Просмотр кода страницы Глоссарий теории групп

{{Глоссарий|Теория групп|nocat=1}}
В этой статье приведены основные термины, используемые в [[Теория групп|теории групп]]. ''Курсив'' обозначает внутреннюю ссылку на данный глоссарий. В конце приводится таблица основных обозначений{{переход|Таблица обозначений}}, применяемых в теории групп.

__NOTOC__
{{АБВ}}

== P ==
{{глосс}}
{{терм|p-группа|[[p-группа|<math>p</math>-группа]]}}
{{опр|Группа, для которой существует такое [[простое число]] <math>p</math>, что ''[[#Порядок элемента|порядок]]'' каждого её элемента является некоторой степенью этого числа. ''[[#Конечная p-группа|Конечная <math>p</math>-группа]]'' также называется ''[[#Примарная группа|примарной]]''.}}
{{конец-глосс}}

== А ==
{{глосс}}
{{терм|Абелева группа|[[Абелева группа]]}}
{{опр|То же, что и ''[[#Коммутативная группа|коммутативная группа]]''.}}

{{терм|Абелианизация|[[Абелианизация группы|Абелианизация]]}}
{{опр|''[[#Факторгруппа|Факторгруппа]]'' по ''[[#Коммутант|коммутанту]]'', то есть, для группы <math>G</math> ― <math>G/[G, G]</math>.}}

{{терм|Аддитивная группа кольца}}
{{опр|Группа, элементами которой являются все элементы данного кольца, а операция совпадает с операцией сложения в кольце.}}

{{терм|Антигомоморфизм групп}}
{{опр|Отображение групп <math>f : (G,*) \to (H,\times)</math> такое, что <math>f(a * b) = f(b) \times f(a)</math> для произвольных <math>a</math> и <math>b</math> в <math>G</math> (сравните с ''[[#Гомоморфизм групп|гомоморфизмом]]'').}}

{{терм|Абсолютно регулярная p-группa|Абсолютно регулярная <math>p</math>-группа}}
{{опр|Конечная <math>p</math>-группа, в которой <math>|G:pG| < p^p</math>, где <math>pG</math> — подгруппа <math>G</math>, образованная <math>p</math>-ми степенями её элементов.}}
{{конец-глосс}}

== Г ==
{{глосс}}

{{терм|Генератор группы}}
{{опр|1. Элемент [[#порождающее множество|порождающего множества]] группы.}}
{{опр|2.  Для [[группа Ли|групп Ли]], элемент базиса её алгебры Ли (см. [[генераторы группы]]). Также используется термин ''инфинитезимальный оператор''.}}

{{терм|Генетический код группы}}
{{опр|То же, что ''[[#задание группы|задание группы]]''.}}

{{терм|Главный ряд подгрупп}}
{{опр|''[[#Ряд подгрупп|Ряд подгрупп]]'', в котором <math>G_{i}</math> — максимальная ''[[#Нормальная подгруппа|нормальная]]'' в <math>G</math> ''[[#Подгруппа|подгруппа]]'' из <math>G_{i+1}</math> для всех членов ряда.}}

{{терм|Голоморф}}
{{опр|Для заданной ''[[#Группа|группы]]'' <math>(G, *)</math> — группа над парами <math>\{(g,\varphi) \mid g \in G, \varphi \in \operatorname{Aut}G \}</math> (<math>\operatorname{Aut}G</math> — группа [[автоморфизм]]ов группы <math>G</math>) с групповой операцией композиции <math>\odot</math>, определённой как <math>(g_1, \varphi_1) \odot (g_2, \varphi_2) = (g_1 * \varphi_1^{-1}(g_2), \varphi_1 \circ \varphi_2)</math>.}}

{{терм|Гомоморфизм групп|[[Гомоморфизм групп]]}}
{{опр|[[Отображение]] ''[[#Группа|групп]]'' <math>f\colon\ (G,*) \to (H,\times)</math> такое, что <math>f(a * b) = f(a) \times f(b)</math> для произвольных ''a'' и ''b'' в ''G''.}}

{{терм|Группа|[[Группа (математика)|Группа]]}}
{{опр|Непустое множество <math>G</math> с заданной на нём [[Ассоциативная операция|ассоциативной]] [[бинарная операция|бинарной операцией]] <math>*\colon\ G \times G \to G</math>, при которой в <math>G</math> имеется ''[[#Нейтральный элемент|нейтральный элемент]]'' <math>e</math>, то есть для всех <math>a \in G</math> выполнено <math>e*a=a*e=a</math>, и для каждого элемента <math>a \in G</math> есть [[обратный элемент]] <math>a^{-1}</math>, такой, что <math>a*a^{-1}=a^{-1}*a=e</math>.}}

{{терм|Группа Шмидта}}
{{опр|''[[#Нильпотентная группа|Ненильпотентная]]'' группа, все собственные ''[[#Подгруппа|подгруппы]]'' которой нильпотентны.}}

{{терм|Группа Миллера — Морено}}
{{опр|''[[#Коммутативная группа|Неабелева]]'' группа, все собственные подгруппы которой абелевы.}}

{{терм|Групповая алгебра|[[Групповая алгебра]]}}
{{опр|Для ''[[#Группа|группы]]'' <math>G</math> над [[Поле (алгебра)|полем]] <math>K</math> — это [[векторное пространство]] над <math>K</math>, образующими которого являются элементы <math>G</math>, а умножение образующих соответствует умножению элементов <math>G</math>.}}
{{конец-глосс}}

