Просмотр кода страницы Прямоугольная система координат

[[Файл:Cartesian-coordinate-system.svg|thumb|350px|Рисунок 1. Прямоугольная (декартова) система координат. Четыре точки отмечены в системе координат: {{nowrap|(2, 3)}} зелёного цвета, {{nowrap|(−3, 1)}} красного, {{nowrap|(−1.5, −2.5)}} синего, и начало координат {{nowrap|(0, 0)}} пурпурного.]]
'''Прямоуго́льная (дека́ртова) систе́ма координа́т''' — прямолинейная [[система координат]] с взаимно перпендикулярными координатными осями на плоскости или в пространстве. Часто используемая система координат. Просто обобщается для пространств любой размерности.

Связанные термины: '''декартовой''' обычно называют прямоугольную систему координат с одинаковыми масштабами по осям (названную так по имени [[Декарт, Рене|Рене Декарта]]), а '''общей декартовой системой координат''' называют [[Аффинные координаты|аффинную систему координат]] (не обязательно прямоугольную).

== История ==
{{основной источник|<ref>{{Книга |автор={{nobr|Выгодский М. Я.}} |заглавие=Справочник по элементарной математике |ответственный=сост. М. Я. Выгодский, под ред. Н. А. Шармай |год=2015 |часть=Раздел VI. Функции, графики (§ 6. Координаты) |язык=ru |место=М. |издательство=[[АСТ (издательство)|АСТ]]; [[Астрель (издательство)|Астрель]] |страницы=461 |страниц=509 |isbn=978-5-17-084803-4, ББК 2.1я2, УДК 51(03) |isbn2=978-5-271-46916-9 |тираж=1500}}</ref>}}
Впервые прямоугольную систему координат ввёл в науку [[Декарт, Рене|Рене Декарт]] в своей работе «[[Геометрия (Декарт)|Геометрия]]» в [[1637 год в науке|1637 году]]. Он первый применил понятие координат для исследования и решения многих геометрических задач. Поэтому прямоугольную систему координат обычно называют также '''декартова система координат''' (хотя современный термин ''прямоугольная система координат'' не во всём соответствует тому, что вкладывал в это понятие сам Декарт<ref>Например, [[Декарт, Рене|Декарт]] пользовался ''не двумя осями'', а '''одной''', на которой откладывались абсциссы; ординаты определялись как расстояние от точек плоскости до оси абсцисс; эти расстояния Декарт отсчитывал ''по любому заранее выбранному направлению'', а ''не обязательно перпендикулярно''.</ref>.

Как абсциссы, так и ординаты у Декарта были всегда величинами положительными независимо от направления соответствующих отрезков. Различие направлений на осях знаками «+» и «−» было введено позднее его учениками.

Координатный метод описания геометрических объектов положил начало [[Аналитическая геометрия|аналитической геометрии]]. Вклад в развитие координатного метода внёс также [[Ферма, Пьер|Пьер Ферма]], однако его работы, касающиеся координатного метода, были впервые опубликованы уже после его смерти<ref>{{Cite web |url=https://www.britannica.com/topic/analytic-geometry |title=Analytic geometry |last1=Bix |first1=Robert A. |last2=D'Souza |first2=Harry J. |website=Encyclopædia Britannica |lang=en |access-date=2017-08-06 |archive-date=2017-08-06 |archive-url=https://web.archive.org/web/20170806063247/https://www.britannica.com/topic/analytic-geometry |url-status=live}}</ref>.

Системы декартовых координат при дальнейшем развитии науки сыграли важную роль в становлении дифференциального и [[Интегральное исчисление|интегрального исчисления]], развитого [[Ньютон, Исаак|Исааком Ньютоном]] и [[Лейбниц, Готфрид Вильгельм|Готфридом Лейбницем]]<ref>A Tour of the Calculus, David Berlinski.{{уточнить}}</ref>.

Двухкоординатное описание плоскости позднее было обобщено в понятие [[Векторное пространство|векторных пространств]]<ref>{{книга |заглавие=Linear Algebra Done Right |язык=en |издательство=Springer |автор=Sheldon A. |год=2015 |isbn=978-3-319-11079-0 |страницы=1 |doi=10.1007/978-3-319-11080-6 |серия=Undergraduate Texts in Mathematics}}</ref>.

Декарт и Ферма применяли координатный метод только на плоскости. Применение координатного метода в трёхмерном пространстве впервые использовали [[Клеро, Алекси Клод|Клеро]] и [[Эйлер, Леонард|Эйлер]] в XVIII веке.

