Просмотр кода страницы Правильный икосаэдр

{{redirect|Икосаэдр}}
{{Многогранник
| название = Правильный икосаэдр
| изображение = Icosahedron.svg
| ширина = 
| подпись = 
| вращающаяся модель = Icosahedron.gif
| 3D-модель = 
| тип = [[правильный многогранник]]
| свойства = 
| число граней = 20
| число рёбер = 30
| число вершин = 12
| грани = [[Правильный треугольник|правильные треугольники]]
| конфигурация вершины = 3.3.3.3.3
| вершинная фигура = Icosahedron vertfig.svg
| развёртка = Icosahedron flat.svg
| двойственный многогранник = [[правильный додекаэдр]]
| обозначения = * I
* sT
| символ Шлефли = {3,5}
| символ Витхоффа = 5 {{!}} 2 3
| диаграмма Дынкина = {{CDD|node|5|node|3|node_1}}
| группа симметрии = <math>I_h</math>
| группа вращения = <math>I</math>
| длина ребра = <math>a</math>
| площадь поверхности = <math>5a^2\sqrt3</math>
| объём = <math>\begin{matrix}{5\over12}\end{matrix}(3+\sqrt5)a^3</math>
| двугранный угол = <math>\arccos\left(-\frac{\sqrt 5}{3}\right) \approx 138.19^{\circ}</math>
| телесный угол = <math>2\pi - 5\arcsin\left(\frac{2}{3}\right)</math> <math>\approx 2.63455</math> [[Стерадиан|ср]]
| Икосаэдральный угол = Идентичен=равен углу между стороной /а/ и диагональю удвоенного прямоугольника (a=n; b=2n) ≃ 63.434949°
}}
[[Файл:Вписанный правильный икосаэдр.gif|right|thumb|Икосаэдр и его описанная сфера|280x280пкс]]

[[Файл:Вписанный правильный икосаэдр и четыре плоскости.gif|thumb|right|Правильный икосаэдр, вписанный в сферу. Видно, что его вершины лежат в четырёх параллельных плоскостях, как доказал [[Папп Александрийский]]]]

'''Пра́вильный икоса́эдр''' (от {{lang-grc|εἴκοσι}} «двадцать»; {{lang-grc2|ἕδρον}} «сиденье», «основание») — правильный выпуклый многогранник, '''двадцатигранник'''<ref>{{ВТ-ЭСБЕ|Тело геометрическое|[[Селиванов, Дмитрий Фёдорович|Селиванов Д. Ф.]],}}</ref>, одно из [[Платоновы тела|платоновых тел]]. Каждая из 20 граней представляет собой равносторонний [[треугольник]]. Число ребер равно 30, число вершин — 12.
Икосаэдр имеет 59 [[звёздчатый многогранник|звёздчатых форм]].

== История ==

[[Евклид]] в предложении 16 книги XIII «[[Начала Евклида|Начал]]» занимается построением икосаэдра, получая сначала два правильных пятиугольника, лежащих в двух [[Параллельность плоскостей|параллельных плоскостях]] — из десяти его вершин, и затем — две оставшиеся противоположные друг другу вершины<ref>{{cite web|url=http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookXIII/propXIII16.html|title=Euclid's Elements, Book XIII, Proposition 16|access-date=2014-09-03|archive-date=2014-08-30|archive-url=https://web.archive.org/web/20140830102929/http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookXIII/propXIII16.html|url-status=live}}</ref><ref name="Euclid">{{книга|заглавие=Начала Евклида. Книги XI—XV|место=М.—Л.|издательство=Государственное издательство технико-теоретической литературы|год=1950|ссылка=http://www.math.ru/lib/i/395/index.djvu|archive-date=2014-06-05|archive-url=https://web.archive.org/web/20140605053148/http://www.math.ru/lib/i/395/index.djvu}} — Помимо перевода на [[русский язык]] сочинения Евклида это издание в комментариях содержит перевод предложений Паппа о правильных многогранниках.</ref>{{rp|127-131}}. [[Папп Александрийский]] в «Математическом собрании» занимается построением икосаэдра, вписанного в данную [[сфера|сферу]], попутно доказывая, что двенадцать его вершин лежат в четырёх параллельных плоскостях, образуя в них четыре правильных треугольника<ref name="Euclid"/>{{rp|315-316}}<ref>Оригинальный текст на [[древнегреческий язык|древнегреческом языке]] с параллельным переводом на [[латинский язык]]: {{Книга|заглавие=Pappi Alexandrini Collectionis|volume=I|глава=Liber III. Propos. 57|pages=150—157|год=1876|ссылка=https://archive.org/stream/pappialexandrin03pappgoog#page/n183/mode/2up}}</ref>.

