Просмотр кода страницы Октаэдр

{{Многогранник
| название                  = Правильный октаэдр
| изображение               = Octahedron.svg
| изображение2              = -
| ширина                    = 
| подпись                   = 
| вращающаяся модель        = Octahedron.gif
| 3D-модель                 = 
| тип                       = [[правильный многогранник]]
| свойства                  = 

| число граней              = 8
| число рёбер               = 12
| число вершин              = 6
| грани                     = [[Правильный треугольник|правильные треугольники]]
| конфигурация вершины      = 4.4.4
| вершинная фигура          = Octahedron vertfig.svg
| развёртка                 = Octahedron flat.svg
| двойственный многогранник = [[куб]]

| обозначения               = 
* O
* aT
| символ Шлефли             = 
* <math>\{3,4\}</math>
* <math>r\{3,3\}</math> или <math>\begin{Bmatrix} 3 \\ 3 \end{Bmatrix}</math>
| символ Витхоффа           = 4 {{!}} 2 3
| диаграмма Дынкина         = {{CDD|node|4|node|3|node_1}}
| группа симметрии          = <math>O_h</math>
| группа вращения           = <math>O</math>

| длина ребра               = 
| площадь поверхности       = 
| объём                     = 
| двугранный угол           = <math>\arccos\left(-\frac{1}{3}\right) \approx 109.5^\circ</math>
| телесный угол             = <math>2\pi-8\arcsin\left(\frac{1}{\sqrt 3}\right)</math> <math>\approx 1.35935</math> [[Стерадиан|ср]]
}}
[[Файл:Вписанный правильный октаэдр.gif|thumb|right|[[Описанная сфера]] октаэдра]]
'''Окта́эдр''' ({{lang-el|οκτάεδρον}} от {{lang-el2|οκτώ}} «восемь» + {{lang-el2|έδρα}} «основание») — [[многогранник]] с восемью гранями.

'''Пра́вильный окта́эдр''' является одним из пяти выпуклых [[правильный многогранник|правильных многогранников]]<ref>{{ВТ-ЭСБЕ|Тело геометрическое|[[Селиванов, Дмитрий Фёдорович|Селиванов Д. Ф.]],}}</ref>, так называемых [[Платоновы тела|платоновых тел]]; его [[грань|грани]] — восемь [[Правильный треугольник|равносторонних треугольников]]. Правильный октаэдр:
* [[Двойственный многогранник|двойственен]] [[куб]]у;
* [[Полное усечение (геометрия)|полное усечение]] [[тетраэдр]]а;
* квадратная [[бипирамида]] в любом из трёх [[Ортогональность|ортогональных]] направлений;
* треугольная [[антипризма]] в любом из четырёх направлений;
* трёхмерный [[шар]] в [[Расстояние городских кварталов|метрике городских кварталов]].

Октаэдр — трёхмерный вариант более общего понятия [[гипероктаэдр]].

== Правильный октаэдр ==
Правильный октаэдр имеет 8 треугольных граней, 12 рёбер, 6 вершин, в каждой его вершине сходятся 4 ребра.

=== Размеры ===
Если длина ребра октаэдра равна ''а'', то радиус сферы, описанной вокруг октаэдра, равен:

<center><math>r_u = \frac{a}{2} \sqrt{2} \approx 0.7071067 \cdot a </math>,</center>

радиус вписанной в октаэдр сферы может быть вычислен по формуле:

<center><math>r_i = \frac{a}{6} \sqrt{6}\approx 0.4082482\cdot a .  </math></center>
[[двугранный угол]]: <math display="inline">\alpha = 2\varphi \approx 109,47^\circ</math>, где <math display="inline">\varphi = \arccos\left(\frac{\sqrt3}{3}\right)</math>.