[[Единичный вектор|Единичные векторы]] были впервые использованы, по-видимому, [[Гамильтон, Уильям Роуэн|Уильямом Гамильтоном]] и [[Максвелл, Джеймс Клерк|Джеймсом Максвеллом]].

== Прямоугольная система координат на плоскости ==
Прямоугольная система координат на плоскости образуется двумя взаимно перпендикулярными осями координат <math>X'X</math> и <math>Y'Y</math>. Оси координат пересекаются в точке <math>O</math>, которая называется [[Начало координат|началом координат]], на каждой оси выбрано положительное направление.
[[Файл:Descartes system 2D.svg|thumb|300px|Рисунок 2. Прямоугольная система координат на плоскости.]]

Положение точки <math>A</math> на плоскости определяется двумя координатами <math>x</math> и <math>y</math>. Координата <math>x</math> равна длине отрезка <math>OB</math>, координата <math>y</math> — длине отрезка <math>OC</math> в выбранных единицах измерения. Отрезки <math>OB</math> и <math>OC</math> определяются линиями, проведёнными из точки <math>A</math> параллельно осям <math>Y'Y</math> и <math>X'X</math> соответственно.

При этом координате <math>x</math> приписывается знак минус, если точка <math>B</math> лежит на луче <math>OX'</math> (а не на луче <math>OX</math>, как на рисунке 2). Координате <math>y</math> приписывается знак минус, если точка <math>C</math> лежит на луче <math>OY'</math>. Таким образом,<math>OX'</math> и <math>OY'</math> являются отрицательными направлениями осей координат (каждая ось координат рассматривается как [[числовая ось]]).

Ось <math>X'X</math> называется осью '''абсцисс''' ({{lang-lat|abscissus}} — букв. ''«отрезанный, отделённый»''<ref name="Словарь">Словарь иностранных слов. — М.: Рус. яз., 1989. — 624 с. ISBN 5-200-00408-8</ref>), а ось <math>Y'Y</math> — осью '''ординат''' ({{lang-lat|ordinatus}} — букв. ''«упорядоченный, установленный в определённом порядке»''<ref name="Словарь"></ref>). Координата <math>x</math> называется '''''{{якорь2|абсцисса|абсциссой}}''''' точки <math>A</math>, координата <math>y</math> — '''''{{якорь2|ордината|ординатой}}''''' точки <math>A</math>.

Символически это записывают так:

: <math>A(x,\;y)</math>,

или:

: <math>A = (x,\;y)</math>,

или указывают принадлежность координат конкретной точке с помощью индекса:

: <math>x_A, x_B</math>,

и т. д.

* В '''''правосторонней''''' системе координат положительное направление осей выбирают так, чтобы при направлении оси <math>Y'Y</math> вверх, ось <math>X'X</math> смотрела направо. Обычно принято пользоваться правосторонними системами координат (если обратное не оговорено или не очевидно — например, из чертежа; иногда по каким-то соображениям бывает удобнее всё же пользоваться ''левосторонней'' системой координат).
* Четыре угла (I, II, III, IV<!-- ; <math>\frac {\pi}{2}</math> это уже нечто пятое!!! -->), образованные осями координат <math>X'X</math> и <math>Y'Y,</math> называются ''координатными углами'', четвертями или {{якорь|Квадрант плоскости}}'''квадрантами <nowiki><</nowiki>плоскости>''' (см. рисунок 2).
** Точки внутри координатного угла I имеют положительные абсциссы и ординаты.
** Точки внутри координатного угла II имеют отрицательные абсциссы и положительные ординаты.
** Точки внутри координатного угла III имеют отрицательные абсциссы и ординаты
** Точки внутри координатного угла IV имеют положительные абсциссы и отрицательные ординаты.

== Прямоугольная система координат в пространстве ==
'''Прямоугольная система координат в пространстве''' (в этом параграфе имеется в виду трёхмерное пространство, о более многомерных пространствах — см. ниже) образуется тремя взаимно перпендикулярными осями координат <math>OX,</math> <math>OY</math> и <math>OZ.</math> Оси координат пересекаются в точке <math>O,</math> которая называется началом координат, на каждой оси выбрано положительное направление, указанное стрелками, и единица измерения отрезков на осях. Единицы измерения обычно (не обязательно<ref>Иногда это просто принципиально невозможно, если по осям откладываются величины разной физической размерности; впрочем, с геометрической точки зрения это замечание не слишком существенно, так как можно тогда считать масштабы по осям равными условно (например масштабы так, чтобы единицы совпадали при изображая на геометрической плоскости).</ref>) одинаковы для всех осей. <math>OX</math> — ось абсцисс, <math>OY</math> — ось ординат, <math>OZ</math> — ось аппликат.

