Просмотр кода страницы Математическая статистика

[[Файл:Linear regression Qt example.png|альт=y=ax+b|мини|Пример линии (красная), построенной с использованием [[линейная регрессия|линейной регрессии]]]]
'''Математи́ческая стати́стика''' — наука, разрабатывающая [[математика|математические]] методы систематизации и использования [[статистика|статистических]] данных для научных и практических выводов.

Во многих своих разделах математическая статистика опирается на [[теория вероятностей|теорию вероятностей]], дающую возможность оценить надёжность и точность выводов, делаемых на основании ограниченного статистического материала (например, оценить необходимый объём выборки для получения результатов требуемой точности при выборочном обследовании).

== Предмет и методы ==
Математическая статистика — раздел математики, разрабатывающий методы регистрации, описания и анализа данных наблюдений и экспериментов с целью построения вероятностных [[математическая модель|моделей]] массовых случайных явлений<ref>{{книга
 |автор         = 
 |часть         = 
 |заглавие      = Вероятностные разделы математики
 |ссылка        = https://archive.org/details/isbn_581940050X
 |издание       = 
 |ответственный = Под ред. Ю. Д. Максимова
 |место         = Спб.
 |издательство  = «Иван Фёдоров»
 |год           = 2001
 |страницы      = [https://archive.org/details/isbn_581940050X/page/n400 400]
 |страниц       = 592
 |isbn          = 5-81940-050-X
}}
</ref>. В зависимости от математической природы конкретных результатов наблюдений, математическая статистика делится на статистику чисел, многомерный статистический анализ<ref>{{БРЭ|автор=[[Айвазян, Сергей Арутюнович|С. А. Айвазян]]|статья=Многомерный статистический анализ|ссылка=https://old.bigenc.ru/mathematics/text/2220551|архив=https://web.archive.org/web/20221006114644/https://bigenc.ru/mathematics/text/2220551|архив дата=2022-10-06}}</ref>, анализ функций (процессов) и [[Временной ряд|временных рядов]], статистику объектов нечисловой природы.

Выделяют [[описательная статистика|описательную статистику]], [[теория оценивания|теорию оценивания]] и [[проверка статистических гипотез|теорию проверки гипотез]].
Описательная статистика есть совокупность эмпирических методов, используемых для визуализации и интерпретации данных (расчёт выборочных характеристик, таблицы, диаграммы, графики и т. д.), как правило, не требующих предположений о вероятностной природе данных. Некоторые методы описательной статистики предполагают использование возможностей современных [[компьютер]]ов. К ним относятся, в частности, [[кластерный анализ]], нацеленный на выделение групп объектов, похожих друг на друга, и [[многомерное шкалирование]], позволяющее наглядно представить объекты на плоскости.

Методы оценивания и проверки гипотез опираются на вероятностные модели происхождения данных. Эти модели делятся на параметрические и непараметрические. В параметрических моделях предполагается, что характеристики изучаемых объектов описываются посредством распределений, зависящих от (одного или нескольких) числовых параметров. Непараметрические модели не связаны со спецификацией параметрического семейства для распределения изучаемых характеристик. В математической статистике оценивают параметры и функции от них, представляющие важные характеристики распределений (например, [[математическое ожидание]], медиана, [[стандартное отклонение]], квантили и др.), плотности и функции распределения и пр. Используют [[Точечная оценка|точечные]] и [[Интервальная оценка|интервальные оценки]].

Большой раздел современной математической статистики — [[статистический последовательный анализ]], фундаментальный вклад в создание и развитие которого внёс [[Вальд, Абрахам|А. Вальд]] во время [[Вторая мировая война|Второй мировой войны]]. В отличие от традиционных (непоследовательных) методов статистического анализа, основанных на [[выборка|случайной выборке]] фиксированного объёма, в последовательном анализе допускается формирование массива наблюдений по одному (или, более общим образом, группами), при этом решение о проведении следующего наблюдения (группы наблюдений) принимается на основе уже накопленного массива наблюдений. Ввиду этого, теория последовательного статистического анализа тесно связана с теорией [[оптимальная остановка|оптимальной остановки]].

В математической статистике есть общая теория проверки гипотез и большое число методов, посвящённых проверке конкретных гипотез. Рассматривают гипотезы о значениях параметров и характеристик, о проверке однородности (то есть о совпадении характеристик или функций распределения в двух выборках), о согласии эмпирической функции распределения с заданной функцией распределения или с параметрическим семейством таких функций, о симметрии распределения и др.

Большое значение имеет раздел математической статистики, связанный с проведением [[Метод выборочных обследований|выборочных обследований]], со свойствами различных схем организации выборок и построением адекватных методов оценивания и проверки гипотез.

Задачи восстановления зависимостей активно изучаются более 200 лет, с момента разработки [[Метод наименьших квадратов|метода наименьших квадратов]] [[Гаусс, Карл Фридрих|К. Гауссом]], [[Лежандр, Адриен Мари|А.-М. Лежандром]] и [[:en:Robert Adrain|Р. Эдрейном]] на рубеже XVIII и XIX веков.