== Д ==
{{глосс}}
{{терм|Действие группы|[[Действие группы]]}}
{{опр|''[[#Группа|Группа]]'' <math>G</math> '''действует слева''' на множестве <math>M</math>, если задан ''[[#Гомоморфизм групп|гомоморфизм]]'' <math>\Phi\colon G\to S(M)</math>, где <math>S(M)</math> — ''[[#Симметрическая группа|симметрическая группа]]''. Группа <math>G</math> '''действует справа''' на множестве <math>M</math>, если задан гомоморфизм <math>\rho: G^{op} \to S(M)</math>, где <math>G^{op}</math> — ''[[#Инверсная группа|инверсная группа]]'' группы <math>G</math>.}}

{{терм|Длина ряда подгрупп}}
{{опр|Число <math>n</math> в определении ''[[#Ряд подгрупп|ряда подгрупп]]''.}}
{{конец-глосс}}

== Е ==
{{глосс}}
{{терм|Естественный гомоморфизм}}
{{опр|''[[#Гомоморфизм групп|Гомоморфизм]]'' группы <math>G</math> на ''[[#Факторгруппа|факторгруппу]]'' <math>G/H</math> по ''[[#Нормальная подгруппа|нормальной подгруппе]]'' <math>H</math>, ставящий в соответствие каждому элементу <math>a</math> группы ''[[#Класс смежности|смежный класс]]'' <math>aH</math>. ''[[#Ядро гомоморфизма|Ядром]]'' этого гомоморфизма является подгруппа <math>H</math>.}}
{{конец-глосс}}

== З ==
{{глосс}}
{{терм|Задание группы|[[Задание группы]]}}
{{опр|Определение ''[[#Группа|группы]]'' указанием ''[[#Порождающее множество группы|порождающего множества]]'' <math>S</math> и множества соотношений между порождающими <math>R</math>, обозначается <math>\langle S \mid R\rangle</math>. Также называется '''генетический код группы''', '''представление группы''' (создавая неоднозначность с [[Представление группы|линейным представлением группы]]), '''копредставление группы'''.}}

{{конец-глосс}}

== И ==
{{глосс}}
{{терм|Изоморфизм групп|[[Изоморфизм групп]]}}
{{опр|[[Биекция|Биективный]] ''[[#Гомоморфизм групп|гомоморфизм]]''.}}

{{терм|Изоморфные группы}}
{{опр|Группы, между которыми существует хотя бы один ''[[#Изоморфизм групп|изоморфизм]]''.}}

{{терм|Инвариантная подгруппа}}
{{опр|То же, что и ''[[#Нормальная подгруппа|нормальная подгруппа]]''.}}

{{терм|Инверсная группа|[[Инверсная группа]]}}
{{опр|Группа, получаемая сменой местами аргументов бинарной операции, то есть для <math>G</math> с операцией <math>\times</math> — группа <math>G^{op}</math> с операцией <math>*</math> такой, что <math>a * b = b\times a</math> для всех элементов <math>G</math>.}}

{{терм|Индекс подгруппы|[[Индекс подгруппы]]}}
{{опр|Число ''[[#Класс смежности|смежных классов]]'' в каждом (правом или левом) из разложений группы по данной подгруппе.}}

{{терм|Индексы ряда подгрупп}}
{{опр|Индексы <math>|G_{i+1}:G_{i}|</math> в определении ''[[#Субнормальный ряд подгрупп|субнормального ряда подгрупп]]''.}}
{{конец-глосс}}

== К ==
{{глосс}}
{{терм|Класс нильпотентности}}
{{опр|Для ''[[#Нильпотентная группа|нильпотентной группы]]'' — минимальная из длин ''[[#Центральный ряд подгрупп|центрального ряда подгрупп]]''.}}

{{терм|Класс смежности}}
{{опр|Для элемента <math>g \in G</math>, '''левый смежный класс''' (или класс смежности)  по ''[[#Подгруппа|подгруппе]]'' <math>H</math> — множество <math>gH= \{gh \mid h\in H\}</math>, '''правый смежный класс''' по подгруппе <math>H</math> — множество <math>Hg= \{hg \mid h\in H\}</math>, '''двойной смежный класс''' по подгруппам <math>H, K</math> — множество <math>HgK= \{hgk \mid h\in H, k\in K\}</math> (множество двойных смежных классов обозначается <math>H\backslash G/K</math>).}}

{{терм|Класс сопряжённости|[[Класс сопряжённости]]}}
{{опр|Для элемента <math>g \in G</math> — множество всех его ''[[#Сопряжённый элемент|сопряжённых элементов]]'': <math>\{hgh^{-1} \mid h\in G\}</math>.}}

{{терм|Комитант|[[Комитант]]}}
{{опр|Для группы <math>G</math>, ''[[#Действие группы|действующей]]'' на множествах <math>X</math> и <math>Y</math> — отображение <math>\varphi_G \colon X \to Y</math> такое, что для любых <math>g \in G</math> и <math>x \in X</math> выполнено <math>g(\varphi(x)) = \varphi (g(x))</math>.}}

{{терм|Коммутант|[[Коммутант]]}}
{{опр|''[[#Подгруппа|Подгруппа]]'', порождённая всеми ''[[#Коммутатор|коммутаторами]]'' группы, обычно обозначается <math>[G,G]</math> или <math>G'</math>.}}

{{терм|Коммутативная группа|[[Коммутативная группа]]}}
{{опр|Группа с коммутативной бинарной операцией (<math>\forall g, h \in G (g*h = h*g)</math>); также называется '''абелевой группой'''.}}

{{терм|Коммутирующие элементы}}
{{опр|Элементы, для которых ''[[#Коммутатор|коммутатор]]'' равен единичному элементу группы, или, что эквивалентно, такие элементы <math>g, h \in G</math>, для которых <math>g*h = h*g</math>.}}