Радиус [[Полувписанная сфера|полувписанной сферы]], которая касается всех рёбер, равен
: <math>r_m = \frac{a}{2} = 0.5\cdot a</math>

=== Ортогональные проекции ===
''Октаэдр'' имеет четыре специальные [[Ортогональная проекция|ортогональных проекции]], центрированные ребром, вершиной, гранью и нормалью к грани. Второй и третий случай соответствуют [[Число Кокстера|плоскостям Коксетера]] B<sub>2</sub> и A<sub>2</sub>.
{|class=wikitable width=480
|+ Ортогональные проекции
|-
!Центрированы
!Ребром
!Нормалью<BR>к грани
!Вершиной
!Гранью
|-
!Образ
|[[Файл:Cube t2 e.svg|100px]]
|[[Файл:Cube t2 fb.svg|100px]]
|[[Файл:3-cube t2 B2.svg|100px]]
|[[Файл:3-cube t2.svg|100px]]
|- align=center
!Проективная<BR>симметрия
|[2]
|[2]
|[4]
|[6]
|}

=== Сферическая мозаика ===
Октаэдр можно представить, как [[Сферическая мозаика|сферическую мозаику]] и спроецировать на плоскость с помощью [[Стереографическая проекция|стереографической проекции]]. Эта проекция [[Конформное отображение|конформна]], сохраняет углы, но не длины и площадь. Отрезки на сфере отображаются в дуги окружностей на плоскости.
{|class=wikitable
|- align=center valign=top
|[[Файл:Uniform tiling 432-t2.svg|160px]]
|[[Файл:Octahedron stereographic projection.svg|160px]]<br>[[Треугольник|треугольно]]-центрированная
|-
![[Проекция (геометрия)|Ортогональная проекция]]
!colspan=1|[[Стереографическая проекция]]
|}

=== Декартовы координаты ===
Октаэдр с длиной ребра <math display="inline">\sqrt{2}</math> может быть помещён в начало координат, так что его вершины будут лежать на осях координат. [[Прямоугольная система координат|Декартовы координаты]] вершин тогда будут
: (±1, 0, 0);
: (0, ±1, 0);
: (0, 0, ±1).

В ''x''-''y''-''z'' [[Прямоугольная система координат|прямоугольной системе координат]] октаэдр с центром в точке (''a'', ''b'', ''c'') и радиусом ''r'' — это множество всех точек (''x'', ''y'', ''z''), таких, что
: <math>\left|x - a\right| + \left|y - b\right| + \left|z - c\right| = r.</math>

=== Площадь и объём ===
Площадь полной поверхности правильного октаэдра с длиной ребра ''a'' равна

: <math>S=2a^2\sqrt{3} \approx 3.46410162a^2</math>

Объём октаэдра (''V'') вычисляется по формуле:

: <math>V=\begin{matrix}{1\over3}\end{matrix}\sqrt{2}a^3 \approx 0.471404521a^3</math>

Таким образом, объём октаэдра в четыре раза больше объёма [[тетраэдр]]а с той же длиной ребра, в то время как площадь поверхности вдвое больше (поскольку поверхность состоит из 8 треугольников, а у тетраэдра — из четырёх).

Если октаэдр растянуть, чтобы выполнялось равенство:
: <math>\left|\frac{x}{x_m}\right|+\left|\frac{y}{y_m}\right|+\left|\frac{z}{z_m}\right| = 1,</math>

формулы для поверхности и объёма превращаются в:
: <math>A=4 \, x_m \, y_m \, z_m \times \sqrt{\frac{1}{x_m^2}+\frac{1}{y_m^2}+\frac{1}{z_m^2}}</math>
: <math>V=\frac{4}{3}\,x_m\,y_m\,z_m</math>

Кроме того, тензор моментов инерции растянутого октаэдра будет равен:
: <math>
I =
\begin{bmatrix}
  \frac{1}{10} m (y_m^2+z_m^2) & 0 & 0 \\
  0 & \frac{1}{10} m (x_m^2+z_m^2) & 0 \\ 
  0 & 0 & \frac{1}{10} m (x_m^2+y_m^2)
\end{bmatrix}
</math>

Он сводится к уравнению для правильного октаэдра, когда:<math display="inline">x_m=y_m=z_m=a\,\frac{\sqrt{2}}{2}</math>

