Просмотр кода страницы Функциональный анализ

{{значения термина|Анализ}}
{{Комплексная наука}}
'''Функциона́льный ана́лиз''' — раздел [[анализ (раздел математики)|анализа]], в котором изучаются бесконечномерные [[Топологическое векторное пространство|топологические векторные пространства]] и их отображения.
Наиболее важными примерами таких пространств являются пространства функций<ref>На самом деле, любое линейное пространство, в том числе и конечномерное, может быть реализовано как пространство функций. Сделать это можно несколькими способами. Например, линейное пространство линейно изоморфно множеству функций на базисе Гамеля этого пространства (или любого равномощного ему множества), отличных от нуля лишь на конечном числе точек. Другой вариант: вложим линейное пространство V в его второе алгебраически сопряженное, то есть в пространство всех линейных функционалов над пространством всех линейных функционалов над V.</ref> (отсюда и произошло название «функциональный анализ»<ref>{{Статья|автор=Линник, Анна Борисовна, Тимченко, Галина Николаевна|заглавие=История развития функционального анализа|ссылка=http://repository.kpi.kharkov.ua/handle/KhPI-Press/14103|язык=ru|издание=Вестник Нац. техн. ун-та "ХПИ"|тип=сб. науч. тр.|место=Харьков|год=2011|месяц=|число=|том=|номер=20|страницы=79|issn=|archivedate=2018-05-12|archiveurl=https://web.archive.org/web/20180512152607/http://repository.kpi.kharkov.ua/handle/KhPI-Press/14103}}</ref>).

В различных источниках в качестве разделов функционального анализа рассматриваются [[теория меры]] и [[интеграл]]а, [[Теория функций вещественной переменной|теория функций]], [[теория операторов]], дифференциальное исчисление на бесконечномерных пространствах. Во второй половине XX века функциональный анализ пополнился целым рядом более специальных разделов, построенных на базе классических.

Функциональный анализ находит применение во многих точных науках; многие важнейшие теоретические конструкции описаны языком функционального анализа. В частности, в начале XXI века функциональный анализ широко применяется в [[Дифференциальное уравнение|теории дифференциальных уравнений]], математической физике, теоретической физике (в том числе, [[квантовая механика|квантовой механике]], [[теория струн|теории струн]]), [[Теория управления|теории управления]] и [[Оптимизация (математика)|оптимизации]], [[Теория вероятностей|теории вероятностей]], [[Математическая статистика|математической статистике]], [[Случайный процесс|теории случайных процессов]] и других областях. Теория [[Преобразование Фурье|преобразования Фурье]], используемая во многих областях науки и техники (например, в теории обработки изображений), также может рассматриваться как часть функционального анализа.

== Некоторые понятия функционального анализа ==
Например — [[пространство непрерывных функций|пространства непрерывных функций]], пространства интегрируемых функций.
Важную роль играют такие понятия, как [[Мера множества|мера]], [[Метрическое пространство|метрика]], [[Норма (математика)|норма]], [[скалярное произведение]].
Для рассмотрения отображений пространств вводятся такие термины, как «[[оператор (математика)|оператор]]» и «[[функционал]]».

== История ==
Развитие функционального анализа связано с изучением преобразования Фурье, дифференциальных и [[Интегральное уравнение|интегральных уравнений]]. Большой вклад в развитие и становление функционального анализа внёс польский математик [[Банах, Стефан|Стефан Банах]].

Изучение представления функций с помощью преобразования Фурье было привлекательно, к примеру, потому, что для определённых классов функций можно континуальный набор точек (значения функции) охарактеризовать счётным набором значений (набором коэффициентов).

Методы функционального анализа быстро приобрели популярность в различных областях математики и физики в качестве мощного инструмента. Значительную роль при этом сыграла теория [[Линейный оператор|линейных операторов]]:
{{цитата|автор=[[Костюченко, Анатолий Гордеевич|Костюченко А. Г.]], предисловие редактора перевода к книге <ref>{{книга|автор=Данфорд Н., Шварц Дж.|заглавие=Линейные операторы|том=1.Общая теория|место=[[Москва|М.]]|издательство=[[Иностранная литература (издательство)|ИЛ]]|год=[[1962 год|1962]]|страницы=5—6}}</ref> 1962 года|Функциональный анализ за последние два десятилетия настолько разросся, настолько широко и глубоко проник почти во все области математики, что сейчас даже трудно определить самый предмет этой дисциплины. Однако в функциональном анализе есть несколько больших «традиционных» направлений, которые и поныне в значительной степени определяют его лицо. К их числу принадлежит и [[теория линейных операторов]], которую иногда называют становым хребтом функционального анализа.