{{терм|Коммутатор}}
{{опр|Для элементов <math>g, h \in G</math> — элемент <math>[g, h]=ghg^{-1}h^{-1}</math>.}}

{{терм|Коммутатор подгрупп}}
{{опр|Множество всевозможных произведений <math>\{[g, h]\mid g\in G, h\in H \}</math>.}}

{{терм|Композиционный ряд}}
{{опр|Для группы <math>G</math> — ''[[#Ряд подгрупп|ряд подгрупп]]'', в котором все ''[[#Факторгруппа|факторгруппы]]'' <math>G_{i+1}/G_i</math> — ''[[#Простая группа|простые группы]]''.}}

{{терм|Конечная группа|[[Конечная группа]]}}
{{опр|Группа с конечным числом элементов.}}

{{терм|Конечная p-группа|[[Конечная p-группа|Конечная <math>p</math>-группа]]}}
{{опр|Группа, являющаяся одновременно конечной и ''[[#p-группа|<math>p</math>-группой]]''. Также используется термин ''[[#Примарная группа|примарная]]''.}}

{{терм|Конечно заданная группа|[[Конечно заданная группа]]}}
{{опр|Группа, обладающая конечным числом ''[[#Порождающее множество группы|образующих]]'' и ''[[#задание группы|задаваемая]]'' в этих образующих конечным числом ''[[#Соотношение|соотношений]]''. Также используется термин '''''конечно определённая'''''.}}

{{терм|Конечнопорождённая абелева группа|[[Конечнопорождённая абелева группа]]}}
{{опр|Группа, являющаяся одновременно ''[[#Абелева группа|абелевой]]'' и ''[[#конечнопорождённая группа|конечнопорождённой]]''.}}

{{терм|Конечнопорождённая группа|[[Конечнопорождённая группа]]}}
{{опр|Группа, обладающая конечной системой ''[[#Порождающее множество группы|образующих]]''.}}

{{терм|Копредставление группы}}
{{опр|То же, что ''[[#Задание группы|задание группы]]''.}}

{{терм|Кручение|[[Подгруппа кручения|Кручение]]}}
{{опр|Подгруппа всех элементов конечного ''[[#Порядок элемента|порядка]]'', применяется для ''[[#Коммутативная группа|коммутативных]]'' и ''[[#Нильпотентная группа|нильпотентных]]'' групп, обозначается <math>\operatorname{Tor}G</math>.}}
{{конец-глосс}}

== Л ==
{{глосс}}
{{терм|Локальное свойство}}
{{опр|Говорят, что группа <math>G</math> обладает некоторым локальным свойством <math>P</math>, если любая ''[[#Конечнопорождённая группа|конечнопорождённая подгруппа]]'' из <math>G</math> обладает этим свойством. Примерами могут служить локальная конечность, локальная нильпотентность.}}

{{терм|Локальная теорема}}
{{опр|Говорят, что для некоторого свойства <math>P</math> групп справедлива некоторая локальная теорема, если всякая группа, ''[[#Локальное свойство|локально обладающая этим свойством]]'', сама обладает им. Например: локально абелева группа является абелевой, но локально конечная группа может быть бесконечной.}}
{{конец-глосс}}

== М ==
{{глосс}}
{{терм|Максимальная подгруппа}}
{{опр|Такая ''[[#Подгруппа|подгруппа]]'', что не существует других подгрупп её содержащих (не совпадающих с самой группой).}}

{{терм|Метабелева группа}}
{{опр|Группа, ''[[#Коммутант|коммутант]]'' которой ''[[#Коммутативная группа|абелев]]'', ''[[#Ступень разрешимости|ступень разрешимости]]'' такой группы равна 2.}}

{{терм|Метанильпотентная группа}}
{{опр|''[[#Полинильпотентная группа|Полинильпотентная группа]]'' со ''[[#Ступень разрешимости|ступенью разрешимости]]'' равной 2.}}

{{терм|Метациклическая группа}}
{{опр|Группа, обладающая ''[[#Циклическая группа|циклической]]'' ''[[#Нормальная подгруппа|нормальной подгруппой]]'', ''[[#Факторгруппа|факторгруппа]]'' по которой также циклическая. Всякая конечная группа, ''[[#Порядок группы|порядок]]'' которой свободен от [[Квадрат (алгебра)|квадратов]] (то есть не делится на квадрат какого-либо числа), является метациклической.}}

{{терм|Минимальная нормальная подгруппа|[[Минимальная нормальная подгруппа]]}}
{{опр|Наименьшая (по включению) неединичная (то есть, состоящая не только из единичного элемента) ''[[#Нормальная подгруппа|нормальная подгруппа]]''.}}
{{конец-глосс}}

== Н ==
{{глосс}}
{{терм|Нейтральный элемент|[[Нейтральный элемент]]}}
{{опр|Элемент, задаваемый в определении ''[[#Группа|группы]]'', любое применение которого при бинарной операции оставляет другой аргумент неизменным.}}

{{терм|Нильпотентная группа|[[Нильпотентная группа]]}}
{{опр|Группа, обладающая ''[[#Центральный ряд подгруг|центральным рядом подгрупп]]''. Минимальная из длин таких рядов называется её ''[[#Класс нильпотентности|классом нильпотентности]]''.}}

{{терм|Норма группы|[[Норма (теория групп)|Норма группы]]}}
{{опр|Совокупность элементов группы, ''[[#Перестановочные элементы|перестановочных]]'' со всеми ''[[#Подгруппа|подгруппами]]'', то есть пересечение ''[[#Нормализатор|нормализаторов]]'' всех её подгрупп.}}

