а также системы координат, связанной с центром масс, удобно во многих приложениях [[механика|механики]] и упрощает расчёты. Если на механическую систему не действуют внешние силы, то её центр масс движется с постоянной по величине и направлению скоростью.

[[Чева, Джованни|Джованни Чева]] применял рассмотрение центров масс к решению геометрических задач, в результате были сформулированы [[теорема Менелая|теоремы Менелая]] и [[теорема Чевы|теоремы Чевы]]<ref>G. Ceva,  [https://books.google.com/books?id=AsNlAAAAcAAJ&ots=XZWs_jEwTK&dq De lineis rectis se invicem secantibus, statica constructio] Milan, 1678</ref>.

В случае систем материальных точек и тел в однородном [[Гравитационное поле|гравитационном поле]] центр масс совпадает с центром тяжести, хотя в общем случае это разные понятия.

== Центр масс в классической механике ==
=== Определение ===
Положение центра масс (центра инерции) системы [[материальная точка|материальных точек]] в классической механике определяется следующим образом{{sfn|Журавлёв|2001|с=66}}:

: <math> \vec r_c= \frac{\sum \limits_i m_i \vec r_i}{\sum \limits_i m_i},</math>

где <math> \vec r_c </math> — радиус-вектор центра масс, <math> \vec r_i </math> — радиус-вектор {{math|''i''}}-й точки системы, <math>m_i </math> — [[масса]] {{math|''i''}}-й точки.

Для случая непрерывного распределения масс:

: <math> \vec r_c = {1 \over M} \int \limits_V \rho(\vec r) \vec r dV,</math>

: <math> M = \int \limits_V \rho(\vec r) dV,</math>

где <math>M</math> — суммарная масса системы, <math>V</math> — объём, <math>\rho</math> — плотность.
Центр масс, таким образом, характеризует распределение массы по телу или системе частиц.

Если система состоит не из материальных точек, а из протяжённых тел с массами <math>M_i</math>, то радиус-вектор центра масс такой системы <math>R_c</math> связан с радиус-векторами центров масс тел <math>R_{ci}</math> соотношением<ref name="Фейнман">{{книга|автор=[[Фейнман, Ричард Филлипс|Фейнман Р.]], Лейтон Р., Сэндс М.&nbsp;|часть=Выпуск 2. Пространство. Время. Движение|заглавие=[[Фейнмановские лекции по физике]]|место=М.|издательство=Мир|год=1965|страниц=164}} — С. 68.</ref>:

: <math> \vec R_c= \frac{\sum \limits_i M_i\vec R_{ci}}{\sum \limits_i M_i}.</math>

Действительно, пусть даны несколько систем материальных точек с массами <math>M_1, M_2, ... M_N.</math> Радиус-вектор <math> \vec R_{c_n} </math> <math>n</math>-ной системы:

: <math> \vec R_{c_n}= \frac{\sum \limits_{i_n} m_{i_n} \vec r_{i_n}} {\sum \limits_{i_n} m_{i_n}} = \frac{\sum \limits_{i_n} m_{i_n} \vec r_{i_n}}{M_n},\ n = 1, 2, ... N.</math>

: <math> \vec R_{c} = \frac { \sum \limits_{n} \left( \frac{\sum \limits_{i_n} m_{i_n} \vec r_{i_n}}{M_n} \cdot M_n \right)} {\sum \limits_n M_n}= \frac{\sum \limits_i M_i\vec R_{ci}}{\sum \limits_i M_i}.</math>

При переходе к протяжённым телам с непрерывным распределением плотности в формулах будут интегралы вместо сумм, что даст тот же результат.

Иначе говоря, в случае протяжённых тел справедлива формула, по своей структуре совпадающая с той, что используется для материальных точек.

=== Примеры ===
'''Центры масс плоских однородных фигур'''
* У отрезка — середина.
* У многоугольников :
** У [[параллелограмм]]а — точка пересечения [[Диагональ|диагоналей]].
** У [[треугольник]]а — точка пересечения [[Медиана треугольника|медиан]] (''[[центроид]]'').
* У [[Правильный многоугольник|правильного многоугольника]] — центр [[поворотная симметрия|поворотной симметрии]].
* У полукруга — точка, делящая перпендикулярный радиус в отношении <math>\frac{4}{3\pi}</math> от центра круга.

Координаты центра масс однородной плоской фигуры можно вычислить по формулам (следствие из [[теоремы Паппа — Гульдина|теорем Паппа — Гульдина]]):
:<math>x_s = \frac{V_y}{2\pi S}</math> и <math>y_s = \frac{V_x}{2\pi S}</math>, где <math>V_x, V_y</math> — объём тела, полученного вращением фигуры вокруг соответствующей оси, <math>S</math> — площадь фигуры.

'''Центры масс периметров однородных фигур'''
* Центр масс сторон треугольника находится в [[центр вписанной окружности|центре вписанной окружности]] [[дополнительный треугольник|дополнительного треугольника]] (треугольника с вершинами, расположенными в серединах сторон данного треугольника). Эту точку называют [[центр Шпикера|центром Шпикера]]. Это означает то, что если стороны треугольника сделать из тонкой проволоки одинакового сечения, то центр масс ([[барицентр]]) полученной системы будет совпадать с [[центр вписанной окружности|центром вписанной окружности]] [[дополнительный треугольник|дополнительного треугольника]] или с центром Шпикера.

=== Использование ===
Понятие центра масс широко используется в физике, в частности, в механике.

Движение твёрдого тела можно рассматривать как [[принцип суперпозиции|суперпозицию]] движения центра масс и [[Вращательное движение|вращательного движения]] тела вокруг его центра масс. Центр масс при этом движется так же, как двигалось бы тело с такой же массой, но бесконечно малыми размерами ([[материальная точка]]). Последнее означает, в частности, что для описания этого движения применимы все [[законы Ньютона]]. Во многих случаях можно вообще не учитывать размеры и форму тела и рассматривать только движение его центра масс.

