Просмотр кода страницы Предел Чандрасекара

'''Преде́л Чандрасека́ра''' — верхний предел массы, при котором [[звезда]] может существовать как [[белый карлик]]. Если масса звезды превышает этот предел, то она становится [[Нейтронная звезда|нейтронной звездой]]. Существование предела было доказано индийским [[астрофизик]]ом [[Субраманьян Чандрасекар|Субраманьяном Чандрасекаром]]. В зависимости от химического состава белого карлика значение предела Чандрасекара варьируется в диапазоне от 1,38 до 1,44 [[Солнечная масса|солнечных масс]].

Строго говоря, предел Чандрасекара — это верхний предел массы холодного невращающегося белого карлика, определяемый условием равенства сил давления [[Вырожденный газ|вырожденного]] [[электрон]]ного газа и гравитации. Значение предела обычно обозначается символом <math>{\mathfrak M}_\text{Ch}</math>.

== Эффекты вырождения в белых карликах ==
[[Файл:Degenetate.Gas.Pressure.vs.Temperature.plot-ru.svg|thumb|Зависимость давления вырожденного газа от температуры. Сохранению состояния вырождения соответствует горизонтальная ветвь]]

Массы белых карликов составляют порядка солнечной, но размеры в сотни раз меньше солнечных (<math>R \leqslant 0{,}01</math>), то есть их плотность чрезвычайно высока, и один кубический сантиметр вещества белого карлика имеет массу во много тонн (<math>\rho \sim 10^5{-}10^9</math> г/см<sup>3</sup>). При таких плотностях [[Электронная оболочка|электронные оболочки]] [[атом]]ов разрушаются и вещество представляет собой [[электрон]]но-[[Атомное ядро|ядерную]] [[Плазма|плазму]], причём её электронная составляющая представляет собой [[Вырожденный газ|вырожденный электронный газ]]. [[Давление]] <math>P</math> такого газа подчиняется следующей зависимости:

: <math>P = K_1 \rho^{5/3},</math>

где <math>K_1</math> — константа, <math>\rho</math> — плотность газа, то есть, в отличие от [[уравнение Клапейрона|уравнения Клапейрона]] ([[Уравнение состояния|уравнения состояния]] [[Идеальный газ|идеального газа]]), ''для вырожденного электронного газа [[температура]] в уравнение состояния не входит'' — его давление, при сохранении состояния вырождения, не зависит от температуры (см. график).

Вышеприведённое уравнение состояния действительно для холодного (нерелятивистского) вырожденного электронного газа. Температура даже в несколько миллионов [[кельвин]]ов мала по сравнению с характерной [[Ферми-энергия|ферми-энергией]] электронов (<math>kT \ll E_\text{F}</math>), поэтому газ всегда остаётся вырожденным даже при значительном росте температуры. С ростом плотности вещества в силу [[Принцип Паули|принципа Паули]] (два электрона не могут находиться в одном квантовом состоянии, то есть в состоянии с одинаковым импульсом и проекцией [[спин]]а) [[энергия]] и [[импульс]] электронов возрастают настолько, что вырожденный электронный газ становится релятивистским. Зависимость давления <math>P</math> релятивистского вырожденного электронного газа от плотности становится другой:

: <math>P = K_2 \rho^{4/3}.</math>

== Качественное рассмотрение ==
[[Файл:WhiteDwarf mass-radius en.svg|thumb|300px|Зависимость масса — радиус для белых карликов. Вертикальная асимптота соответствует пределу Чандрасекара]]

Пусть средняя плотность [[Белый карлик|белого карлика]] <math>\rho \sim M/R^3</math>, где <math>M</math> — масса, а <math>R</math> — радиус белого карлика. Тогда давление <math>P \sim M^{4/3}/R^4</math> и сила давления, противодействующая гравитации и равная перепаду давления по глубине:

: <math>\frac{P}{R} \sim \frac{M^{4/3}}{R^5}.</math>

Гравитационные силы, противодействующие давлению:

: <math>\frac{\rho GM}{R^2} \sim \frac{M^2}{R^5},</math>

то есть, хотя перепад давления и гравитационные силы одинаково зависят от радиуса, но по-разному зависят от массы — как ~<math>M^{4/3}</math> и ~<math>M^2</math> соответственно. Следствием такого соотношения зависимостей является существование некоторого значения массы звезды, при которой они уравновешиваются, и, поскольку гравитационные силы зависят от массы сильнее, чем перепад давления, ''при увеличении массы белого карлика его радиус уменьшается'' (см. график). Другим следствием является то, что если масса превышает некий предел, то звезда [[Гравитационный коллапс|сколлапсирует]], пока вследствие [[Нейтронизация|нейтронизации]] её вещества и роста плотности не наступит вырождение образовавшегося нейтронного газа и не наступит новое равновесие с образованием [[Нейтронная звезда|нейтронной звезды]].

Таким образом, для белых карликов существует верхний предел массы, получивший название предела Чандрасекара.

== Количественное рассмотрение ==
Уравнение состояния <math>P</math> релятивистского вырожденного электронного газа

{{Нумерованная формула|:|<math>P = K\rho^{4/3},</math>|1}}

где

{{Нумерованная формула|:|<math>K = \frac{1}{8} \left(\frac{3}{\pi}\right)^{1/3} \frac{hc}{(m_u\mu_e)^{4/3}} \approx \frac{1{,}244 \cdot 10^{15}}{\mu_e^{4/3}}</math> см<sup>3</sup>/(с<sup>2</sup> г<sup>1/3</sup>).|2}}

Здесь <math>m_u</math> — атомная единица массы, <math>\mu_e</math> — молекулярная масса, приходящаяся на один электрон (число электронов в единице объёма равно <math>\rho/(m_u\mu_e)</math>).

В соответствии со стандартной теорией строения [[Звезда|звёзд]] белый карлик является политропным газовым шаром с гидростатически равновесной сферически-симметричной конфигурацией, внутри которой

: <math>p \sim \rho^{1+\frac{1}{n}}</math> и <math>n = 3;</math>

при этом имеется соотношение между постоянной <math>K</math> и массой <math>\mathfrak M</math> политропного шара:

{{Нумерованная формула|:|<math>K = 0{,}3639 \cdot G{\mathfrak M}^{2/3},</math>|3}}

где 0,3639 — коэффициент, определяемый условием гидростатического равновесия. При подстановке значения <math>K</math> из (2) в (3), предельная масса <math>{\mathfrak M}_{Ch}</math> белого карлика в солнечных массах <math>{\mathfrak M}_\odot</math>:

{{Нумерованная формула|:|<math>{\mathfrak M}_{Ch} = \frac{0{,}1967}{(m_u\mu_e)^2} \left(\frac{hc}{G}\right)^{3/2} = \frac{5{,}83}{\mu_e^2} {\mathfrak M}_\odot.</math>|4}}

Значение предела Чандрасекара <math>{\mathfrak M}_{Ch}</math> слабо зависит от <math>\mu_e</math>: в идеальной политропной модели как <math>\mu_e^{-2}</math>, однако из-за нейтронизации и эффектов общей теории относительности зависимость оказывается ещё слабее.

Расчёты для белых карликов различного химического состава дают значение предела Чандрасекара в диапазоне 1,38—1,44 <math>M_\odot</math>.

