Просмотр кода страницы Лента Мёбиуса

{{другие значения|Лист Мёбиуса (значения)}}
[[Файл:Möbius strip.jpg|thumb|Лента Мёбиуса]][[Файл:Aion mosaic Glyptothek Munich W504.jpg|thumb|Римская мозаика III века нашей эры с изображением кольца, свёрнутого как лента Мёбиуса, [[Глиптотека (Мюнхен)|мюнхенская Глиптотека]]]]
'''Ле́нта Мёбиуса''' ('''лист Мёбиуса''', '''петля́ Мёбиуса''') — [[топология|топологический]] объект, простейшая [[неориентируемая поверхность]] с краем, односторонняя при вложении в обычное трёхмерное [[евклидово пространство]] <math>\R^3</math>.

Считается, что лента Мёбиуса была открыта независимо [[Германия|немецкими]] [[математика]]ми [[Мёбиус, Август Фердинанд|Августом Фердинандом Мёбиусом]] и [[Листинг, Иоганн Бенедикт|Иоганном Бенедиктом Листингом]] в 1858 году, хотя похожая структура изображена на римской мозаике III века нашей эры<ref>{{cite journal|last=Larison|first=Lorraine L.|title=The Möbius band in Roman mosaics|journal=American Scientist|volume=61|issue=5|pages=544–547|year=1973|bibcode=1973AmSci..61..544L}}</ref><ref>{{cite journal
 | last1 = Cartwright | first1 = Julyan H. E.
 | last2 = González | first2 = Diego L.
 | arxiv = 1609.07779
 | doi = 10.1007/s00283-016-9631-8
 | issue = 2
 | journal = [[The Mathematical Intelligencer]]
 | mr = 3507121
 | pages = 69–76
 | title = Möbius strips before Möbius: topological hints in ancient representations
 | volume = 38
 | year = 2016| bibcode = 2016arXiv160907779C
 }}</ref>.

Модель ленты Мёбиуса можно легко сделать: надо взять достаточно длинную бумажную полоску и склеить противоположные концы полоски в кольцо, предварительно перевернув один из них. В трёхмерном [[евклидово пространство|евклидовом пространстве]] существуют два типа полос Мёбиуса в зависимости от направления закручивания: правые и левые.

[[Эйлерова характеристика]] листа Мёбиуса равна нулю.

== Уравнения ==
[[Файл:MobiusStrip-01.svg|thumb|right|Параметрическое описание листа Мёбиуса]]
[[Файл:MöbiusStripAsSquare.svg|thumb|right|Чтобы превратить квадрат в лист Мёбиуса, соедините края, помеченные буквой {{math|''A''}}, так, чтобы направления стрелок совпали]]

Одним из способов представления листа Мёбиуса как подмножества <math>\R^3</math> является параметризация:

: <math> x \left( u, v \right) = \left( 1 +\frac {v} {2} \cos\frac {u} {2} \right) \cos u, </math>
: <math> y \left( u, v \right) = \left( 1 +\frac {v} {2} \cos\frac {u} {2} \right) \sin u, </math>
: <math> z \left( u, v \right) = \frac {v} {2} \sin\frac {u} {2}, </math>

где <math> 0\leqslant u <2\pi </math> и <math>-1\leqslant v\leqslant 1 </math>. Эти формулы задают ленту Мёбиуса ширины{{nbsp}}1, чья центральная окружность имеет радиус{{nbsp}}1, лежит в плоскости <math>xy</math> с центром в <math>\left( 0,\;0,\;0 \right)</math>. Параметр <math>u</math> пробегает вдоль ленты, а <math>v</math> задаёт расстояние от края.

В [[Цилиндрическая система координат|цилиндрических координатах]] <math>\left( r,\;\theta,\;z \right)</math> неограниченная версия листа Мёбиуса может быть представлена уравнением:

: <math>\log r \sin \frac{\theta}{2} = z \cos \frac{\theta}{2}, </math>
где логарифм имеет произвольное основание.

