Просмотр кода страницы Теорема

{{Другие значения|Теорема (значения)}}

[[Файл:Pythagorean Proof (3).PNG|справа|мини|389x389пкс| Теорема [[Теорема Пифагора|Пифагора]] имеет не менее 370 известных доказательств<ref name="Loomis">{{Cite web|url=http://www.eric.ed.gov/PDFS/ED037335.pdf|title=The Pythagorean proposition: its demonstrations analyzed and classified, and bibliography of sources for data of the four kinds of proofs|author=Elisha Scott Loomis|website=[[Education Resources Information Center]]|publisher=[[Institute of Education Sciences]] (IES) of the [[U.S. Department of Education]]|access-date=2010-09-26}}</ref> ]]
'''Теоре́ма''' ({{lang-grc|θεώρημᾰ}}, от {{lang-grc|θεωρέω}} — рассуждаю<ref>{{книга |заглавие=Краткий словарь иностранных слов |издание=7-е изд |страниц=312 |страницы=250 |издательство=[[Русский язык (издательство)|Русский язык]] |место=М. |год=1984 |ref=Кратний словарь иностранных слов}}</ref>) — [[Математика|математическое]] утверждение, истинность которого устанавливается путём [[Математическое доказательство|доказательства]]. Доказательства теорем опираются на ранее доказанные теоремы и общепризнанные утверждения ([[Аксиома|аксиомы]])<ref>{{книга |часть=Теорема |страницы=334—335 |заглавие=Математическая энциклопедия (в 5 томах) |место=М. |страниц=1216 |том=4 |год=1984 |издательство=[[Большая Российская энциклопедия (издательство)|Советская Энциклопедия]]}}</ref>.

[[Прокл Диадох]] в «Комментарии к I книге Начал Евклида» писал, что Зенодот отличает теорему от [[задача|задачи]]: «теорема исследует, каков отличительный признак соответствующей ей материи, а задача — каково некое сущее»<ref>{{Книга|ссылка=https://www.worldcat.org/oclc/905886473|автор=[[Прокл Диадох]].|заглавие=Комментарий к первой книге «Начал» Евклида|ответственный=(перевод А.И. Щетникова)|год=2013|место=Москва|страницы=95|страниц=368 pages|isbn=978-5-91244-063-2}}</ref>.

Теорема является [[Умозаключение|логическим следствием]] аксиом. Доказательство математической теоремы является логическим аргументом для утверждения теоремы, приведённого в соответствии с правилами [[Формальная система|формальной системы]]. Доказательство теоремы часто интерпретируется как обоснование истинности утверждения теоремы. В свете требования, чтобы теоремы были доказаны, концепция теоремы является принципиально ''[[Дедуктивное умозаключение|дедуктивной]]'', в отличие от понятия [[Закон (наука)|научного закона]], который является ''[[эксперимент]]альным''<ref>However, both theorems and scientific law are the result of investigations. See {{Harvard citation no brackets|Heath|1897}} Introduction, The terminology of [[Архимед|Archimedes]], p. clxxxii: «theorem (θεώρημα) from θεωρεῖν to investigate»</ref>.

Многие математические теоремы являются условными утверждениями. В этом случае доказательство выводит заключение из условий, называемых '''гипотезами''' или [[Посылка (логика)|предпосылками]]. В свете интерпретации доказательства как оправдания истины, заключение часто рассматривается как необходимое следствие [[Гипотеза|гипотез]], а именно, что заключение верно в случае, если гипотезы верны, без каких-либо дополнительных предположений. Тем не менее, условия могут интерпретироваться по-разному в некоторых [[Формальная система|дедуктивных системах]], в зависимости от значений, присвоенных правилам вывода и символа условия.

Хотя теоремы могут быть написаны в полностью символической форме, например, с помощью [[Логика высказываний|исчисления высказываний]], они часто выражаются на естественном языке (английском, русском, французском и др.). То же верно и для доказательств, которые часто выражаются в виде логически организованной и чётко сформулированной цепи неформальных аргументов, предназначенных для того, чтобы убедить читателей в истинности формулировки теоремы, из каковой цепи в принципе можно построить формальное символическое доказательство. Такие аргументы, как правило, легче проверить, чем чисто символические, и, на самом деле, многие математики отдают предпочтение доказательству, которое не только демонстрирует справедливость теоремы, но и каким-то образом объясняет, ''почему'' она, очевидно, верна. В некоторых случаях одной картины достаточно для доказательства теоремы.