== Предел Чандрасекара и сверхновые типа Ia ==
{{main|Сверхновая типа Ia}}
[[Файл:SN1572.Companion.jpg|thumb|Слева — изображение в рентгеновском диапазоне остатков сверхновой [[SN 1572]] типа Ia, наблюдавшейся [[Тихо Браге]] в 1572 году. Справа — фотография в оптическом диапазоне, отмечен бывший компаньон взорвавшегося белого карлика]]

В тесных [[Двойная звезда|двойных системах]] зачастую одним из компонентов является белый карлик. В случае, если его компаньон в процессе эволюции заполняет свою [[полость Роша]], начинается интенсивная [[аккреция]] на белый карлик, в ходе которой им может быть превзойдён предел Чандрасекара, последствием чего является взрыв сверхновой типа Ia. Поскольку такие сверхновые оказываются «калиброванными по массе» пределом Чандрасекара, то их энерговыделение тоже оказывается «калиброванным»: различия в их блеске весьма невелики. Благодаря такой особенности сверхновые типа Ia используются для определения расстояний до удалённых галактик.

В англоязычной литературе для таких объектов с известной абсолютной светимостью устоялся термин {{lang-en2|standard candles}} («стандартные свечи»), другим примером могут служить [[цефеиды]] с известной зависимостью период — светимость.

== См. также ==
* [[Предел Оппенгеймера — Волкова]]

== Литература ==
* {{книга
 | автор         = {{nobr|Зельдович Я. Б.}}, {{nobr|Блинников С. И.}}, {{nobr|Шакура Н. И.}}
 | часть         = 
 | ссылка часть  = 
 | заглавие      = Физические основы строения и эволюции звёзд
 | оригинал      = 
 | ссылка        = http://nature.web.ru/db/msg.html?mid=1159166&uri=index.html
 | викитека      = 
 | ответственный = 
 | издание       = 
 | место         = М.
 | издательство  = 
 | год           = 1981
 | том           = 
 | страницы      = 
 | столбцы       = 
 | страниц       = 
 | серия         = 
 | isbn          = 
 | тираж         = 
 | ref           = Зельдович, Блинников, Шакура
}}
* {{книга|автор={{nobr|Шкловский И. С.}}|заглавие=Звёзды: их рождение, жизнь и смерть|оригинал=|ссылка=https://web.archive.org/web/20051210205202/http://shklovsky-ocr.narod.ru/online/shklovsky.htm|викитека=|издание=|место=М.|издательство=Наука|год=1984|том=|страниц=|серия=|ref=Шкловский|archive-url=https://web.archive.org/web/20051210205202/http://shklovsky-ocr.narod.ru/online/shklovsky.htm|archive-date=2005-12-10}}
* {{книга
 | автор         = {{nobr|Ландау Л. Д.}}, {{nobr|Лифшиц Е. М.}}
 | часть         = Статистическая физика. Ч. I.
 | ссылка часть  = 
 | заглавие      = Теоретическая физика
 | оригинал      = 
 | ссылка        = 
 | викитека      = 
 | ответственный = 
 | издание       = 5-e изд., стереот.
 | место         = М.
 | издательство  = ФИЗМАТЛИТ
 | год           = 2001
 | том           = V
 | страниц       = 616
 | серия         = 
 | isbn          = 5-9221-0054-8
 | тираж         = 
 | ref           = Ландау, Лифшиц, V
}}

== Ссылки ==

* [http://nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/1983/chandrasekhar-lecture.html ''Subramanyan Chandrasekhar''] {{Wayback|url=http://nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/1983/chandrasekhar-lecture.html |date=20090606063452 }}. On Stars, Their Evolution and Their Stability. Nobel Lecture, December 8, 1983 // Nobelprize.org{{ref|en}}
* {{статья
   |автор         = {{nobr|Stergioulas N.}}
   |заглавие      = Rotating Stars in Relativity
   |ссылка        = http://www.livingreviews.org/lrr-2003-3/
   |издание       = Living Reviews in Relativity
   |год           = 2003
   |том           = 6
   |номер         = 3
}}

{{Внешние ссылки}}
{{Черные дыры}}
{{Белый карлик}}

[[Категория:Астрофизика]]
[[Категория:Белые карлики]]
[[Категория:Нейтронные звёзды]]
[[Категория:Релятивистские и гравитационные явления]]
[[Категория:Звёздная эволюция]]
[[Категория:Масса]]