{{терм|Нормализатор|[[Нормализатор]]}}
{{опр|Для подгруппы <math>H</math> в <math>G</math> — это максимальная подгруппа <math>G</math>, в которой <math>H</math> ''[[#Нормальная подгруппа|нормальна]]''. Иначе говоря, нормализатор есть ''[[#Стабилизатор|стабилизатор]]'' <math>H</math> при ''[[#Действие группы|действии]]'' <math>G</math> на множестве своих подгрупп ''[[#Действие группы|сопряжениями]]'', то есть <math>N(H)=\{g\in G\mid gHg^{-1}=H\}</math>.}}

{{терм|Нормальная подгруппа|[[Нормальная подгруппа]]}}
{{опр|<math>H</math> есть нормальная ''[[#Подгруппа|подгруппа]]'' <math>G</math>, если для любого элемента <math>g \in G</math> выполнено <math>gH = Hg</math>, то есть ''[[#Класс смежности|правые и левые классы смежности]]'' <math>H</math> в <math>G</math> совпадают. Иначе говоря, если <math>\forall g \in G\quad \forall h \in H\quad ghg^{-1} \in H</math>. Также называется '''инвариантная подгруппа''', '''нормальный делитель'''.}}

{{терм|Нормальный делитель}}
{{опр|То же, что и ''[[#Нормальная подгруппа|нормальная подгруппа]]''.}}

{{терм|Нормальный ряд подгрупп}}
{{опр|''[[#Ряд подгрупп|Ряд подгрупп]]'', в котором <math>G_{i}</math> ''[[#Нормальная подгруппа|нормальна]]'' в <math>G</math>, для всех членов ряда.}}

{{конец-глосс}}

== О ==
{{глосс}}

{{терм|Орбита|[[Действие группы#Орбиты|Орбита]]}}
{{опр|Для элемента <math>m</math> множества <math>M</math>, на который группа <math>G</math> ''[[#Действие группы|действует слева]]'' — множество всех действий над элементом: <math>Gm = \{gm \mid g\in G\}</math>.}}

{{конец-глосс}}

== П ==
{{глосс}}
{{терм|Перестановочные элементы}}
{{опр|Пара элементов <math>a,b\in G</math> такие что <math>ab=ba</math>.}}

{{терм|Период группы}}
{{опр|[[Наименьшее общее кратное]] ''[[#Порядок элемента|порядков элементов]]'' данной группы. То же, что и ''[[#Экспонента|экспонента]]'', ''[[#Показатель группы|показатель группы]]''.}}

{{терм|Периодическая группа|[[Периодическая группа]]}}
{{опр|Группа, каждый элемент которой имеет конечный ''порядок''.}}

{{терм|Подгруппа|[[Подгруппа]]}}
{{опр|Подмножество <math>H</math> группы <math>G</math>, которое является ''[[#Группа|группой]]'' относительно операции, определённой в <math>G</math>.}}

{{терм|Подгруппа кручения}}
{{опр|То же, что и ''[[#Кручение|кручение]]''.}}

{{терм|Подгруппа, порождённая множеством|[[Порождающее множество группы#Определение|Подгруппа, порождённая множеством]]}}
{{опр|Наименьшая подгруппа, содержащая данное подмножество группы.}}

{{терм|Подгруппа Томпсона|{{Не переведено|Подгруппа Томпсона||en|Thompson subgroup}}}}
{{опр|Подгруппа, порождённая всеми ''[[#Коммутативная группа|абелевыми]]'' ''[[#Подгруппа|подгруппами]]''; обозначается <math>J(G)</math>.}}

{{терм|Подгруппа Фиттинга|{{Не переведено|Подгруппа Фиттинга||en|Fitting subgroup}}}}
{{опр|Подгруппа, порождённая всеми ''[[#Нильпотентная группа|нильпотентными]]'' ''[[#Нормальная подгруппа|нормальными подгруппами]]''; обозначается <math>F(G)</math>.}}

{{терм|Подгруппа Фраттини|{{Не переведено|Подгруппа Фраттини||en|Frattini subgroup}}}}
{{опр|Пересечение всех ''[[#Максимальная подгруппа|максимальных подгрупп]]'', если таковые существуют, либо сама группа <math>G</math> в противном случае; обозначается <math>\Phi(G)</math>.}}

{{терм|Показатель группы}}
{{опр|То же, что и ''[[#Экспонента|экспонента]]'', ''[[#Период группы|период группы]]''.}}

{{терм|Полинильпотентная группа|[[Полинильпотентная группа]]}}
{{опр|Группа обладающая конечным ''[[#нормальный ряд|нормальным рядом]]'', факторы которого ''[[#Нильпотентная группа|нильпотентны]]''.}}

{{терм|Полупрямое произведение|[[Полупрямое произведение]]}}
{{опр|Для групп <math>G</math> и <math>H</math> над ''[[#Гомоморфизм групп|гомоморфизмом]]'' <math>\phi: G \rightarrow \mbox{Aut}(H)</math> (обозначается по-разному, в том числе <math>G \rtimes_\phi H</math>) — множество <math>G \times H</math>, наделённое операцией <math>*</math>, для которой <math>(g_1, h_1) * (g_2, h_2) = (g_1\phi(h_1)(g_2), h_1h_2)</math> для любых <math>g_1,g_2 \in G</math>, <math>h_1,h_2 \in H</math>.}}

{{терм|Порождающее множество группы|[[Порождающее множество группы]]}}
{{опр|Такое подмножество группы, что каждый элемент группы может быть записан как произведение конечного числа элементов множества и их обратных.}}

{{терм|Порядок группы|[[Порядок группы]]}}
{{опр|То же, что и [[мощность множества]] группы (для ''[[#конечная группа|конечных групп]]'' — количество элементов группы).}}