=== Геометрические связи ===
[[Файл:Compound of two tetrahedra.png|left|thumb|Октаэдр представляет собой пересечение двух тетраэдров]]
Внутренняя (общая) часть конфигурации из двух двойственных [[тетраэдр]]ов является октаэдром, а сама эта конфигурация называется [[Звёздчатый октаэдр|звёздчатым октаэдром]] (''лат.: stella octangula''). Конфигурация является единственной [[Звёздчатый многогранник|звёздчатой формой]] октаэдра. Соответственно, правильный октаэдр является результатом отсечения от правильного тетраэдра четырёх правильных тетраэдров с половиной длины ребра (то есть [[Полное усечение (геометрия)|полного усечения]] тетраэдра). Вершины октаэдра лежат на серединах рёбер тетраэдра и октаэдр связан с тетраэдром тем же образом, как [[кубооктаэдр]] и [[икосододекаэдр]] связаны с остальными платоновыми телами. Можно разделить рёбра октаэдра в отношении [[Золотое сечение|золотого сечения]] для определения вершин [[икосаэдр]]а. Для этого следует расположить вектора на рёбрах, так, чтобы все грани были окружены циклами. Затем делим каждое ребро в золотом отношении вдоль векторов. Полученные точки являются вершинами икосаэдра.

[[Тетраэдрально-октаэдральные соты|Октаэдры и тетраэдры]] можно чередовать, чтобы построить однородные относительно вершин, рёбер и граней [[Соты (геометрия)|соты]], которые [[Фуллер, Ричард Бакминстер|Фуллер]] назвал {{не переведено|Октетная связка|октетной связкой||octet truss}}. Это единственные соты, позволяющие регулярную укладку в [[куб]]е, и они являются одним из 28 видов {{не переведено|Выпуклые однородные соты|выпуклых однородных сот||convex uniform honeycomb}}.

Октаэдр уникален среди платоновых тел в том, что только он имеет чётное число граней при каждой вершине. Кроме того, это единственный член этой группы, который имеет плоскости симметрии, не пересекающие ни одну грань.

Если использовать стандартную терминологию [[Многогранник Джонсона|многогранников Джонсона]], октаэдр можно назвать ''квадратной бипирамидой''. Усечение двух противоположных вершин приводит к {{не переведено|Усечённая бипирамида|усечённой бипирамиде||square bifrustum}}.

Октаэдр является [[Вершинно k-связный граф|4-связным]]. Это значит, что нужно удалить четыре вершины, чтобы разъединить оставшиеся. Это один из всего лишь четырёх 4-связных [[Симплициальный многогранник|симплициальных]] [[Хорошо покрытый граф|хорошо покрытых]] многогранников, что означает, что все [[Наибольшее независимое множество|наибольшие независимые множества]] вершин имеют один и тот же размер. Другие три многогранника с этим свойством — [[пятиугольная бипирамида]], [[плосконосый двуклиноид]] и нерегулярный многогранник с 12 вершинами и 20 треугольными гранями{{sfn|Finbow, Hartnell, Nowakowski, Plummer|2010|с=894–912}}.

* Октаэдр можно вписать в тетраэдр, притом четыре из восьми граней октаэдра будут совмещены с четырьмя гранями тетраэдра, все шесть вершин октаэдра будут совмещены с центрами шести ребер тетраэдра.
* Октаэдр можно вписать в куб, притом все шесть вершин октаэдра будут совмещены с центрами шести граней куба.
* В октаэдр можно вписать куб, притом все восемь вершин куба будут расположены в центрах восьми граней октаэдра.

=== Однородное раскрашивание и симметрия ===
Имеется 3 {{не переведено|Однородное раскрашивание|однородных раскрашивания||uniform coloring}} октаэдра, названных по их цветам граней: 1212, 1112, 1111.