Разработка методов [[аппроксимация|аппроксимации]] данных и сокращения размерности описания была начата более 100 лет назад, когда [[Пирсон, Карл|Карл Пирсон]] создал [[метод главных компонент]]. Позднее были разработаны [[факторный анализ]]<ref>''Харман Г.'', Современный факторный анализ. — М.: Статистика, 1972. — 486 с.</ref> и многочисленные нелинейные обобщения<ref>''Gorban A. N., Kegl B., Wunsch D., Zinovyev A. Y.'' (Eds.), [http://pca.narod.ru/contentsgkwz.htm Principal Manifolds for Data Visualisation and Dimension Reduction] {{Wayback|url=http://pca.narod.ru/contentsgkwz.htm|date=20190306164424}}, [https://www.springer.com/west/home/math/cse?SGWID=4-10045-69-173622682-0 Series: Lecture Notes in Computational Science and Engineering] 58, Springer, Berlin — Heidelberg — New York, 2007, XXIV, 340 p. 82 illus. ISBN 978-3-540-73749-0 (а также [http://pca.narod.ru/ онлайн] {{Wayback|url=http://pca.narod.ru/|date=20190316011853}}).</ref>.

Различные методы построения (кластер-анализ), анализа и использования (дискриминантный анализ) классификаций (типологий) именуют также методами [[распознавание образов|распознавания образов]] (с учителем и без), автоматической [[классификация|классификации]] и др.

В настоящее время компьютеры играют большую роль в математической статистике. Они используются как для расчётов, так и для имитационного моделирования (в частности, в методах размножения выборок и при изучении пригодности асимптотических результатов).

== См. также ==
{{colbegin|2}}
* [[Прикладная статистика]]
* [[Статистические методы]]
* [[Статистическая оценка]]
* [[Теория вероятностей]]
* [[Теория принятия решений]]
* [[Факторный анализ]]
* [[Эконометрика]]
{{colend}}

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
* Вероятность и математическая статистика. Энциклопедия / Гл. ред. [[Прохоров, Юрий Васильевич|Ю. В. Прохоров]]. — М.: Изд-во «Большая Российская Энциклопедия», 1999.
* ''Вальд А.'' Последовательный анализ, пер. с англ. — М.: [[Физматгиз]], 1960.
* {{БРЭ|автор=Ю. В. Прохоров|статья=Математическая статистика|ссылка=https://old.bigenc.ru/mathematics/text/2192390|архив=https://web.archive.org/web/20230103230303/https://bigenc.ru/mathematics/text/2192390|архив дата=2023-01-03}}
* ''[[Натан, Андрей Александрович|Натан А. А.]], Горбачёв О. Г., [[Гуз, Сергей Анатольевич|Гуз С. А.]]'' [http://www.mou.mipt.ru/matstat%20-tutorial%202004.rar Математическая статистика.] : учеб. пособие. — М.: МЗ Пресс — МФТИ, 2004. ISBN 5-94073-087-6.
* ''[[Самыловский, Александр Иванович|Самыловский А. И.]]'' Математические модели и методы для социологов : учебник для студентов ВУЗов … по спец. 040200 — «Социология». — Московский гос. ун-т им. М. В. Ломоносова, Социологический фак. — {{М.}} : Кн. Дом Ун-т, 2009. — 21 см. Кн. 2: Математическая статистика. — 153 с.; ISBN 978-5-98227-653-7
* ''[[Ширяев, Альберт Николаевич|Ширяев А. Н.]]'' Статистический последовательный анализ. Оптимальные правила остановки — М.: Наука, 1976.
* ''Остапенко Р. И.'' [http://lib.sibnet.ru/book/18103 Математические основы психологии] : учебно-методическое пособие для студентов и аспирантов психологических и педагогических специальностей вузов. — Воронеж: ВГПУ, 2010. — 76 с.: ил. — ISBN 978-5-88519-680-2
* ''Орлов А.И.'' Искусственный интеллект: нечисловая статистика : учебник. — М.: Ай Пи Ар Медиа, 2022. — 446 c. — ISBN 978-5-4497-1435-0 [https://www.iprbookshop.ru/117028.html]
* ''Орлов А.И.'' Прикладной статистический анализ : учебник. — М.: Ай Пи Ар Медиа, 2022. — 812 c. — ISBN 978-5-4497-1480-0 [https://www.iprbookshop.ru/117038.html]
{{викиучебник|Математика случая}}

== Ссылки ==
* [https://web.archive.org/web/20120125133254/http://statexpert.org/articles/6/ Шкалы измерения]
{{ВС}}
{{Разделы математики}}

[[Категория:Математическая статистика| ]]
[[Категория:Машинное обучение]]
[[Категория:Прикладная математика]]