== Свойства ==
* Граница листа Мёбиуса состоит из одной замкнутой кривой.
* [[Топология|Топологически]] лист Мёбиуса может быть определён как [[факторпространство]] [[квадрат]]а <math>\left[ 0,\;1 \right] \times \left[ 0,\;1 \right]</math> по [[отношение эквивалентности|отношению эквивалентности]] <math>\left( x,\;0 \right) \sim \left( 1-x,\;1 \right)</math> для <math>0\leqslant x\leqslant 1</math>.
* Лист Мёбиуса — это также пространство нетривиального [[Локально тривиальное расслоение|расслоения]] над окружностью со слоем отрезок.
* Ленту Мёбиуса возможно поместить в <math>\R^3</math> с границей, являющейся идеальной окружностью. Один из способов — применить стереографическую проекцию к [[Бутылка Клейна|бутылке Клейна]], [[Погружение (топология)|погружённой]] в [[Трёхмерная сфера|трёхмерную сферу]]. Идея состоит в следующем: пусть <math>C</math> будет [[единичный круг|единичным кругом]] в плоскости <math>xy</math> в <math>\R^3</math>. Соединив [[антипод]]ные точки на <math>C</math> (то есть точки под углами <math>\theta</math> и <math>\theta + \pi</math>) дугой круга, получим, что для <math>\theta</math> между <math>0</math> и <math> \pi/2 </math> дуги лежат выше плоскости <math>xy</math>, а для других <math>\theta</math> — ниже (причём в двух местах дуги лежат в плоскости <math>xy</math>).{{нет АИ|18|12|2015}}
** Тем не менее любой диск, который приклеивается к граничной окружности, неизбежно пересечёт ленту Мёбиуса.
* Примером вложения листа Мёбиуса в <math>\Complex^2</math> является поверхность, заданная уравнением
:: <math>z_1 = \sin\eta\,e^{i\varphi}</math>
:: <math>z_2 = \cos\eta\,e^{i\varphi/2},</math>
: Здесь параметр <math>\eta</math> изменяется от 0 до <math>\pi</math>. Границей этой поверхности является окружность <math>z_1 = 0, |z_2| = 1</math>. При [[стереографическая проекция|стереографической проекции]] получается вложение в <math>\R^3</math> с границей, в точности являющейся окружностью.

== Открытые вопросы ==
# Каково минимальное <math>k</math> такое, что из прямоугольника с меньшей стороной{{nbsp}}1 и большей стороной{{nbsp}}{{math|''k''}} можно свернуть несамопересекающуюся ленту Мёбиуса (бумагу мять не разрешается)? Доказанная оценка снизу — <math>\frac{\pi}{2}</math>, сверху — <math>\sqrt 3 </math><ref>''Фукс{{nbsp}}Д.'' [http://kvant.mccme.ru/1979/01/lenta_myobiusa.htm Лента Мёбиуса. Вариации на старую тему] {{Wayback|url=http://kvant.mccme.ru/1979/01/lenta_myobiusa.htm |date=20111115124335 }} // «Квант», № 1, 1979.</ref>. В 2023 году была доказана оценка снизу в корень из трёх, что решило проблему.
# Существует ли формула, описывающая лист Мёбиуса, получающийся путём складывания плоского листа бумаги? Вышеуказанные формулы описывают поверхность, которую нельзя сложить из листа бумаги, так как она имеет отрицательную кривизну; спрашивается, можно ли аналогичным образом описать поверхность нулевой кривизны?<ref>{{статья |заглавие=Sides of the Möbius strip |издание=[[Archiv der Mathematik]] |том=66 |страницы=511—521 |язык=en |автор=Randrup{{nbsp}}T., Rogen{{nbsp}}P. |год=1996 |тип=journal}}</ref>
#* Сложнее найти форму, которая при этом минимизирует упругую энергию изгиба. Решение этой задачи, впервые поставленной Садовским (''M.{{nbsp}}Sadowsky'') в 1930 году, было опубликовано в 2007 году<ref>{{статья |заглавие=The shape of a Möbius strip |издание=[[Nature Materials]] |ссылка=http://www.nature.com/nmat/journal/v6/n8/abs/nmat1929.html |doi=10.1038/nmat1929 |язык=en |автор={{nobr|Starostin. E. L.}}, {{nobr|van der Heijden G. H. M.}} |год=2007 |тип=journal |archive-date=2017-07-12 |archive-url=https://web.archive.org/web/20170712031847/http://www.nature.com/nmat/journal/v6/n8/abs/nmat1929.html }}</ref>. Однако решение не описывается алгебраической формулой, и маловероятно, что такая формула вообще существует. Чтобы найти пространственную равновесную форму бумажной ленты Мёбиуса, необходимо решить краевую задачу для системы {{iw|Дифференциально-алгебраические уравнения|дифференциально-алгебраических уравнений||Differential algebraic equation}}.