Поскольку теоремы лежат в основе математики, они также играют центральную роль в её эстетике. Теоремы часто описываются как «тривиальные», «сложные», «глубокие» или даже «красивые». Эти субъективные суждения варьируются не только от человека к человеку, но и со временем: например, когда доказательство упрощено или лучше понято, теорема, которая когда-то была трудной, может стать тривиальной. С другой стороны, глубокая теорема может быть сформулирована просто, но её доказательство может включать в себя удивительные и тонкие связи между различными областями математики. Особенно известным примером такой теоремы является [[Великая теорема Ферма]].

Словосочетание «теорема неверна» неприемлемо, поскольку теорема (той или иной теории) — предложение, имеющее доказательство (в этой теории). Вместо этого употребительнее говорить и писать: "Верно ли это предложение?" или "Является ли теоремой данное предложение?" <ref>{{Статья |автор={{nobr|Тимофеева, И. Л.}} |заглавие=Размышления об обратных теоремах и кванторах |год=2005 |ответственный=гл. ред. А. И. Верченко |издание=Математика в школе |тип=Научно-теоретический и методический журнал |месяц=№ 1-10 |число= |номер=6 |страницы=64—68}}</ref>.
== Формулировка, структура и классификация теорем ==

=== Виды формулировок ===
Теорема может быть сформирована как в категоричной, так и в условной форме.

Примеры теорем, сформулированные в ''категоричной форме'':

* «Вертикальные углы равны»;
* «Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме»;
* «Логарифм произведения по некоторому основанию равен сумме логарифмов сомножителей по тому же основанию».

Например, «Вертикальные углы равны» — это категоричная формулировка теоремы, а «Если углы являются вертикальными,то они равны» — соответственно условная.

=== Структура теоремы ===
Формулировка всякой теоремы содержит три части:
# Разъяснительная часть — та часть теоремы, в котором указывается, какие значения принимают переменные (множество, на котором рассматривается теорема);
# Условие — посылка в теореме, сформулированной в условной форме: то есть те положения, при которых заключение имеет место;
# Требование (или заключение) — что собственно необходимо доказать, или что об объекте утверждается.

=== Классификация теорем ===
По числу условий (либо заключений):

* простая теорема — теорема, содержащая лишь одно условие и заключение;
* сложная теорема — теорема, содержащая несколько условий или заключений.

По форме:

* теорема сформулирована в условной форме;
* теорема сформулирована в категорической (безусловной) форме;
* теорема сформулирована в критериальной форме<ref>Если теорему можно сформулировать, используя слова: «''необходимо и достаточно''», «''тогда и только тогда, когда''», «''в том и только в том случае, если''», «''если и только если''», то такую теорему называют '''''критерием'''''.</ref>;
По логике построения предложения<ref>{{Книга|автор={{nobr|Тимофеева И. Л.}}|заглавие=Вводный курс математики: учебное пособие для студентов учреждений высш. пед. проф. образования|ответственный=И. Л. Тимофеева, И. Е. Сергеева, Е. В. Лукьянова; под ред. В. Л. Матросова|год=2011|часть=Глава 3. Математические определения и теоремы и их строение (п. 3.3. Обратная теорема)|язык=ru|место=М.|издательство=Издательский центр «Академия»|страницы=134—136|страниц=240|isbn=978-5-7695-7960-8, ББК 22.1я73, УДК 51 (075.8)}}</ref>:

* Данная теорема;
* Обратная теорема;
* Противоположная теорема;
* Контрапозитивная<ref>Это предложение также называют ''обратным к противоположному'' (''обратно-противоположным''), или ''противоположным к обратному'' (''противоположно-обратным'') для данного предложения.</ref> теорема.
По типу формулировки математического утверждения (теоремы и аксиомы):

* теорема о существования;
* теорема существования и единственности.

== Неформальное изложение теорем ==
С точки зрения [[Логика|логики]], многие теоремы имеют форму условного обозначения : ''если A, то B.'' Такая теорема утверждает не истинность ''B'', а только то, что ''B'' является необходимым следствием ''A.'' В этом случае ''A'' называется '''[[Гипотеза|логической гипотезой]]''' теоремы, а ''B'' — '''выводом''' (формально ''A'' и ''B'' называются ''предшествующим'' и ''последующим'' утверждениями). Следует подчеркнуть, что логическая гипотеза и [[Гипотеза (математика)|математическая гипотеза]] — суть разные понятия. Так, утверждение «Если ''n'' — чётное [[натуральное число]], то ''n'' / 2 — натуральное число» — пример теоремы, в которой гипотезой является утверждение «''n'' — чётное натуральное число», а утверждение «''n'' / 2 — также натуральное число» является выводом.