[[Файл:Descartes system 3D.svg|thumb|300px|Рисунок 3. Прямоугольная система координат в пространстве.]]
Положение точки <math>A</math> в пространстве определяется тремя координатами <math>x,</math> <math>y</math> и <math>z.</math> Координата <math>x</math> равна длине отрезка <math>OB,</math> координата <math>y</math> — длине отрезка <math>OC,</math> координата <math>z</math> — длине отрезка <math>OD</math> в выбранных единицах измерения. Отрезки <math>OB,</math> <math>OC</math> и <math>OD</math> определяются плоскостями, проведёнными из точки <math>A</math> параллельно плоскостям <math>OYZ,</math> <math>OXZ</math> и <math>OXY</math> соответственно.

: Координата <math>x</math> называется абсциссой точки <math>A,</math>
: координата <math>y</math> — ординатой точки <math>A,</math>
: координата <math>z</math> — '''''{{якорь2|аппликата|аппликатой}}''''' ({{lang-lat|applicata}} — прилегающая)<ref>Словарь иностранных слов. — М.: «[[Русский язык (издательство)|Русский язык]]», 1989. — 624 с. ISBN 5-200-00408-8</ref> точки <math>A</math>.

Символически это записывают так:

: <math>A(x,\;y,\;z),</math>

или

: <math>A = (x,\;y,\;z),</math>

или привязывают запись координат к конкретной точке с помощью индекса:

: <math>x_A,\;y_A,\;z_A,</math>

и т. п.

Каждая ось рассматривается как [[числовая прямая]], то есть имеет положительное направление, а точкам, лежащим на отрицательном луче приписываются отрицательные значения координаты (расстояние берется со знаком минус). То есть, если бы, например, точка <math>B</math> лежала не как на рисунке 3 — на луче <math>OX,</math> а на его продолжении в обратную сторону от точки <math>O</math> (на отрицательной части оси <math>OX,</math>) то абсцисса <math>x</math> точки <math>A</math> была бы отрицательной (минус расстоянию <math>OB.</math>) Аналогично и для двух других осей.

Все прямоугольные системы координат в трехмерном пространстве делятся на два класса — ''правые'' (также используются термины ''положительные'', ''стандартные'') и ''левые''. Обычно по умолчанию используются правые координатные системы, а при их графическом изображении ещё и располагают их, если можно, в одном из нескольких обычных (традиционных) положений, на рисунке 3 изображена правая координатная система в традиционном расположении. Правую и левую системы координат невозможно поворотами<ref>При зеркальном отражении правая система координат переходит в левую и наоборот, левая — в правую.</ref> совместить так, чтобы совпали соответствующие оси (и их направления). Определить, к какому классу относится какая-либо конкретно взятая система координат, можно, используя [[Правило винта|правило правой руки, правило винта, правило буравчика]] и т. п. (положительное направление осей выбирают так, чтобы при повороте оси <math>OX</math> против часовой стрелки на 90° её положительное направление совпало с положительным направлением оси <math>OY,</math> если этот поворот наблюдать со стороны положительного направления оси <math>OZ</math>).

Любая из восьми областей, на которые пространство делится тремя взаимно перпендикулярными координатными плоскостями, называется [[октант]]ом.

== Прямоугольная система координат в многомерном пространстве ==
Прямоугольная система координат может быть использована и в [[Многомерное пространство|пространстве любой конечной размерности]] аналогично тому, как это делается для трехмерного пространства. Количество координатных осей при этом равно [[Размерность пространства|размерности пространства]] (в этом параграфе будем обозначать её <math>n</math>).