[[Группы симметрии|Группой симметрии]] октаэдра является O<sub>h</sub> с порядком 48, трёхмерная {{не переведено|гипероктаэдральная группа|||hyperoctahedral group}}. В [[Подгруппа|подгруппы]] этой группы входят D<sub>3d</sub> (порядка 12), группа симметрии треугольной [[Антипризма|антипризмы]], '''D<sub>4h</sub>''' (порядка 16), группа симметрии квадратной [[Бипирамида|бипирамиды]], и T<sub>d</sub> (порядка 24), группа симметрии [[#Тетратетраэдр|полностью усечённого тетраэдра]]. Эти симметрии можно подчеркнуть путём различного раскрашивания граней.
{| class=wikitable
!Название
!Октаэдр
![[Полное усечение (геометрия)|Полностью<br>усечённый]]<br>[[тетраэдр]]<BR>(Тетратетраэдр)
!Треугольная [[антипризма]]
!Квадратная [[бипирамида]]
!Ромбическая бипирамида
|- align=center
!Рисунок<BR>(Раскраска граней)
|[[Файл:Uniform polyhedron-43-t2.svg|100px]]<BR>(1111)
|[[Файл:Uniform polyhedron-33-t1.svg|100px]]<BR>(1212)
|[[Файл:Trigonal antiprism.png|100px]]<BR>(1112)
|[[Файл:Square bipyramid transparent.svg|100px]]<BR>(1111)
|[[Файл:Rhombic bipyramid.svg|100px]]<BR>(1111)
|- align=center
![[Диаграммы Коксетера — Дынкина|Диаграмма Коксетера]]
|{{CDD|node_1|3|node|4|node}}
|{{CDD|node_1|3|node|4|node_h0}} = {{CDD|node_1|split1|nodes}}
|{{CDD|node_h|2x|node_h|6|node}}<BR>{{CDD|node_h|2x|node_h|3|node_h}}
|{{CDD|node_f1|2x|node_f1|4|node}}
|{{CDD|node_f1|2x|node_f1|2x|node_f1}}
|- align=center
![[Символ Шлефли]]
|{3,4}
|r{3,3}
|s{2,6}<BR>sr{2,3}
|ft{2,4}<BR>{ } + {4}
|ftr{2,2}<BR>{ } + { } + { }
|- align=center
!{{не переведено|Символ Витхоффа|||Wythoff symbol}}
| 4 &#124; 3 2
| 2 &#124; 4 3
| 2 &#124; 6 2 <BR> &#124; 2 3 2
| ||
|- align=center
![[Список групп сферической симметрии|Симметрия]]
|O<sub>h</sub>, [4,3], (*432)
|T<sub>d</sub>, [3,3], (*332)
|D<sub>3d</sub>, [2<sup>+</sup>,6], (2*3)<BR>D<sub>3</sub>, [2,3]<sup>+</sup>, (322)
|D<sub>4h</sub>, [2,4], (*422)
|D<sub>2h</sub>, [2,2], (*222)
|- align=center
![[Порядок элемента|Порядок]]
|48
|24
|12<BR>6
|16
|8
|}

=== Развёртки ===
Существует одиннадцать вариантов [[Развёртка|развёртки]] октаэдра<ref name="mw">{{MathWorld3|Octahedron}}</ref>.

=== Двойственность ===
Октаэдр [[Двойственный многогранник|двойственен]] [[куб]]у.
: [[Файл:Dual Cube-Octahedron.svg|240px]]

=== Огранка ===
Однородный [[тетрагемигексаэдр]] является [[Огранка (геометрия)|огранкой]] с [[Тетраэдральная симметрия|тетраэдральной симметрией]] правильного октаэдра, сохраняющая {{не переведено|Расположение рёбер многогранника|расположение рёбер||edge arrangement}} и {{не переведено|Расположение вершин многогранника |вершин||vertex arrangement}}. Огранка имеет четыре треугольных грани и 3 центральных квадрата.
{| class="wikitable" style="vertical-align:top;text-align:center"
| [[Файл:Uniform polyhedron-33-t1.svg|100px]]<br>Октаэдр
| [[Файл:tetrahemihexahedron.png|100px]]<br>[[тетрагемигексаэдр]]
|}

== Неправильные октаэдры ==
Следующие многогранники комбинаторно эквивалентны правильному октаэдру. Они все имеют шесть вершин, восемь треугольных граней и двенадцать рёбер, что соответствует один к одному параметрам правильного октаэдра.
* ''Треугольные [[Антипризма|антипризмы]]'' — две грани представляют собой равносторонние треугольники, лежащие в параллельных плоскостях и имеющие общую ось симметрии. Остальные шесть треугольников равнобедренные.
* Четырёхугольные [[Бипирамида|бипирамиды]], в которых по меньшей мере один экваториальный четырёхугольник лежит в плоскости. Правильный октаэдр является специальным случаем, когда все три четырёхугольника являются плоскими квадратами.
* [[Многогранник Шёнхардта]], невыпуклый многогранник, который нельзя разбить на тетраэдры без введения новых вершин.