Для доказательства теорема должна быть выражена в виде точного формального утверждения. Тем не менее, для удобства читателя теоремы обычно выражаются не в полностью символической форме, а на естественном языке. Читатель же самостоятельно преобразует неформальное утверждение в формальное.

В математике часто выбирают несколько гипотез и создают [[Теория|теорию]], которая состоит из всех утверждений, логически вытекающих из этих гипотез. Гипотезы, которые составляют основу теории, называются [[аксиома]]ми или [[постулат]]ами. Область математики, изучающая формальные языки, аксиомы и структуру доказательств, называется [[Теория доказательств|теорией доказательств]].

[[Файл:4CT Non-Counterexample 1.svg|справа|обрамить| [[Плоскость|Планарная]] карта раскрашена пятью цветами так, что никакие две соседние области не окрашены в один цвет. Эту же карту можно окрасить с использованием только четырёх цветов. Согласно [[Проблема четырёх красок|теореме о четырёх цветах]], такие раскраски возможны для любой плоской карты, но каждое известное доказательство включает в себя вычислительную часть, слишком объёмную, чтобы быть выполненной без использования компьютера. ]]

Некоторые теоремы «[[Тривиальность|тривиальны]]» в том смысле, что они очевидным образом следуют из определений, аксиом и других теорем и не содержат никаких удивительных идей. С другой стороны, некоторые теоремы могут быть названы «глубокими», потому что их доказательства могут быть длинными и трудными, включать области математики, внешне отличные от формулировки самой теоремы, или демонстрировать удивительные связи между различными областями математики. Теорема может быть простой в изложении и в то же время глубокой. Прекрасным примером глубокой теоремы является [[Великая теорема Ферма]]. В [[Теория чисел|теории чисел]] и в [[Комбинаторика|комбинаторике]], а также в других областях математики имеется множество примеров простых в изложении, но глубоких теорем.

С другой стороны, есть теоремы, имеющие доказательство, которое невозможно записать в простом виде. Наиболее яркими примерами таких теорем являются [[Проблема четырёх красок|теорема о четырёх цветах]] и [[гипотеза Кеплера]]. Обе эти теоремы известны тем, что они сводятся к определённому алгоритму, который затем проверяется компьютерной программой. Первоначально многие математики не принимали эту форму доказательства, но сейчас она стала разрешённой. Математик [[Цейльбергер, Дорон|Дорон Цейлбергер]] даже утверждает, что это, пожалуй, единственные нетривиальные результаты, которые когда-либо были доказаны математиками<ref>{{Cite web|url=http://www.math.rutgers.edu/~zeilberg/Opinion51.html|title=Opinion 51|author=Doron Zeilberger|author-link=Doron Zeilberger|access-date=2019-04-25|archive-date=2016-06-10|archive-url=https://web.archive.org/web/20160610185727/http://www.math.rutgers.edu/~zeilberg/Opinion51.html|url-status=live}}</ref>. Многие математические теоремы могут быть сведены к более простым вычислениям, включая полиномиальные тождества, тригонометрические тождества и гипергеометрические тождества<ref>Петковсек и соавт. 1996.</ref>.

== Обеспечиваемость и теорема ==
Чтобы установить математическое утверждение в качестве теоремы, требуется доказательство, то есть должна быть продемонстрирована линия рассуждений от аксиом в системе (и других уже установленных теорем) к данному утверждению. Однако доказательство обычно рассматривается отдельно от утверждения теоремы. Хотя для одной теоремы может быть известно более одного доказательства, для установления статуса утверждения как теоремы требуется только одно доказательство. Теорема [[Теорема Пифагора|Пифагора]] и закон [[Квадратичный закон взаимности|квадратичной взаимности]] являются претендентами на название теоремы с наибольшим количеством различных доказательств.