== Если ленту разрезать ==
[[Файл:Trecina.gif|thumb|Разрезание ленты Мёбиуса по линии, которая отстоит от краёв на треть ширины]]
* Если разрезать ленту вдоль по линии, равноудалённой от краёв, вместо двух лент Мёбиуса получится одна длинная двусторонняя (закрученная на полный оборот) лента. Это свойство ленты Мёбиуса используется в старинном [[иллюзионизм|фокусе]] под названием «афганские ленты»<ref>{{статья|автор=Гарднер М. |заглавие=Профессор, у которого не было ни одной стороны. Примечания автора |страницы=127 |издание=[[Наука и жизнь]] |год=1977 |номер=5 |язык=ru }}</ref> ({{lang-en|The Afghan Bands}}) с 1904 года<ref>{{книга|автор=Professor Hoffmann|заглавие=Later Magic|год=1904|место=New York, London|издательство=E. P. Dutton & Company, George Routledge & Sons|pages=471—473|ссылка=https://archive.org/details/latermagic00hoff/page/471}}</ref>, его также описывают [[Винер, Норберт|Норберт Винер]] в книге ''I Am a Mathematician'' (1956)<ref>{{книга|автор=Norbert Wiener|заглавие=I Am a Mathematician|ссылка=https://archive.org/details/iammathematician00wien|место=Garden City, New York|год=1956|издательство=Doubleday & Company|pages=[https://archive.org/details/iammathematician00wien/page/n33 26]—27|}} В русском переводе: {{книга|автор=Норберт Винер|заглавие=Я — математик|издание=2-е изд|место=М.|год=1967|издательство=[[Наука (издательство)|Наука]]|страницы=19—20|ответственный=Пер. с англ. Ю. С. Родман|}}</ref> и [[Гарднер, Мартин|Мартин Гарднер]] в книге ''Mathematics, Magic and Mystery'' (1956), последний также утверждает, что самая ранняя ссылка на использование ленты Мёбиуса для фокусов относится к 1882 году<ref>{{книга|автор=Martin Gardner|заглавие=Mathematics, Magic and Mystery|ссылка=https://archive.org/details/mathematicsmagic00gard_464|год=1956|место=New York|издательство=Dover Publications|pages=[https://archive.org/details/mathematicsmagic00gard_464/page/n80 70]—73||}}</ref>. Если получившуюся ленту разрезать вдоль посередине, получаются две такие ленты, намотанные друг на друга.
* Если разрезать ленту Мёбиуса, отступая от края приблизительно на треть её ширины, то получаются две ленты, одна — более короткая лента Мёбиуса, другая — длинная лента с двумя полуоборотами<ref>''Кордемский{{nbsp}}Б. А.'' [http://kvant.mccme.ru/1974/03/topologicheskie_opyty_svoimi_r.htm Топологические опыты своими руками] {{Wayback|url=http://kvant.mccme.ru/1974/03/topologicheskie_opyty_svoimi_r.htm |date=20160608140859 }} // «Квант», № 3, 1974</ref>.
* Другие комбинации лент могут быть получены из лент с двумя или более полуоборотами в них. Например, если разрезать ленту с тремя полуоборотами, то получится лента, завитая в [[Трилистник (узел)|узел трилистника]]. Разрез ленты с дополнительными оборотами даёт неожиданные фигуры, названные [[парадромные кольца|парадромными кольцами]].

== Искусство и технология ==
[[Файл:Recycle001.svg|thumb|Международный символ переработки представляет собой лист Мёбиуса]]
[[Файл:Tsemi ran 3.jpg|thumb|«Лента Мёбиуса» над входом в институт [[Центральный экономико-математический институт РАН|ЦЭМИ РАН]] (1976, архитектор [[Павлов, Леонид Николаевич (архитектор)|Леонид Павлов]], художники [[Жаренова, Элеонора Александровна|Э. А. Жаренова]] и [[Васильцов, Владимир Константинович|В. К. Васильцов]])]]

Лист Мёбиуса служил вдохновением для скульптур и для графического искусства. [[Эшер, Мауриц Корнелис|Эшер]] был одним из художников, кто особенно любил его и посвятил несколько своих [[литография|литографий]] этому математическому объекту. Одна из известных — «Лист Мёбиуса{{nbsp}}II»<ref>{{Cite web |url=http://www.mcescher.com/gallery/most-popular/mobius-strip-ii/ |title=M.C. Escher — Möbius Strip II |access-date=2014-10-05 |archive-date=2014-10-06 |archive-url=https://web.archive.org/web/20141006073509/http://www.mcescher.com/gallery/most-popular/mobius-strip-ii/ |url-status=live }}</ref>, показывает муравьёв, ползающих по поверхности ленты Мёбиуса.