=== Другие выпуклые восьмигранники ===
[[Файл:Hexagonal prism.png|thumb|100px|Шестиугольная<br>призма]]
[[Файл:Uniform polyhedron-33-t01.svg|thumb|100px|Усечённый<br>тетраэдр]]
[[Файл:Tetragonal trapezohedron.png|thumb|100px| Четырёхугольный<br>трапецоэдр]]
В общем случае, октаэдром может называться любой многогранник с восемью гранями. Правильный октаэдр имеет 6 вершин и 12 рёбер, минимальное число для октаэдра. Неправильные восьмигранники могут иметь до 12 вершин и 18 рёбер<ref name="mw" /><ref>{{cite web|author=Steven Dutch|url=http://www.uwgb.edu/dutchs/symmetry/polynum0.htm|title=Enumeration of Polyhedra|access-date=2015-11-08|archive-url=https://web.archive.org/web/20111010185122/http://www.uwgb.edu/dutchs/symmetry/polynum0.htm|archive-date=2011-10-10|url-status=dead}}</ref>.
Существует 257 топологически различных ''выпуклых'' восьмигранников, исключая зеркальные копии<ref name="mw" />. В частности, имеется 2, 11, 42, 74, 76, 38, 14 восьмигранников с числом вершин от 6 до 12 соответственно<ref>{{Cite web |url=http://www.numericana.com/data/polycount.htm |title=Counting polyhedra |access-date=2015-11-08 |archive-date=2016-05-06 |archive-url=https://web.archive.org/web/20160506052210/http://www.numericana.com/data/polycount.htm |url-status=live }}</ref><ref>{{cite web |url=http://www.uwgb.edu/dutchs/symmetry/poly8f0.htm |title=Архивированная копия |access-date=2016-08-14 |archive-url=https://web.archive.org/web/20141117072140/http://www.uwgb.edu/dutchs/symmetry/poly8f0.htm |archive-date=2014-11-17 }}</ref>. (Два многогранника «топологически различны», если они имеют внутренне различное расположение граней и вершин, так что нет возможности преобразовать одно тело в другое просто изменением длины рёбер или углов между рёбрами или гранями.)

Некоторые известные неправильные восьмигранники:
* [[Шестиугольная призма]]: Две грани являются параллельными правильными шестиугольниками, шесть квадратов соединяют соответствующие пары сторон шестиугольников.
* Семиугольная [[Пирамида (геометрия)|пирамида]]: Одна грань является семиугольником (обычно правильным), а оставшиеся семь граней являются треугольниками (обычно равнобедренными). Невозможно добиться, чтобы все треугольные грани были равносторонними.
* [[Усечённый тетраэдр]]: Четыре грани тетраэдра усекаются до правильных шестиугольников и образуются три дополнительные равносторонние треугольные грани на месте отсечённых вершин.
* [[Четырёхугольный трапецоэдр]]: Восемь граней [[Конгруэнтность (геометрия)|конгруэнтны]] [[дельтоид]]ам.