{{терм|Порядок элемента|[[Порядок элемента]]}}
{{опр|Для элемента <math>g \in G</math> — минимальное натуральное число <math>m</math> такое, что <math>g^m = e</math>. В случае, если такого <math>m</math> не существует, считается, что <math>g</math> имеет бесконечный порядок.}}

{{терм|Почти|Почти-<math>\mathcal E</math>-группа}}
{{опр|Для теоретико-группового свойства <math>\mathcal E</math> — группа, обладающая подгруппой конечного ''[[#Индекс подгруппы|индекса]]'', обладающей свойством <math>\mathcal E</math>; так говорят о почти ''[[#Нильпотентная группа|нильпотентных]]'', почти [[Разрешимая группа|разрешимых]], почти [[Полициклическая группа|полициклических]] группах.}}

{{терм|Представление группы}}
{{опр|[[Представление группы|Линейное представление группы]], [[гомоморфизм]] заданной группы в группу невырожденных [[Линейное преобразование|линейных преобразований]] [[Векторное пространство|векторного пространства]].|1}}
{{опр|То же, что и ''[[#Задание группы|задание группы]]''.|2}}

{{терм|Простая группа|[[Простая группа]]}}
{{опр|Группа, в которой нет нормальных подгрупп, кроме тривиальной (состоящей только из единичного элемента) и всей группы.}}

{{терм|Примарная группа|[[Примарная группа]]}}
{{опр|Конечная группа, являющаяся ''[[#p-группа|<math>p</math>-группой]]'' для некоторого простого числа <math>p</math>.}}

{{терм|Примарная абелева группа|[[Примарная абелева группа]]}}
{{опр|Группа, являющаяся одновременно ''[[#Абелева группа|абелевой]]'' и ''[[#Примарная группа|примарной]]''.}}

{{терм|Прямое произведение|[[Прямое произведение групп|Прямое произведение]]}}
{{опр|Для групп <math>(G,\cdot)</math> и <math>(H, *)</math> — множество пар <math>G \times H</math>, наделённое операцией покомпонентного умножения: <math>(g_1, h_1) \times (g_2, h_2) = (g_1 \cdot g_2, h_1 * h_2)</math>.}}
{{конец-глосс}}

== Р ==
{{глосс}}
{{терм|Ранг абелевой группы|[[Ранг абелевой группы]]}}
{{опр|Мощность максимального линейно-независимого подмножества ''[[#Абелева группа|абелевой группы]]'', рассматриваемой как [[модуль над кольцом|модуль]] над [[кольцо целых чисел|кольцом целых чисел]]. Не следует путать с понятием ''[[#Ранг группы|ранга группы]]''.}}

{{терм|Ранг группы|[[Ранг группы]]}}
{{опр|Мощность наименьшего ''[[#Порождающее множество|порождающего множества]]'' группы. Не следует путать с понятием ''[[#Ранг абелевой группы|ранга абелевой группы]]''.}}

{{терм|Расширение группы|[[Расширение группы]]}}
{{опр|Группа, содержащая данную группу в качестве ''[[#Нормальная подгруппа|нормальной подгруппы]]''.}}

{{терм|Разрешимая группа|[[Разрешимая группа]]}}
{{опр|Группа, обладающая ''[[#Нормальный ряд подгрупп|нормальным рядом подгрупп]]'' с ''[[#Коммутативная группа|абелевыми]]'' ''[[#Факторгруппа|факторами]]''. Наименьшая из длин таких рядов называется её ''ступенью разрешимости''.}}

{{терм|Разрешимый радикал|[[Разрешимый радикал]]}}
{{опр|Подгруппа, порождённая всеми ''[[#Разрешимая группа|разрешимыми]]'' ''[[#Нормальная подгруппа|нормальными подгруппами]]'', обозначается <math>S(G)</math>.}}

{{терм|Ряд подгрупп|[[Ряд подгрупп]]}}
{{опр|Конечная последовательность подгрупп <math>G_0, G_1, ..., G_n</math> такая, что <math>G_i \leq G_{i+1}</math>, для всех <math>i\in\left\{0,...,n-1\right\},~G_0=1,~G_n=G</math>. Такой ряд записывают в виде <math>1=G_0\leq G_1\leq \dots \leq G_n=G</math>
или в виде <math>G=G_n\geq G_{n-1}\geq \dots \geq G_0=1</math>.}}

{{терм|Регулярная p-группa|Регулярная <math>p</math>-группа}}
{{опр|Конечная ''[[#P-группа|<math>p</math>-группа]]'', для любой пары элементов <math>a</math> и <math>b</math> которой найдётся элемент <math>u</math> ''[[#Коммутант|коммутанта]]'' подгруппы, порожденной этими элементами, такой, что <math>(ab)^p = a^pb^pu^p</math>.}}
{{конец-глосс}}

== С ==
{{глосс}}
{{терм|Сверхразрешимая группа}}
{{опр|Группа, обладающая ''[[#Нормальный ряд подгрупп|нормальным рядом подгрупп]]'' с ''[[#Циклическая группа|циклическими]]'' ''[[#Факторгруппа|факторами]]''.}}

{{терм|Свободная группа|[[Свободная группа]]}}
{{опр|Группа, ''[[#Задание|заданная]]'' некоторым множеством и при этом не имеющая никаких соотношений, кроме соотношений, определяющих группу. Все свободные группы, порождённые [[Мощность множества|равномощными множествами]], ''[[Изоморфизм групп|изоморфны]]''.}}

{{терм|Свободное произведение групп|[[Свободное произведение]]}}
{{опр|Группа, ''[[#Задание группы|заданная]]'' элементами данных групп без дополнительных соотношений между элементами, кроме соотношений, определяющих каждую из данных групп.}}