== Основные формулы ==
Площадь поверхности {{math|''S''}}, объём {{math|''V''}} правильного икосаэдра с длиной ребра {{math|''a''}}, а также радиусы [[Вписанная сфера|вписанной]] и [[Описанная сфера|описанной]] сфер вычисляются по формулам:

Площадь:

<math>S=5a^2\sqrt3</math>

Объём:

<math>V=\begin{matrix}{5\over12}\end{matrix}(3+\sqrt5)a^3</math>

Радиус вписанной сферы<ref name="Dok">Доказательство приведено в: {{cite web |url = http://www.treenshop.com/Treenshop/ArticlesPages/FiguresOfInterest_Article/The%20Icosahedron.htm |title = The Icosahedron |author = Cobb, John W. |lang = en |date = 2005-2007 |access-date = 2014-09-03 |archive-date = 2016-05-04 |archive-url = https://web.archive.org/web/20160504172841/http://www.treenshop.com/Treenshop/ArticlesPages/FiguresOfInterest_Article/The%20Icosahedron.htm |url-status = live }}</ref>:

<math>r=\begin{matrix}{1\over{12}}\end{matrix}\sqrt{42+18\sqrt5}a=\begin{matrix}{1\over{4\sqrt3}}\end{matrix}(3+\sqrt5)a\approx 0{,}7557a.</math>

Радиус [[Полувписанная сфера|полувписанной сферы]] равен <math>\frac{1}{2}\sqrt{\frac{3+\sqrt{5}}{2}}a\approx 0{,}809a.</math><ref name="Dok" />

Радиус описанной сферы<ref name="Dok" />:

<math>R=\begin{matrix}{1\over4}\end{matrix}\sqrt{2(5+\sqrt5)}a\approx 0{,}951a.</math>

== Свойства ==
* Двугранный угол между любыми двумя смежными гранями правильного икосаэдра равен arccos(−{{frac|{{sqrt|5}}|3}}) = 138,189685°.
* Все двенадцать вершин правильного икосаэдра лежат по три в четырёх [[Параллельность плоскостей|параллельных плоскостях]], образуя в каждой из них [[правильный треугольник]].
* Десять вершин правильного икосаэдра лежат в двух параллельных плоскостях, образуя в них два [[правильный пятиугольник|правильных пятиугольника]], а остальные две — противоположны друг другу и лежат на двух концах диаметра описанной сферы, перпендикулярного этим плоскостям. Расстояние между симметричными парами вышеупомянутых плоскостей, образованных пятью вершинами равно радиусу круга описываемого вокруг этого пятиугольника (это правило позволяет довольно легко создать 3D-модель правильного икосаэдра).
* [[Файл:Икосаэдральный угол.gif|мини|Икосаэдральный угол]]Угол между двумя соседними вершинами относительно центра тела правильного икосаэдра называют '''икосаэдральным углом'''. Он равен [[арккотангенс]]у {{frac|1|2}} {{nobr|(arcctg {{frac|1|2}} ≈ 63,434949°)}}, или углу между диагональю и меньшей стороной прямоугольника, у которого отношение сторон равно 1:2.
* Правильный икосаэдр можно вписать в [[куб]], при этом шесть взаимно перпендикулярных рёбер икосаэдра будут расположены соответственно на шести гранях куба, остальные 24 ребра внутри куба, все двенадцать вершин икосаэдра будут лежать на шести гранях куба.
* В правильный икосаэдр может быть вписан [[правильный тетраэдр]] так, что четыре вершины тетраэдра будут совмещены с четырьмя вершинами икосаэдра.
* Правильный икосаэдр и [[правильный додекаэдр]] являются [[Двойственные многогранники|двойственными многогранниками]]:
** Правильный икосаэдр можно вписать в правильный додекаэдр, при этом вершины икосаэдра будут совмещены с центрами граней додекаэдра.
** В правильный икосаэдр можно вписать правильный додекаэдр с совмещением вершин додекаэдра и центров граней икосаэдра.
* Собрать модель правильного икосаэдра можно при помощи 20 равносторонних треугольников.
* Невозможно собрать правильный икосаэдр из правильных тетраэдров, так как радиус сферы, описанной вокруг икосаэдра, соответственно и длина бокового ребра (от вершины до центра такой сборки) тетраэдра меньше ребра самого икосаэдра. Правильный икосаэдр можно разбить на 20 тетраэдров, соединив вершины икосаэдра с его центром, но эти тетраэдры не являются правильными — угол между их рёбрами при вершине, совпадающей с центром икосаэдра, равен ''икосаэдральному углу'' (≈63,434949°), а не 60°, как у правильного тетраэдра.