== Октаэдры в физическом мире ==

=== Октаэдры в природе ===
[[Файл:Fluorite octahedron.jpg|thumb|Октаэдр [[флюорит]]а]]
* Многие природные [[кубическая сингония|кубические]] [[кристалл]]ы имеют форму октаэдра. Это [[алмаз]] (у которого также [[спайность]] по октаэдру)<ref>{{книга|автор=[[Смольянинов, Николай Алексеевич|Смольянинов Н. А.]]|заглавие=Практическое руководство по минералогии|издание=2-е изд., испр. и доп|место=М.|издательство=[[Недра (издательство)|Недра]]|год=1972|тираж=27000|ref=Смольянинов|страницы=39}}</ref>, [[сульфат алюминия-калия]], [[хлорид натрия]], [[перовскит]], [[оливин]], [[флюорит]], [[шпинель]].
* Форму октаэдра имеют межатомные пустоты (поры) в плотноупакованных структурах чистых металлов ([[никель|никеле]], [[медь|меди]], [[магний|магнии]], [[Титан (элемент)|титане]], [[лантан]]е и многих других) и ионных соединений (хлорид натрия, [[сфалерит]], [[вюрцит]] и др.).
* Пластины [[сплав]]а {{не переведено|Камасит|камасита||kamacite}} в [[октаэдрит]]ных [[метеорит]]ах расположены параллельно восьми граням октаэдра.

=== Октаэдры в искусстве и культуре ===
[[Файл:Rubiks snake octahedron.jpg|thumb|Две одинаково сложенные [[Змейка Рубика|змейки Рубика]] могут аппроксимировать октаэдр.]]
* В играх [[игральная кость]] в виде октаэдра известна как «d8».
* Если каждое ребро октаэдра заменить [[Ом|одноомным]] [[резистор]]ом, общее сопротивление между противоположными вершинами будет составлять 1/2 ома, а между смежными вершинами — 5/12 ома{{sfn|Klein|2002|с=633–649}}.
* Шесть музыкальных нот можно расположить на вершинах октаэдра так, что каждое ребро представляет созвучную пару, а каждая грань — созвучную тройку.
* [[Противотанковый ёж]] имеет форму трёх диагоналей октаэдра.

=== Тетраэдральная связка ===
Каркас из повторяющихся тетраэдров и октаэдров изобретён [[Фуллер, Ричард Бакминстер|Фуллером]] в 1950-х и он известен как {{не переведено|пространственная рама|||space frame}} и считается прочнейшей структурой, сопротивляющейся напряжениям [[консольная балка|консольной балки]].

== Связанные многогранники ==
Правильный октаэдр можно увеличить до [[тетраэдр]]а добавлением четырёх тетраэдров на чередующиеся грани. Добавление тетраэдров ко всем восьми граням образует [[звёздчатый октаэдр]].
{| class=wikitable
|[[Файл:Triangulated tetrahedron.png|120px]]
|[[Файл:Compound of two tetrahedra.png|120px]]
|-
![[тетраэдр]]
! [[звёздчатый октаэдр]]
|}

Октаэдр принадлежит семейству однородных многогранников, связанных с кубом.

{{Октаэдральные усечения}}

Он также является одним из простейших примеров {{не переведено|Гиерсимплекс|гиперсимплекса||hypersimplex}}, многогранника, образованного определённым пересечением [[гиперкуб]]а с [[гиперплоскость]]ю.

Октаэдр входит в последовательность многогранников с [[Символ Шлефли|символом Шлефли]] {3,''n''}, продолжающейся на [[Гиперболическое пространство|гиперболическую плоскость]].

{{Треугольные правильные мозаики}}

=== Тетратетраэдр ===
Правильный октаэдр можно рассматривать как ''[[Полное усечение (геометрия)|полностью усечённый]] тетраэдр'' и может быть назван ''тетратетраэдром''. Это можно показать с помощью раскрашенной в два цвета модели. При этом раскрашивании октаэдр имеет [[Тетраэдральная симметрия|тетраэдральную симметрию]].