== Связь с научными теориями ==
Теоремы в математике и теории в науке принципиально отличаются по своей [[Эпистемология|эпистемологии]] . Научная теория не может быть доказана; её ключевой атрибут заключается в том, что она [[Фальсифицируемость|фальсифицируется]], то есть он делает предсказания о мире природы, которые можно проверить [[эксперимент]]ально. Любое несоответствие между предсказанием и экспериментом демонстрирует неверность научной теории или, по крайней мере, ограничивает её точность или область действия. Математические теоремы, с другой стороны, являются чисто абстрактными формальными утверждениями: доказательство теоремы не может включать эксперименты или другие эмпирические доказательства так же, как эти доказательства используются для поддержки научных теорий.
[[Файл:CollatzFractal.png|справа|мини|250x250пкс| Гипотеза [[Гипотеза Коллатца|Коллатца]] : один из способов проиллюстрировать её сложность — расширить итерацию от натуральных чисел до комплексных чисел. Результатом является [[фрактал]], который (в соответствии с универсальностью) напоминает [[множество Мандельброта]] . ]]
Тем не менее, существует определённая степень эмпиризма и сбора данных, связанных с открытием математических теорем. Устанавливая модель, иногда с использованием мощного компьютера, математики могут иметь представление о том, что доказывать, а в некоторых случаях даже о том, как приступить к выполнению доказательства. Например, [[гипотеза Коллатца]] была проверена для начальных значений примерно до 2,88 × 10 <sup>18</sup> . Гипотеза [[Гипотеза Римана|Римана]] была проверена для первых 10 триллионов нулей [[Дзета-функция Римана|дзета-функции]] . Ни одно из этих утверждений не считается доказанным.

Такие свидетельства не являются доказательством. Например, [[гипотеза Мертенса]] — это некоторое неверное утверждение о натуральных числах, однако явный контпример неизвестен. Известно только, что наименьший контрпример не меньше 10 <sup>14</sup> и не больше 10<sup>4,3 × 10<sup>39</sup></sup>. Найти явный контрпример с помощью [[Полный перебор|полного перебора]] невозможно, однако известно, что он существует.

Слово «теория» также существует в математике для обозначения совокупности математических аксиом, определений и теорем, как, например, [[теория групп]]. Есть также «теоремы» в науке, особенно в физике, и в технике, но они часто имеют утверждения и доказательства, в которых физические предположения и интуиция играют важную роль; физические аксиомы, на которых основаны такие «теоремы», сами по себе фальсифицируемы.

== Терминология ==
Существует ряд различных терминов для математических утверждений; эти термины указывают на роль, которую заявления играют в конкретной теме. Несоответствие между различными терминами иногда довольно произвольно, и со временем некоторые термины стали использоваться чаще других.

* '''[[Аксиома]]''' или '''постулат''' — это утверждение, которое принимается без доказательств и считается фундаментальным для субъекта. Исторически аксиомы считались «само собой разумеющимися», но в последнее время они считаются предположениями, которые характеризуют предмет исследования. В классической геометрии аксиомы являются общими утверждениями, а постулаты — утверждениями о свойствах геометрических объектов<ref>{{книга |заглавие=Plane Geometry |издательство=Ginn & Co. |год=1913 |часть=Art. 46, 47 |язык= |автор=Wentworth, G.; Smith, D.E.}}</ref>. [[Определение (логика)|Определение]] также принимается без доказательств, поскольку оно просто даёт значение слова или фразы в терминах известных понятий.
* Непроверенное утверждение, которое считается верным, называется '''гипотезой'''. Чтобы считаться гипотезой, заявление обычно должно предлагаться публично, и в этот момент к предположению может быть присоединено имя инициатора, как и в случае с [[Проблема Гольдбаха|гипотезой Гольдбаха]] . Другие известные примеры гипотез: [[гипотеза Коллатца]] и [[гипотеза Римана]]. С другой стороны, [[великая теорема Ферма]] всегда была известна под этим именем, даже до того, как она была доказана; её никогда не называли «гипотезой Ферма».
* '''[[Пропозиция|Предложение]]''' — теорема меньшей важности. Этот термин иногда означает утверждение с простым доказательством, в то время как термин '''теорема''' обычно зарезервирован для наиболее важных результатов или результатов с длинными или трудными доказательствами. Некоторые авторы никогда не используют термин «предложение», а другие используют термин «теорема» только для фундаментальных результатов. В классической геометрии этот термин использовался по-разному: в [[Начала (Евклид)|«Началах» Евклида]] (ок. 300 г. до н. э.) все теоремы и геометрические конструкции назывались «суждениями» независимо от их важности.
* '''[[Лемма (математика)|Лемма]]''' — это «вспомогательная теорема», предложение с малой применимостью, которое однако является частью доказательства большей теоремы. В некоторых случаях, когда относительная важность различных теорем становится более ясной, то, что когда-то считалось леммой, начинает считаться теоремой, хотя слово «лемма» остаётся в её названии. В качестве примеров можно привести [[Лемма Гаусса о приводимости многочленов|лемму Гаусса]], [[Лемма Цорна|лемму Цорна]] и {{не переведено|фундаментальная лемма|фундаментальную лемму|en|Fundamental lemma (Langlands program)}}.
* '''[[Следствие (математика)|Следствием]]''' является утверждение, которое следует с небольшим доказательством из другой теоремы или определения<ref>Wentworth & Smith Art. 51</ref>. Также следствием может быть теорема, переформулированная для более ограниченного [[Частный случай (логика)|частного случая]]. Например, теорема о том, что все углы в [[прямоугольник]]е являются [[Прямой угол|прямыми углами,]] имеет следствие того, что все углы в [[квадрат]]е ([[Частный случай (логика)|частный случай]] прямоугольника) являются [[Прямой угол|прямыми углами]] .
* '''[[Обратная теорема|Обратное утверждение]]''' теоремы — это утверждение, образованное переменой того, что в теореме дано, и того, что должно быть доказано. Например, [[теорема о равнобедренном треугольнике]] гласит, что если две стороны треугольника равны, то два угла равны. Поменяв местами то, что дано (две стороны равны), и то, что должно быть доказано (два угла равны), получаем обратное утверждение: если два угла треугольника равны, то и две стороны равны. В этом примере обратное утверждение может быть доказано как ещё одна теорема, но зачастую это не так. Например, обратным утверждением к теореме о том, что два прямых угла равны, является утверждение, что два равных угла должны быть прямыми, но это явно не всегда так<ref>Следует Wentworth & Smith Art. 79</ref>.
* '''[[Обобщение понятий|Обобщением]]''' называется теорема, которая включает ранее доказанную теорему как [[Частный случай (логика)|частный случай]], а значит, как следствие.