Для обозначения координат обычно<ref>Но не обязательно: вопрос обозначений в конечном итоге определяется конкретным приложением.</ref> применяют не разные буквы, а одну и ту же букву с числовым индексом. Чаще всего это:

: <math>x_1, x_2, x_3,\dots x_n.</math>

Для обозначения произвольной <math>i</math>-й координаты из этого набора используют буквенный индекс:

: <math>x_i,</math>

а нередко обозначение <math>x_i,</math> используют и для обозначения всего набора, подразумевая, что индекс пробегает весь набор значений: <math>i = 1,~2,~3,~\dots~n.</math>

В любой размерности пространства прямоугольные координатные системы делятся на два класса, правые и левые (или положительные и отрицательные). Для многомерных пространств какую-то одну из координатных систем произвольно (условно) называют правой, а остальные оказываются правыми или левыми в зависимости от того, той же они ориентации или нет<ref>Это можно выяснить, исходя из того, можно ли какими-то вращениями (и переносами, если не совпадают начала координат) совместить данную координатную систему с той, ориентация которой правая по определению. Если да, то данная система считается правой, если нет, то левой. Ещё проще технически это выяснить через знак [[Определитель|определителя]] [[Матрица преобразования|матрицы преобразования]] от правого базиса к данному.</ref>.

Обобщение понятий двумерного квадранта и трёхмерного октанта для <math>n</math>-мерного евклидова пространства — [[ортант]] или гипероктант.

== Прямоугольные координаты вектора ==
[[Файл:Descartes system 2D.svg|thumb|300px|Рисунок 4.]]
Для определения прямоугольных ''координат [[Вектор (математика)|вектора]]'' (применимых для представления векторов любой размерности) можно исходить из того, что координаты вектора (направленного отрезка), начало которого находится в начале координат, совпадают с координатами его конца<ref>Конец направленного отрезка — точка; прямоугольные координаты точки рассмотрены в статье выше.</ref>.

* Таким образом, например, координаты <math>(x,~y)</math> на рисунке 4 являются ''координатами вектора'' <math>\vec{OA}.</math>
<!-- Правда, остаётся загадкой, где там вектор ('''отрезок''') и что такое x и y: их на рисунке нету -->

Для векторов (направленных отрезков), начало которых не совпадает с началом координат, прямоугольные координаты можно определить одним из двух способов:
# Вектор можно [[Параллельный перенос|перенести]] так, чтобы его начало совпало с началом координат). Тогда его координаты определяются способом, описанным в начале параграфа: координаты вектора, перенесённого так, что его начало совпадает с началом координат, — это координаты его конца.
# Вместо этого можно просто вычесть из координат конца вектора (направленного отрезка) координаты его начала.

* Для прямоугольных координат понятие координаты вектора совпадает с понятием [[Проекция (геометрия)#Ортогональная проекция на прямую и на направление|ортогональной проекции]] вектора на направление соответствующей координатной оси.

В прямоугольных координатах очень просто записываются все операции над векторами:

Сложение векторов:

: <math>\mathbf a + \mathbf b = (a_1 + b_1, a_2 + b_2, a_3 + b_3, \dots, a_n + b_n),</math>

или:

: <math>(\mathbf a + \mathbf b)_i = a_i + b_i,</math>

Умножение вектора на скаляр:

: <math>c\ \mathbf a = (c\ a_1, c\ a_2, c\ a_3, \dots, c\ a_n),</math>

или:

: <math>(c\ \mathbf a)_i = c\ a_i.</math>

Отсюда вычитание:

: <math>\mathbf a - \mathbf b = (a_1 - b_1, a_2 - b_2, a_3 - b_3, \dots, a_n - b_n),</math>

или:

: <math>(\mathbf a - \mathbf b)_i = a_i - b_i,</math>

и деление на скаляр:

: <math>\frac{\mathbf a}{\lambda} = \Big(\frac{a_1}{\lambda}, \frac{a_2}{\lambda}, \frac{a_3}{\lambda}, \dots, \frac{a_n}{\lambda}\Big),</math>

или:

: <math>\Big(\frac{\mathbf a}{\lambda}\Big)_i = \frac{a_i}{\lambda}.</math>

(Это верно для любой размерности <math>n</math> и даже, наравне с прямоугольными, для косоугольных координат).
* [[Скалярное произведение]] векторов:

: <math>\mathbf a \cdot \mathbf b = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 + \dots + a_n b_n</math>,

или:

: <math>\mathbf a \cdot \mathbf b = \sum\limits_{i=1}^n a_i b_i,</math>
(Это справедливо только в прямоугольных координатах с равным масштабом по всем осям).