{{терм|Силовская группа|[[Силовская подгруппа]]}}
{{опр|''[[#P-группа|<math>p</math>-подгруппа]]'' в <math>G</math>, имеющая ''[[#Порядок группы|порядок]]'' <math>p^n</math>, где <math>|G| = p^ns</math> и [[наибольший общий делитель]] чисел <math>p</math> и <math>s</math> равен 1.}}

{{терм|Симметрическая группа|[[Симметрическая группа]]}}
{{опр|Группа всех [[биекция|биекций]] заданного конечного множества (то есть, всех [[Перестановка|перестановок]]) относительно операции [[композиция функций|композиции]].}}

{{терм|Соотношение}}
{{опр|Тождество, которому удовлетворяют образующие группы (при ''[[#Задание группы|задании группы]]'' образующими и соотношениями).}}

{{терм|Сопряжённый элемент}}
{{опр|Для элемента <math>g \in G</math> — элемент вида <math>h{\cdot} g{\cdot} h^{-1}</math> для некоторого <math>h\in G</math>. Часто используют короткое обозначение <math>g^h = h{\cdot}g{\cdot}h^{-1}</math>.}}

{{терм|Сплетение групп}}
{{опр|[[Сплетение групп]] <math>A</math> и <math>H</math> (обозначается <math>A\wr H</math>), где группа <math>H</math> действует на некотором множестве <math>\Omega</math>, — это полупрямое произведение <math>K\rtimes H</math>, где группа <math>K</math> — прямое произведение или прямая сумма набора копий группы <math>A</math>, индексируемого элементами множества <math>\Omega</math>; в первом случае сплетение называется декартовым (или полным) сплетением и обозначается также <math>A\,\mathrm{Wr}\,H</math>, во втором — прямым сплетением <math>A\,\mathrm{wr}\,H</math>.}}

{{терм|Стабилизатор}}
{{опр|Для элемента <math>p</math> множества <math>M</math>, на котором действует группа <math>G</math> — подгруппа <math>\mathrm{St}_G(p) \subset G</math>, все элементы которой оставляют <math>p</math> на месте: <math>g\cdot p = p</math>.}}

{{терм|Ступень разрешимости}}
{{опр|Наименьшая из длин ''[[#Нормальный ряд подгрупп|нормальных рядов подгрупп]]'' с ''[[#Коммутативная группа|абелевыми]]'' ''[[#Факторгруппа|факторами]]'' для данной группы.}}

{{терм|Субнормальный ряд подгрупп}}
{{опр|''[[#Ряд подгрупп|Ряд подгрупп]]'', в котором подгруппа <math>G_{i}</math> нормальна в подгруппе <math>G_{i+1}</math>, для всех членов ряда.}}

{{конец-глосс}}

== Т ==
{{глосс}}
{{терм|Тривиальная группа|[[Тривиальная группа]]}}
{{опр|''[[#Группа|Группа]]'', состоящая из одного элемента — ''[[#Нейтральный элемент|нейтрального]]''.}}

{{терм|Тривиальная подгруппа}}
{{опр|''[[#Подгруппа|Подгруппа]]'' группы <math>G</math>, являющаяся ''[[#Тривиальная группа|тривиальной группой]]'' или самой группой <math>G</math>.}}

== Ф ==
{{глосс}}
{{терм|Факторгруппа|[[Факторгруппа]]}}
{{опр|Для ''[[#Группа|группы]]'' <math>G</math> и её ''[[#нормальная подгруппа|нормальной подгруппы]]'' <math>H</math> — множество ''[[#Класс смежности|классов смежности]]'' подгруппы <math>H</math> с умножением, определяемым следующим образом: <math>(aH)*(bH)=(ab)H</math>.}}

{{терм|Факторы субнормального ряда}}
{{опр|''[[#Факторгруппа|Факторгруппы]]'' <math>G_{i+1}/G_{i}</math> в определении ''[[#Субнормальный ряд подгрупп|субнормального ряда подгрупп]]''.}}
{{конец-глосс}}

== Х ==
{{глосс}}
{{терм|Характеристическая подгруппа|[[Характеристическая подгруппа]]}}
{{опр|''[[#Подгруппа|Подгруппа]]'', инвариантная относительно всех [[Автоморфизм|автоморфизмов]] группы.}}

{{терм|Холлова подгруппа}}
{{опр|''[[#Подгруппа|Подгруппа]]'', ''[[#Порядок группы|порядок]]'' которой [[Взаимно простые числа|взаимно прост]] с её индексом во всей группе.}}
{{конец-глосс}}

== Ц ==
{{глосс}}
{{терм|Центр группы|[[Центр группы]]}}
{{опр|Максимальная группа элементов, ''[[#Коммутриющие элементы|коммутирующих]]'' с каждым элементом группы: <math>\mathrm Z_G(G) = \{g \in G \mid \forall {h \in G}\, (gh = hg) \}</math>. Своеобразная «мера абелевости»: группа абелева тогда и только тогда, когда её центр совпадает со всей группой.}}

{{терм|Централизатор|[[Централизатор]]}}
{{опр|Максимальная подгруппа, каждый элемент которой ''[[#Коммутриющие элементы|коммутирует]]'' с заданным элементом: <math>\mathrm Z_G(h) = \{g \in G \mid gh = hg \}</math>.}}

{{терм|Центральный ряд подгрупп}}
{{опр|''[[#Нормальный ряд подгрупп|Нормальный ряд подгрупп]]'', в котором <math>G_{i+1}/G_{i}\subseteq Z(G/G_{i})</math>, для всех членов ряда.}}