Именно через теорию операторов функциональный анализ столкнулся с [[Квантовая механика|квантовой механикой]], дифференциальными уравнениями, теорией вероятности, а также рядом прикладных дисциплин.
}}

В конце 90-x годов XX в. в копилку функционального анализа добавилась тема, посвящённая [[вейвлет]]-преобразованиям. Эта тема пришла из практики как попытка построений новых базисов функциональных пространств, обладающих дополнительными свойствами, к примеру, хорошей скоростью сходимости приближений. Вклад в развитие внесла [[Добеши, Ингрид|И. Добеши]].

== Ключевые результаты ==
* [[Принцип равномерной ограниченности]] применимый к набору операторов с точной границей.
* Принцип открытости отображения. Как её следствия — [[теорема Банаха об обратном операторе|теорема Банаха]] об ограниченности линейного оператора, обратного [[биекция|биективному]] линейному ограниченному оператору, [[теорема о замкнутом графике]].
* [[Теорема Хана — Банаха]] о расширении функционала с подпространства на полное пространство, расширенное с сохранением нормы. Суть нетривиальный смысл в сопряжённых пространствах.
* Одна из [[Спектральная теорема|спектральных теорем]] (которых в действительности больше чем одна), дающая интегральную формулу для нормального оператора в [[Гильбертово пространство|Гильбертовом пространстве]]. Это теорема центральной важности для математического обоснования [[квантовая механика|квантовой механики]].
* [[Теорема Гельфанда — Наймарка]]
* [[Теорема представлений Рисса|Теорема Рисса — Фреше]]

== Направления исследований ==
Функциональный анализ в его современном состоянии включает следующие ветви:
* ''Мягкий анализ''. Аппроксимация для анализа, основанного на топологических группах, топологических кольцах и топологических векторных пространствах.
* ''Геометрия банаховых пространств''.
* ''Некоммутативная геометрия''. Разработана [[Конн, Ален|Аленом Конном]], частично построена на аппроксимации Джорджа Маки (George Mackey) в эргодической теории.
* ''Теория изображений''. Связана с квантовой механикой.
* ''Квантовый функциональный анализ''. Исследование пространств операторов вместо пространств функций.
* ''Нелинейный функциональный анализ''. Исследование нелинейных задач, бифуркаций, устойчивости гладких отображений, деформаций особенностей и др. в рамках функционального анализа.

== См. также ==
* [[Операторная алгебра]]
* [[Векторное исчисление]]