* Через скалярное произведение можно вычислить длину вектора:

: <math>|\mathbf a| = \sqrt{\mathbf a\cdot\mathbf a}</math>

: и угол между векторами:

: <math>\angle{(\mathbf a, \mathbf b)} =
\mathrm{arccos}\frac{\mathbf a\cdot\mathbf b}{|\mathbf a|\cdot|\mathbf b|}.</math>

[[Внешнее произведение]] векторов:

: <math>(\mathbf a \and \mathbf b)_{ij} = a_i b_j - a_j b_i,</math>

для любой размерности пространства,
* [[Векторное произведение]] (только для трёхмерного же пространства, на котором оно и определено):

: <math>(\mathbf a \times \mathbf b)_x = a_y b_z - a_z b_y</math>,
: <math>(\mathbf a \times \mathbf b)_y = a_z b_x - a_x b_z</math>,
: <math>(\mathbf a \times \mathbf b)_z = a_x b_y - a_y b_x</math>.

Это позволяет свести все операции над векторами к достаточно простым операциям над числами.

== Орты ==
Прямоугольная система координат<ref>В этом параграфе будем подразумевать обычную декартову систему координат, то есть прямоугольную систему координат с одинаковым масштабом по всем осям; рассмотрение систем координат с разным масштабом по разным осям внесло бы здесь неоправданные формальные усложнения при довольно малом выигрыше содержательном отношении.</ref> (любой размерности) также описывается<ref>Это описание очевидно полностью эквивалентно обычному заданию осей координат, надо только ещё задать начало координат (последнее нередко очевидно по умолчанию).</ref> набором [[Единичный вектор|ортов]] (единичных векторов), сонаправленных с осями координат. Количество ортов равно размерности системы координат и все они перпендикулярны друг другу. Такие орты образуют [[Ортонормированный базис|ортонормированный]] [[базис]], притом<ref>При отказе от условия равномасштабности координатных осей — просто [[ортогональный базис]].</ref>.

В трёхмерном случае такие орты обычно обозначаются:

: <math>\mathbf{i},</math> <math>\mathbf{j}</math> и <math>\mathbf{k},</math>

или

: <math>\mathbf{e}_x,</math> <math>\mathbf{e}_y</math> и <math>\mathbf{e}_z.</math>

Могут также применяться обозначения со стрелками (<math>\vec{i},</math> <math>\vec{j}</math> и <math>\vec{k}</math> или <math>\vec{e}_x,</math> <math>\vec{e}_y</math> и <math>\vec{e}_z</math>) или другие в соответствии с обычным способом обозначения векторов в том или ином [[Полиграфия|полиграфическом]] стиле.

При этом в случае правой системы координат действительны следующие формулы с [[Векторное произведение|векторными произведениями]] ортов:

: <math>[\mathbf{i}\,,\mathbf{j}]=\mathbf{k};</math>
: <math>[\mathbf{j}\,,\mathbf{k}]=\mathbf{i};</math>
: <math>[\mathbf{k}\,,\mathbf{i}]=\mathbf{j}.</math>

Для размерностей пространства более 3, (или для общего случая, когда размерность может быть любой) обычно для ортов применяют вместо этого обозначения с числовыми индексами, достаточно часто<ref>Впрочем, вместо буквы <math>e</math> нередко могут быть использованы и другие буквы. Как правило, это явно оговорено.</ref> это:

: <math>\mathbf{e}_1,~\mathbf{e}_2,~\mathbf{e}_3,~\dots ~\mathbf{e}_n,</math>

где <math>n</math> — размерность пространства.

Вектор любой размерности раскладывается по базису (координаты служат коэффициентами разложения):

: <math>\mathbf a = a_1\mathbf e_1 + a_2\mathbf e_2 + a_3\mathbf e_3 + \dots + a_n\mathbf e_n,</math>

или:

: <math>\mathbf a = \sum\limits_{i=1}^n a_i\mathbf e_i,</math>

а для ортонормированного базиса координаты ещё и очень легко найти через скалярные произведения с ортами:

: <math>a_i = \mathbf a \cdot \mathbf e_i.</math>

== См. также ==
* [[Аффинные координаты]]
* [[Проективные координаты]]

== Примечания ==
{{примечания|2}}

== Ссылки ==
* {{cite web|url=https://www.youtube.com/watch?v=gmfiKFgy5WM&feature=player_detailpage|title=Модель декартовой системы координат|author=Гервидс В. И.|date=2011-03-10|publisher=[[НИЯУ МИФИ]]|format=flash|access-date=2011-05-03}}
{{BC}}
{{Системы координат}}

[[Категория:Аналитическая геометрия]]
[[Категория:Системы координат]]
[[Категория:Появились в 1637 году]]
[[Категория:Рене Декарт]]