{{терм|Центральный элемент группы|[[Центральный элемент группы]]}}
{{опр|Элемент, входящий в ''[[#Центр группы|центр группы]]''.}}

{{терм|Циклическая группа|[[Циклическая группа]]}}
{{опр|Группа, состоящая из ''[[#Порождающее множество группы|порождающего элемента]]'' и всех его целых степеней. Конечна в случае, если порядок порождающего элемента конечен.}}
{{конец-глосс}}

== Э ==
{{глосс}}
{{терм|Экспонента}}
{{опр|Числовая характеристика ''[[#Конечная группа|конечной группы]]'', равная [[Наименьшее общее кратное|наименьшему общему кратному]] ''[[#Порядок элемента|порядков]]'' всех элементов группы, обозначается <math>\exp(G)</math>. То же, что и ''[[#Период группы|период группы]]'', ''[[#Показатель группы|показатель группы]]''.}}

{{терм|Элементарная группа}}
{{опр|Группа, являющаяся ''[[#Конечная группа|конечной]]'' или ''[[#Абелева группа|абелевой]]'', либо получаемая из конечных и абелевых групп последовательностью операций взятия ''[[#Подгруппа|подгрупп]]'', [[Эпиморфизм|эпиморфных]] образов, прямых пределов и ''[[Расширение группы|расширений]]''.}}

{{терм|Эпиморфизм групп}}
{{опр| Эпиморфизмом называется ''[[#Гомоморфизм групп|гомоморфизм]]'' <math>f : G \to H</math>, если отображение f [[Сюръекция|сюръективно]].}}
{{конец-глосс}}

== Я ==
{{глосс}}
{{терм|Ядро гомоморфизма|[[Ядро (алгебра)|Ядро гомоморфизма]]}}
{{опр|Прообраз ''[[#Нейтральный элемент|нейтрального элемента]]'' при ''[[#Гомоморфизм групп|гомоморфизме]]''. Ядро всегда есть ''[[#Нормальная подгруппа|нормальная подгруппа]]'', а любая нормальная подгруппа есть ядро некоторого гомоморфизма.}}
{{конец-глосс}}

== Таблица обозначений ==
В данном разделе приводятся некоторые обозначения, используемые в публикациях по теории групп. Для некоторых обозначений указываются также соответствующие понятия в некоторых других разделах общей алгебры (теории колец, полей). Кроме указанных символов, иногда используются их зеркальные отражения, например, <math>H \triangleleft G</math> обозначает то же, что и <math>G \triangleright H</math>.

{| rules="all" width="100%" cellpadding="4" cellspacing="0" style="margin: 0em; border: 1px solid #000000; "
|- bgcolor=#cfdfff
! rowspan="2" width="5%" | Символ ({{TeX}})
! rowspan="2" width="5%" | Символ ([[Unicode]])
! width="30%" | Название
! rowspan="2" | Значение
|- bgcolor=#cfdfff
! Произношение
|- bgcolor=#cfdfff
! colspan="4" | Символы теории групп

|-
| rowspan=2 bgcolor=#e6eeff align="center" | <math>\triangleleft</math>
| rowspan=2 bgcolor=#e6eeff align="center" | ⊲
| [[Нормальная подгруппа]], [[идеал (алгебра)|идеал]] [[кольцо (алгебра)|кольца]]
| rowspan=2 | <math>H \triangleleft G</math> означает «<math>H</math> является нормальной подгруппой [[группа (математика)|группы]] <math>G</math>», если <math>G</math> — группа, и «<math>H</math> является (двусторонним) идеалом кольца <math>G</math>», если <math>G</math> — кольцо.
|-
| «нормальна в», «… является идеалом …»

|-
| rowspan=2 bgcolor=#e6eeff align="center" | <math>[\ :\ ]</math>
| rowspan=2 bgcolor=#e6eeff align="center" | [ : ]
| [[Индекс подгруппы]], [[Размерность пространства|размерность]] [[поле (алгебра)|поля]]
| rowspan=2 | <math>[G:H]</math> означает «индекс подгруппы <math>H</math> в группе <math>G</math>», если <math>G</math> — группа, и «размерность поля <math>H</math> над полем <math>G</math>», если <math>G</math> и <math>H</math> — поля.
|-
| «индекс … в …», «размерность … над …»

|-
| rowspan=2 bgcolor=#e6eeff align="center" | <math>\times</math>
| rowspan=2 bgcolor=#e6eeff align="center" | × 
| [[Прямое произведение групп]]
| rowspan=2 | <math>G \times H</math> означает «прямое произведение групп <math>G</math> и <math>H</math>».
|-
| «прямое произведение … и …»

|-
| rowspan=2 bgcolor=#e6eeff align="center" | <math>\oplus</math>
| rowspan=2 bgcolor=#e6eeff align="center" | ⊕
| [[Прямая сумма]] [[подпространство|подпространств]]
| rowspan=2 | <math>V = V_1 \oplus V_2</math> означает «пространство <math>V</math> разлагается в прямую сумму подпространств <math>V_1</math> и <math>V_2</math>».
|-
| «прямая сумма … и …»

|-
| rowspan=2 bgcolor=#e6eeff align="center" | <math>\otimes</math>
| rowspan=2 bgcolor=#e6eeff align="center" | ⊗
| [[Тензорное произведение]]
| rowspan=2 | <math>T_1 \otimes T_2</math> означает «тензорное произведение [[тензор]]ов <math>T_1</math> и <math>T_2</math>».
|-
| «тензорное произведение … и …»