Сравнение последовательности усечения тетраэдра и его двойственной фигуры:
{| class="wikitable"
|+ [[Однородный многогранник|Семейство однородных тетраэдральных многогранников]]
|- style="text-align:center;"
!colspan=7|[[Список групп сферической симметрии|Симметрия]]: [[Тетраэдральная симметрия|[3,3]]], (*332)
![3,3]<sup>+</sup>, (332)
|- style="text-align:center;"
|[[Файл:Uniform polyhedron-33-t0.svg|50px]]
|[[Файл:Uniform polyhedron-33-t01.svg|50px]]
|[[Файл:Uniform polyhedron-33-t1.svg|50px]]
|[[Файл:Uniform polyhedron-33-t12.svg|50px]]
|[[Файл:Uniform polyhedron-33-t2.svg|50px]]
|[[Файл:Uniform polyhedron-33-t02.svg|50px]]
|[[Файл:Uniform polyhedron-33-t012.svg|50px]]
|[[Файл:Uniform polyhedron-33-s012.svg|50px]]
|- style="text-align:center;"
!{{CDD|node_1|3|node|3|node}}
!{{CDD|node_1|3|node_1|3|node}}
!{{CDD|node|3|node_1|3|node}}
!{{CDD|node|3|node_1|3|node_1}}
!{{CDD|node|3|node|3|node_1}}
!{{CDD|node_1|3|node|3|node_1}}
!{{CDD|node_1|3|node_1|3|node_1}}
!{{CDD|node_h|3|node_h|3|node_h}}
|- style="text-align:center;"
|[[Тетраэдр|{3,3}]]
|[[Усечённый тетраэдр|t{3,3}]]
|r{3,3}
|[[Усечённый тетраэдр|t{3,3}]]
|[[Тетраэдр|{3,3}]]
|[[Кубооктаэдр|rr{3,3}]]
|[[Усечённый октаэдр|tr{3,3}]]
|[[Икосаэдр|sr{3,3}]]
|-
!colspan=8|Двойственные многогранники
<!-- |- style="text-align: center;"
!{{CDD|node_f1|3|node|3|node}}
!{{CDD|node_f1|3|node_f1|3|node}}
!{{CDD|node|3|node_f1|3|node}}
!{{CDD|node|3|node_f1|3|node_f1}}
!{{CDD|node|3|node|3|node_f1}}
!{{CDD|node_f1|3|node|3|node_f1}}
!{{CDD|node_f1|3|node_f1|3|node_f1}}
!{{CDD|node_fh|3|node_fh|3|node_fh}} -->
|- style="text-align:center;"
|[[Файл:Tetrahedron.svg|50px]]
|[[Файл:Triakistetrahedron.svg|50px]]
|[[Файл:Hexahedron.svg|50px]]
|[[Файл:Triakistetrahedron.svg|50px]]
|[[Файл:Tetrahedron.svg|50px]]
|[[Файл:Rhombicdodecahedron.jpg|50px]]
|[[Файл:Tetrakishexahedron.jpg|50px]]
|[[Файл:POV-Ray-Dodecahedron.svg|50px]]
|- style="text-align:center;"
|[[Тетраэдр|V3.3.3]]
|[[Триакистетраэдр|V3.6.6]]
|[[Куб|V3.3.3.3]]
|[[Триакистетраэдр|V3.6.6]]
|[[Тетраэдр|V3.3.3]]
|[[Ромбододекаэдр|V3.4.3.4]]
|[[Тетракисгексаэдр|V4.6.6]]
|[[Пентагондодекаэдр|V3.3.3.3.3]]
|}

Вышеприведённые тела можно понимать как срезы, ортогональные к длинной диагонали [[тессеракт]]а. Если расположить эту диагональ вертикально с высотой 1, то первые пять сечений сверху будут на высотах ''r'', 3/8, 1/2, 5/8 и ''s'', где ''r'' — любое число в интервале (0,1/4], а ''s'' — любое число в интервале [3/4,1).

Октаэдр в качестве ''тетратетраэдра'' существует в последовательности симметрий квазиправильных многогранников и мозаик с [[Конфигурация вершины|конфигурацией вершин]] (3.''n'')<sup>2</sup>, проходя от мозаик на сфере к евклидовой плоскости, а затем в гиперболическую плоскость. В {{не переведено|Орбифолдная нотация|орбифолдной нотации ||orbifold notation}} симметрии *''n''32 все эти мозаики являются [[Построение Витхоффа|построениями Витхоффа]] внутри [[Фундаментальная область|фундаментальной области]] симметрии с генерирующими точками на прямом угле области{{sfn|Williams|1979}}<ref>[http://www.google.com/search?q=Two-Dimensional+Symmetry+Mutation ''Two Dimensional symmetry Mutations'' by Daniel Huson]</ref>.