== Усечённый икосаэдр ==
{{main|Усечённый икосаэдр}}
[[Файл:C60-1.jpg|thumb|200px|right|Молекула [[фуллерен]]а C<sub>60</sub> — усечённый икосаэдр]]

'''Усечённый икосаэдр''' — многогранник, состоящий из 12 правильных пятиугольников и 20 правильных шестиугольников. Имеет икосаэдрический тип симметрии. По сути классический [[футбольный мяч]] имеет форму не шара, а усечённого икосаэдра с выпуклыми (сферическими) гранями.

Усечённый икосаэдр может быть получен срезанием 12 вершин с образованием граней в виде правильных пятиугольников. При этом число вершин нового многогранника увеличивается в 5 раз (12×5=60), 20 треугольных граней превращаются в правильные шестиугольники (всего граней становится 20+12=32), а число рёбер возрастает до 30+12×5=90.

== В мире ==
* Икосаэдр лучше всего из всех [[Правильный многогранник|правильных многогранников]] подходит для триангуляции сферы методом рекурсивного разбиения<ref name="OpenGL Red Book">[http://fly.srk.fer.hr/~unreal/theredbook/chapter02.html OpenGL Red Book Ch.2] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20150108082719/http://fly.srk.fer.hr/~unreal/theredbook/chapter02.html |date=2015-01-08 }}</ref>. Поскольку он содержит наибольшее среди них количество граней, искажение получающихся треугольников по отношению к правильным минимально.
* Икосаэдр применяется как [[игральная кость]] в [[Настольная ролевая игра|настольных ролевых играх]], и обозначается при этом d20 (dice — кости).

=== Тела в виде икосаэдра ===
* [[Капсид]]ы многих [[вирус]]ов (например, [[бактериофаг]]и, [[мимивирус]]).

== См. также ==
* [[Звёздчатый многогранник]]

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
* {{книга|автор=[[Клейн, Феликс|Клейн Ф.]]|заглавие=Лекции об икосаэдре и решение уравнений пятой степени|ответственный=Ф. Клейн; пер. с нем. А. Л. Городенцев, А. А. Кириллов, ред. А. Н. Тюрин |место=М.|издательство=[[Наука (издательство)|Наука]]|год=1989|страниц=332|isbn=5020141976|}}

{{звёздчатые формы икосаэдра}}
{{Многогранники|nocat=1}}
{{Символ Шлефли |state=collapsed}}

[[Категория:Правильные многогранники]]
[[Категория:Дельтаэдры]]
[[Категория:Треугольные мозаики]]