Часто бывает удобно рассматривать движение замкнутой системы в [[система отсчёта|системе отсчёта]], связанной с центром масс. Такая система отсчёта называется [[система центра масс|системой центра масс]] (Ц-система), или [[система центра инерции|системой центра инерции]]. В ней полный [[импульс]] замкнутой системы всегда остаётся равным нулю, что позволяет упростить уравнения её движения.

== Центр масс в релятивистской механике ==
В случае высоких скоростей (порядка [[Скорость света|скорости света]]) (например, в [[Физика элементарных частиц|физике элементарных частиц]]) для описания динамики системы применяется аппарат [[Специальная теория относительности|СТО]]. В релятивистской механике (СТО) понятия '''центра масс''' и '''системы центра масс''' также являются важнейшими понятиями, однако, определение понятия меняется:

: <math> \vec r_c= \frac{\sum \limits_i \vec r_i E_i}{\sum \limits_i E_i},</math>

где <math> \vec r_c </math> — [[радиус-вектор]] центра масс, <math> \vec r_i </math> — радиус-вектор {{math|''i''}}-й частицы системы, <math>E_i </math> — полная [[энергия]] {{math|''i''}}-й частицы.

Данное определение относится только к системам невзаимодействующих частиц. В случае взаимодействующих частиц в определении должны в явном виде учитываться импульс и энергия поля, создаваемого частицами<ref name="ЛЛ">{{Книга:Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М.: Теория поля|1988|авторы}}</ref>.

Во избежание ошибок следует понимать, что в СТО центр масс характеризуется не распределением массы, а распределением энергии. В [[Курс теоретической физики Ландау и Лифшица|курсе теоретической физики Ландау и Лифшиц]]а предпочтение отдаётся термину «центр инерции». В западной литературе по элементарным частицам применяется термин «центр масс» ({{lang-en|center-of-mass}}): оба термина эквивалентны.

Скорость центра масс в релятивистской механике можно найти по формуле:

: <math> \vec v_c= \frac{c^2}{\sum \limits_i E_i} \cdot \sum \limits_i \vec p_i.</math>

== Смежные понятия ==
=== Барицентр ===
[[File:Orbit3.gif|thumb|Движение космических тел вокруг барицентра.]]
Термин «центр масс» синонимичен одному из значений понятия '''барицентр''' (от {{lang-grc|βαρύς}} — тяжёлый + {{lang-grc2|κέντρον}} — центр), однако последнее применяется преимущественно в задачах астрофизики и небесной механики. Под барицентром подразумевается общий для нескольких небесных тел центр масс, вокруг которого эти тела движутся. Примером может выступить совместное движение планеты и звезды (см. рис.) или компонент [[Двойная звезда|двойных звёзд]]. Центр масс (барицентр) в таком случае находится на отрезке длины <math>l</math>, соединяющем тела массами <math>m_1</math> и <math>m_2</math>, на удалении <math>s = m_2l/(m_1+m_2)</math> от тела <math>m_1</math>.

Другое значение слова [[барицентр]] относится, скорее, к геометрии, нежели к физике; в этом значении выражение для координаты барицентра отличается от формулы для центра масс отсутствием плотности (как если бы всегда было <math>\rho=</math>  const).

=== Центр тяжести ===
[[Файл:Центр тяжести.webm|thumb|Центр тяжести (в данном случае = центр масс), демонстрация]]
{{Значения|Центр тяжести (значения)}}
Центр масс тела не следует путать с центром тяжести.

'''Центром тяжести''' механической системы называется точка, относительно которой суммарный [[Момент силы|момент сил]] [[Сила тяжести|тяжести]], действующих на систему, равен нулю. Например, в системе, состоящей из двух одинаковых масс, соединённых жёстким стержнем, помещённой в неоднородное [[гравитационное поле]] (например, планеты), центр масс будет находиться в середине стержня, в то время как центр тяжести системы будет смещён к тому концу стержня, который находится ближе к планете: [[вес]] {{math|''P {{=}} m·g''}} зависит от ускорения свободного падения {{math|''g''}}, которое уменьшается с высотой.

В однородном гравитационном поле центр тяжести всегда совпадает с центром масс. В некосмических задачах гравитационное поле  обычно может считаться постоянным в пределах объёма тела, поэтому на практике эти два центра почти совпадают.

По этой же причине понятия ''центр масс'' и ''центр тяжести'' совпадают при использовании этих терминов в геометрии, статике и тому подобных областях, где применение его по сравнению с физикой можно назвать метафорическим и где неявно предполагается ситуация их эквивалентности (поскольку реального гравитационного поля нет, то и учёт его неоднородности не имеет смысла). В этих применениях традиционно оба термина синонимичны, и нередко второй предпочитается просто в силу того, что он более старый.

== См. также ==
* [[Классическая механика]]
* [[Теоретическая механика]]
* [[Теорема о движении центра масс системы]]
* [[Неваляшка]]
*[[Барицентр]]
*[[Центроид треугольника]]

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
* {{ВТ-ЭСБЕ|Центр, в физике|[[Бобылёв, Дмитрий Константинович|Бобылёв Д. К.]]}}
* {{книга|автор=[[Журавлёв, Виктор Филиппович|Журавлёв В. Ф.]]&nbsp;|заглавие=Основы теоретической механики. 2-е изд|место=М.|издательство=Физматлит|год=2001|страниц=320|isbn=5-94052-041-3|ref=Журавлёв}}.

[[Категория:Аффинная геометрия]]
[[Категория:Масса]]
[[Категория:Классическая механика]]