{{Квазирегулярные-3 малая таблица}}

=== Треугольная антипризма ===
В качестве [[Антипризма|треугольной антипризмы]] октаэдр связан с семейством шестиугольной диэдральной симметрии.
{{Шестиугольные диэдральные усечения}}

{{Однородные антипризмы}}

=== Квадратная бипирамида ===
{{Бипирамиды}}

== См. также ==
* [[Граф Турана|Граф октаэдра]]
* [[Звёздчатый октаэдр]]
* [[Координационная теория]]
* {{не переведено|Октаэдральная симметрия|||Octahedral symmetry}}
* [[Октаэдральное число]]
* [[Гекзакисоктаэдр|Ромбоусечённый додекаэдр]]
* [[Триакисоктаэдр]]
* [[Усечённый октаэдр]]
* {{не переведено|Центрированное октаэдральное число|||Centered octahedral number}}

== Примечания ==
{{примечания|2}}

== Литература ==
{{refbegin}}
* [[Большая советская энциклопедия]]
* {{статья
|автор=Arthur S. Finbow, Bert L. Hartnell, Richard J. Nowakowski, Michael D. Plummer 
|doi=10.1016/j.dam.2009.08.002
|выпуск=8
|издание=Discrete Applied Mathematics
|mr=2602814
|ref=Finbow, Hartnell, Nowakowski, Plummer
|заглавие=On well-covered triangulations. III
|том=158
|год=2010
}}
* {{статья
 |автор       = Douglas J. Klein
 |год           = 2002
 |заглавие = Resistance-Distance Sum Rules
 |издание   = Croatica Chemica Acta
 |том           = 75
 |выпуск     = 2
 |url              = http://jagor.srce.hr/ccacaa/CCA-PDF/cca2002/v75-n2/CCA_75_2002_633_649_KLEIN.pdf
 |access-date       = 2006-09-30
 |ref              = Klein
 |url-status         = dead
 |archive-url       = https://web.archive.org/web/20070610165115/http://jagor.srce.hr/ccacaa/CCA-PDF/cca2002/v75-n2/CCA_75_2002_633_649_KLEIN.pdf
 |archive-date      = 2007-06-10
}}
* {{книга
|автор=R. Williams
|ref=Williams
|заглавие=The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design
|ссылка=https://archive.org/details/geometricalfound00will
|место=New York
|издательство=[[Dover Publications]]
|год=1979
|часть=Chapter 5 The Kaleidoscope, Section: 5.7 Wythoff's
}}
{{refend}}

== Ссылки ==
* {{mathworld |urlname=Octahedron |title=Octahedron}}
* [http://www.bendwavy.org/klitzing/dimensions/polyhedra.htm Klitzing Polytopes, 3D convex uniform polyhedra]
* [http://www.dr-mikes-math-games-for-kids.com/polyhedral-nets.html?net=1S2GJRuqXD7blH9ixbn1mPoTSPo6vkjWddm7xoNxFj&name=Octahedron#applet Editable printable net of an octahedron with interactive 3D view]
* [http://www.software3d.com/Octahedron.php Paper model of the octahedron]
* [http://www.kjmaclean.com/Geometry/GeometryHome.html K.J.M. MacLean, A Geometric Analysis of the Five Platonic Solids and Other Semi-Regular Polyhedra]
* [http://www.mathconsult.ch/showroom/unipoly/ The Uniform Polyhedra]
* [http://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/vp.html Virtual Reality Polyhedra] The Encyclopedia of Polyhedra
** [http://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/conway_notation.html Conway Notation for Polyhedra] Try: dP4

{{Многогранники|nocat=1}}
{{Символ Шлефли}}

{{rq|
{{плохой перевод|язык=en|оригинал=Octahedron|дата=2015-11-08}}
{{стиль статьи|дата=2015-11-08}}
}}

[[Категория:Правильные многогранники]]
[[Категория:Графы, имеющие собственные названия]]
[[Категория:Пирамиды и бипирамиды]]
[[Категория:Призматические многогранники]]
[[Категория:Дельтаэдры]]
[[Категория:Треугольные мозаики]]