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
* ''[[Стефан Банах|Банах С.]]'' Теория линейных операций. Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. ISBN 5-93972-031-5.
* ''Березанский Ю. М., Ус Г. Ф., Шефтель З. Г.'' Функциональный анализ. Курс лекций. Киев. Высшая школа. 1990. 600 с.
* ''[[Богачёв, Владимир Игоревич|Богачёв В. И.]], [[Смолянов, Олег Георгиевич|Смолянов О. Г.]]'' Действительный и функциональный анализ. Университетский курс. НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», Институт компьютерных исследований, 2009. — 724 с. ISBN 978-5-93972-742-6.
* ''Данфорд Н., Шварц Дж. Т.'' Линейные операторы. Т. I: Общая теория. — М.: ИЛ, 1962.
* ''Данфорд Н., Шварц Дж. Т.'' Линейные операторы. Т. II: Спектральная теория. — М.: Мир, 1966.
* ''Данфорд Н., Шварц Дж. Т.'' Линейные операторы. Т. III: Спектральные операторы. — М.: Мир, 1974.
* ''[[Иосида, Косаку|Иосида К.]]'' Функциональный анализ. Пер. с англ. — М.: Мир, 1967. — 624 с.
* ''[[Канторович, Леонид Витальевич|Канторович Л. В.]], [[Акилов, Глеб Павлович|Акилов Г. П.]]'' Функциональный анализ. М.: Наука, 1984.
* {{книга |заглавие=Элементы теории функций и функционального анализа
  |автор= [[Колмогоров, Андрей Николаевич|Колмогоров А. Н.]], [[Фомин, Сергей Васильевич|Фомин С. В.]]
  |издание      = изд. четвёртое, переработанное |место        = М.
  |издательство = [[Наука (издательство)|Наука]] |год= [[1976 год|1976]] |страниц= 544 }}
* ''[[Люстерник, Лазарь Аронович|Люстерник Л. А.]], [[Соболев, Владимир Иванович (математик)|Соболев В. И.]]'' Элементы функционального анализа, 2-е изд. М.: Наука, 1965. 520 c.
* ''[[Ниренберг, Луис|Ниренберг Л.]]'' Лекции по нелинейному функциональному анализу = Topics in nonlinear functional analysis. — М.: Мир, 1977. — 232 с.
* {{статья |автор= |заглавие=О возникновении и развитии функционального анализа. Сб. статей.
|издание=[[Историко-математические исследования]] |номер=18 |издательство=[[Наука (издательство)|Наука]] |место=М. |год=1973 |страницы=13—103 }}
* ''[[Пугачёв, Владимир Семёнович|Пугачёв В. С.]]'' Лекции по функциональному анализу. М.: Изд-во МАИ, 1996. — 744с.
* ''Рид М., Саймон Б.'' Методы современной математической физики. Том 1. Функциональный анализ. М.: Мир, 1977. 358 c.
* ''[[Рудин, Уолтер|Рудин У.]]'' Функциональный анализ = Functional analysis. — М.: Мир, 1975. — 443 с.
* {{книга |заглавие=Функциональный анализ |автор=[[Треногин, Владилен Александрович|Треногин В. А.]]
  |место= М. |издательство=[[Наука (издательство)|Наука]] |год= [[1980 год|1980]] |страниц=496 }}
* {{книга |заглавие=Функциональный анализ |ответственный= редактор  Крейн С. Г.
  |издание=2-е, переработанное и дополненное |место=М. |издательство = [[Наука (издательство)|Наука]]
  |год=[[1972 год|1972]] |страниц=544 |серия= Справочная математическая библиотека }}
* ''Хелемский A. Я.'' Лекции по функциональному анализу. М.: МЦНМО, 2009. — 304с.
* ''Хелемский A. Я.'' Квантовый функциональный анализ в бескоординатном изложении. М.: МЦНМО, 2004. — 552с.
* ''Хилле Э., Филлипс Р.'' Функциональный анализ и полугруппы. М.: ИЛ, 1962. 830 с.
* Сборник задач по функциональному анализу : учеб.-метод. пос. для студ. мех.-матем. факультета / ''А. П. Гуревич, В. В. Корнев, [[Хромов, Август Петрович|А. П. Хромов]]''; Саратовский ГУ им. Н. Г. Чернышевского. — Саратов : Изд-во СГУ, 2009. — 162 с. : ил.; ISBN 978-5-292-03915-0
* ''[[Брудно, Александр Львович|Брудно А. Л.]]'' Теория функций действительного переменного. — М.: Наука, 1971. — 119 с.
* ''[[Вайнберг, Мордухай Моисеевич|Вайнберг М. М.]]'' Функциональный анализ. — М.: Просвещение, 1979. — 128 с.
* ''[[Леви, Поль|Леви П.]]'' Конкретные проблемы функционального анализа. — М.: Наука, 1967. — 510 с.
* [https://mipt.ru/education/chair/mathematics/upload/fe8/yakovlev_fs-arph0c00ija.pdf Функциональные пространства] : уч. пос. для вузов : рек. Учеб.-метод. советом МФТИ / [[Яковлев, Геннадий Николаевич|Г. Н. Яковлев]] ; Минобр РФ, МФТИ (ГУ). — М. : МФТИ, 2000 .— 136 с. — 500 экз. — ISBN 5-7417-0144-2.
{{вс}}
{{Разделы математики}}

[[Категория:Функциональный анализ|*]]