Лист Мёбиуса является эмблемой серии научно-популярных книг «[[Библиотечка «Квант»|Библиотечка „Квант“]]». Он также постоянно встречается в [[научная фантастика|научной фантастике]], например, в рассказе [[Кларк, Артур Чарльз|Артура Кларка]] «Стена мрака». Иногда научно-фантастические рассказы (вслед за физиками-теоретиками) предполагают, что наша [[Вселенная]] может быть некоторым обобщённым листом Мёбиуса. Также кольцо Мёбиуса постоянно упоминается в произведениях писателя [[Крапивин, Владислав Петрович|Владислава Крапивина]], цикл «[[В глубине Великого Кристалла]]» (например, «Застава на Якорном Поле. Повесть»). В рассказе «[[Лист Мёбиуса (рассказ)|Лист Мёбиуса]]» автора [[Дейч, Армин|А.{{nbsp}}Дж.{{nbsp}}Дейча]], [[Бостонский метрополитен|бостонское метро]] строит новую линию, маршрут которой становится настолько запутанным, что превращается в ленту Мёбиуса, после чего на этой линии начинают исчезать поезда. По мотивам рассказа был снят фантастический фильм «[[Мёбиус (фильм, 1996)|Мёбиус]]» режиссёра Густаво Москера. Также идея ленты Мёбиуса используется в рассказе М.{{nbsp}}Клифтона «На ленте Мёбиуса».

В 1987 году советский джазовый пианист [[Чижик, Леонид Аркадьевич|Леонид Чижик]] записал альбом «Лента Мёбиуса», в который вошла и одноимённая композиция.

Существуют технические применения ленты Мёбиуса. Полоса [[ленточный конвейер|ленточного конвейера]], выполненная в виде ленты Мёбиуса, будет работать дольше, потому что вся поверхность ленты изнашивается равномерно. Также в системах записи на непрерывную плёнку применяются ленты Мёбиуса (чтобы удвоить время записи). Во многих [[Принтер#Матричные принтеры|матричных принтерах]] красящая лента также имеет вид ленты Мёбиуса для увеличения её ресурса.

Также над входом в институт [[Центральный экономико-математический институт РАН|ЦЭМИ РАН]] находится мозаичный [[горельеф]] «Лента Мёбиуса» работы архитектора [[Павлов, Леонид Николаевич (архитектор)|Леонида Павлова]]<ref>{{Cite web |url=http://archi.ru/russia/25331/master-vychisleniya |title=Мастер вычисления<!-- Заголовок добавлен ботом --> |access-date=2015-12-12 |archive-date=2015-12-22 |archive-url=https://web.archive.org/web/20151222120719/http://archi.ru/russia/25331/master-vychisleniya |url-status=live }}</ref> в соавторстве с художниками [[Жаренова, Элеонора Александровна|Э. А. Жареновой]] и [[Васильцов, Владимир Константинович|В. К. Васильцовым]] (1976)<ref>{{Cite web |url=http://www.the-village.ru/village/city/modern-architecture/176317-dom-s-uhom-tsemi-ran |title=Архитектор Мария Серова — о «доме с ухом» Леонида Павлова — The Village — The Village |access-date=2015-12-12 |archive-date=2015-12-22 |archive-url=https://web.archive.org/web/20151222084344/http://www.the-village.ru/village/city/modern-architecture/176317-dom-s-uhom-tsemi-ran |url-status=live }}</ref>.

Иногда считается, что лента Мёбиуса является прообразом [[Бесконечность#Символ|символа бесконечности]] <math> \infty </math>, однако последний появился на два века раньше<ref>{{Cite web |url=http://www.kommersant.ru/doc.aspx?DocsID=1138604 |title=Лента Мёбиуса // Журнал «Weekend» № 10 (106) от 20.03.2009 |access-date=2012-08-04 |archive-date=2012-08-04 |archive-url=https://archive.today/20120804145825/http://www.kommersant.ru/doc.aspx?DocsID=1138604 |url-status=live }}</ref>.

== Вариации и обобщения ==
* Близкой односторонней поверхностью является [[бутылка Клейна]]. Бутылка Клейна может быть получена путём склеивания двух лент Мёбиуса по краям. В обычном трёхмерном [[Евклидово пространство|евклидовом пространстве]] сделать это, не создавая самопересечения, невозможно.
* Другое похожее многообразие — [[проективная плоскость]]. Если проколоть отверстие в проективной плоскости, тогда то, что останется, будет листом Мёбиуса. С другой стороны, если приклеить диск к ленте Мёбиуса, совмещая их границы, то результатом будет проективная плоскость.

== См. также ==
* [[Бутылка Клейна]]
* [[Резистор Мёбиуса]]
* [[Лестница Мёбиуса]]

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
* ''Фоменко А. Т., Фукс Д. Б.'' Курс гомотопической топологии.— М.: Наука, 1989.
* ''Гарднер М.'' Математические чудеса и тайны.— М.: Наука, 1978.

== Ссылки ==
{{внешние ссылки}}
{{Компактные топологические поверхности}}

{{перевести|en|Möbius strip|hide=1}}

[[Категория:Поверхности]]
[[Категория:Топологические пространства]]