Существуют и другие, реже используемые термины, которые обычно присоединяются к доказанным утверждениям, поэтому некоторые теоремы упоминаются под историческими или общепринятыми названиями. Например:

* '''[[Тождество (математика)|Тождество]]''' — это теорема о равенстве между двумя математическими выражениями, которое верно всегда независимо от того, какие значения используются для любых [[Переменная величина|переменных]] или [[Параметр|параметров,]] фигурирующих в выражениях. Примерами являются [[формула Эйлера]] и [[тождество Вандермонда]] .
* '''Правило''' — это теорема, которая устанавливает полезную формулу. Например, [[Теорема Байеса|правило Байеса]] и [[Метод Крамера|правило Крамера]].
* '''[[Закон (наука)|Закон]]''' или '''[[принцип]]''' — это теорема, которая применяется в широком диапазоне обстоятельств. Примерами можно считать [[закон больших чисел]], [[Теорема косинусов|теорему косинусов]], [[Закон нуля или единицы|закон Колмогорова «ноль — один»]], [[принцип Гарнака]], {{не переведено|свойство наименьшей верхней границы|свойство наименьшей верхней границы|en|Least-upper-bound property}} и [[Принцип Дирихле (комбинаторика)|принцип Дирихле]]<ref>Слово ''закон'' также может относиться к аксиоме, [[Rule of inference|правилу вывода]] или, в [[Probability theory|теории]] [[Probability distribution|вероятности, распределению вероятности]] .</ref>.

Несколько известных теорем имеют ещё более своеобразные названия. '''Алгоритм деления''' (см. [[Деление с остатком]]) — это теорема, выражающая результат деления на натуральные числа и более общие кольца. [[Соотношение Безу]] — это теорема, утверждающая, что наибольший общий делитель двух чисел может быть записан как линейная комбинация этих чисел. '''[[Парадокс Банаха — Тарского]]''' — это теорема в [[Мера множества|теории меры,]] которая [[парадокс]]альна в том смысле, что она противоречит распространённым представлениям о объёме в трёхмерном пространстве.

== Раскладка теоремы ==
Теорема и её доказательство обычно выкладываются следующим образом:

: '''Теорема''' и имя человека, который доказал её, и год открытия, доказательства или публикации.
: ''Утверждение теоремы (иногда называемое'' суждением '').''
: '''Доказательство'''
: ''Описание доказательства.''
: ''Конец.''

Конец доказательства может быть обозначен буквами [[Q.E.D.|QED]] (''quod erat demonstrandum'') или одним из надгробных знаков «□» или «∎», означающим «Конец доказательства», введённым [[Халмош, Пол Ричард|Полом Халмосом]] после их использования в журнальных статьях.

Точный стиль зависит от автора или публикации. Многие публикации предоставляют инструкции или [[Макрокоманда|макрокоманды]] для набора текста в [[Стилистический справочник|стилистическом справочнике]].

Обычно теореме предшествуют [[Определение (логика)|определения,]] описывающие точное значение терминов, используемых в теореме. Также изложение теоремы предваряет ряд предложений или лемм, которые затем используются в доказательстве. Однако леммы иногда включаются в доказательство теоремы либо с вложенными доказательствами, либо с их доказательствами, представленными после доказательства теоремы.

Следствия из теоремы представлены либо между теоремой и доказательством, либо непосредственно после доказательства. Иногда следствия имеют свои собственные доказательства, которые объясняют, почему они следуют из теоремы.

== Интересные факты ==
Подсчитано, что ежегодно доказывается более четверти миллиона теорем<ref>Hoffman 1998, p. 204.</ref>.

Хорошо известный [[афоризм]] «[[wikiquote:Paul Erdős|математик — это устройство для превращения кофе в теоремы]]» часто приписывают выдающемуся математику [[Эрдёш, Пал|Палу Эрдёшу]], который был знаменит доказательством большого количества теорем, [[Число Эрдёша|числом Эрдёша]], характеризующем количество его возможных соавторов и огромным количеством выпиваемого им кофе<ref>Hoffman 1998, p. 7.</ref>. Однако это высказывание принадлежит коллеге Эрдёша, [[Реньи, Альфред|Альфреду Реньи]] (хотя Реньи, произнося эту фразу, скорее всего имел в виду Эрдёша).

[[Классификация простых конечных групп]] рассматривается некоторыми математиками как самое длинное доказательство теоремы. Её произвели около 100 авторов в 500 журнальных статьях, занимающих в общей сложности десяток тысяч страниц. Считается, что эти публикации вместе дают полное доказательство, и многие математики надеются сократить и упростить это доказательство<ref>[http://plus.maths.org/issue41/features/elwes/index.html Огромная теорема: классификация конечных простых групп] {{Wayback|url=http://plus.maths.org/issue41/features/elwes/index.html |date=20090202092008 }}, Richard Elwes, Plus Magazine, Issue 41 December 2006.</ref>. Другая теорема этого типа — [[проблема четырёх красок]], чьё компьютерное доказательство слишком длинное, чтобы человек мог его прочитать. Это, безусловно, самое длинное из известных доказательств теоремы, утверждение которых легко понять непрофессионалу.

== См. также ==
{{Навигация|Викисловарь=теорема|Викицитатник=теорема}}
* [[Теория]]
* [[Тезис]]
* [[Вывод (рассуждение)|Вывод]]
* [[Противоположная теорема]]
* [[Обратная теорема]]

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература==
* {{книга|заглавие=The works of Archimedes|издательство=Dover|год=1897|язык=en|ref=Heath|автор=Heath, Sir Thomas Little}}
* {{книга |заглавие={{Нп3|The Man Who Loved Only Numbers}}: The Story of Paul Erdős and the Search for Mathematical Truth |издательство=Hyperion, New York |год=1998 |язык=en |автор=Hoffman, P.}}
* {{книга |заглавие=[[Гёдель, Эшер, Бах|Gödel, Escher, Bach]]: An Eternal Golden Braid |издательство=[[Basic Books]] |год=1979 |язык=de |автор=Hofstadter, Douglas}}
* {{книга |заглавие=Metalogic: An Introduction to the Metatheory of Standard First Order Logic |год=1996 |издательство=[[University of California Press]] |язык=en |автор=Hunter, Geoffrey}}
* {{книга |заглавие=Elementary Logic |ссылка=https://archive.org/details/elementarylogic00mate |издательство=[[Издательство Оксфордского университета|Oxford University Press]] |год=1972 |язык=en |автор=Mates, Benson }}
* {{книга |заглавие=A = B |издательство=A.K. Peters, Wellesley, Massachusetts |год=1996 |язык= |автор=Petkovsek, Marko; Wilf, Herbert}}

{{Внешние ссылки}}

[[Категория:Математические термины]]
[[Категория:Теоремы|*]]
[[Категория:Логическое следствие]]