|-
| rowspan=2 bgcolor=#e6eeff align="center" | <math>[\, ,\, ]</math>
| rowspan=2 bgcolor=#e6eeff align="center" | [ , ]
| ''[[#Коммутатор|Коммутатор]]'' элементов [[группа (математика)|группы]]
| rowspan=2 | <math>[g,\,h]</math> означает «коммутатор элементов <math>g</math> и <math>h</math> группы <math>G</math>», то есть элемент <math>ghg^{-1}h^{-1}</math>.
|-
| «коммутатор … и …»

|-
| rowspan=2 bgcolor=#e6eeff align="center" | <math>G^\prime</math>
| rowspan=2 bgcolor=#e6eeff align="center" | G'
| ''[[#Коммутант|Коммутант]]''
| rowspan=2 | <math>G^\prime</math> означает «коммутант группы <math>G</math>».
|-
| «коммутант …»

|-
| rowspan=2 bgcolor=#e6eeff align="center" | <math>\langle\ \rangle_n</math>
| rowspan=2 bgcolor=#e6eeff align="center" | &#10216; &#10217;<sub>n</sub>
| ''[[#Циклическая группа|Циклическая группа]]''
| rowspan=2 | <math>\langle a\rangle_n</math> означает «циклическая группа порядка <math>n</math>, порождённая элементом <math>a</math>».
|-
| «Циклическая группа [[порядок группы|порядка]] <math>n</math>, порождённая <math>a</math>»

|-
| rowspan=2 bgcolor=#e6eeff align="center" | <math>A^T</math>
| rowspan=2 bgcolor=#e6eeff align="center" | A<sup>T</sup>
| [[Транспонированная матрица]]
| rowspan=2 | <math>A^T</math> означает «транспонированная матрица <math>A</math>».
|-
| «транспонированная матрица …»

|-
| rowspan=2 bgcolor=#e6eeff align="center" | <math>E_{i,\,j}</math>
| rowspan=2 bgcolor=#e6eeff align="center" | E<sub>i, j</sub>
| [[Матричная единица]]
| rowspan=2 | <math>E_{i,\,j}</math> означает «матричная <math>i,\;j</math>-единица», то есть [[матрица (математика)|матрица]], у которой на месте <math>(i,\;j)</math> стоит единица, а на остальных местах — нули.
|-
| «матричная единица …»

|-
| rowspan=2 bgcolor=#e6eeff align="center" | <math>*</math>
| rowspan=2 bgcolor=#e6eeff align="center" | *
| [[Сопряжённый оператор]] <br> [[Сопряжённое пространство]] <br> [[Мультипликативная группа поля]]
| rowspan=2 | <math>\mathcal{A}^{*}</math> означает «[[линейный оператор]], сопряжённый к <math>\mathcal A</math>», если <math>\mathcal A</math> — линейный оператор. <br> <math>V^{*}</math> означает «[[линейное пространство]], сопряжённое к <math>V</math> (дуальное к <math>V</math>)», если <math>V</math> — линейное пространство. <br> <math>F^{*}</math> означает «мультипликативная группа поля <math>F</math>», если <math>F</math> — поле.
|-
| «оператор, сопряжённый к …»; «пространство, сопряжённое к …»; «мультипликативная группа …»

|- bgcolor=#cfdfff
! colspan="4" | Стандартные обозначения некоторых групп

|-
| rowspan=2 bgcolor=#e6eeff align="center" | <math>S_n</math>
| rowspan=2 bgcolor=#e6eeff align="center" | S<sub>n</sub>
| [[Симметрическая группа]] <math>n</math>-ой степени
| rowspan=2 | <math>S_n</math> означает «симметрическая группа (или группа перестановок) степени <math>n</math>».
|-
| «эс …»

|-
| rowspan=2 bgcolor=#e6eeff align="center" | <math>A_n</math>
| rowspan=2 bgcolor=#e6eeff align="center" | A<sub>n</sub>
| [[Знакопеременная группа]] <math>n</math>-ой степени
| rowspan=2 | <math>A_n</math> означает «знакопеременная группа (то есть группа чётных подстановок) степени <math>n</math>».
|-
| «а …»

|-
| bgcolor=#e6eeff align="center" | <math>\Z/n\Z</math>
| bgcolor=#e6eeff align="center" | ℤ/nℤ
| [[Циклическая группа]] порядка <math>n</math>
| <math>\Z/n\Z</math> означает «циклическая группа порядка <math>n</math> (эквивалентно: группа остатков по [[Сравнение по модулю|сложению по модулю]] <math>n</math>)».

|-
| rowspan=2 bgcolor=#e6eeff align="center" | <math>GL_n (F)</math>
| rowspan=2 bgcolor=#e6eeff align="center" | GL<sub>n</sub>(F)
| [[Полная линейная группа]] — группа невырожденных [[линейный оператор|линейных операторов]]
| rowspan=2 | <math>GL_n (F)</math> означает «группа невырожденных линейных операторов размерности <math>n</math> над полем <math>F</math>» (от ''general linear'').
|-
| «же эль … над …»

|-
| rowspan=2 bgcolor=#e6eeff align="center" | <math>SL_n (F)</math>
| rowspan=2 bgcolor=#e6eeff align="center" | SL<sub>n</sub>(F)
| [[Специальная линейная группа]] — группа линейных операторов c [[определитель|определителем]] 1
| rowspan=2 | <math>SL_n (F)</math> означает «группа линейных операторов размерности <math>n</math> над полем <math>F</math> с определителем 1» (от ''special linear'').
|-
| «эс эль … над …»

|-
| rowspan=2 bgcolor=#e6eeff align="center" | <math>UT_n (F)</math>
| rowspan=2 bgcolor=#e6eeff align="center" | UT<sub>n</sub>(F)
| [[Группа верхних треугольных матриц]]
| rowspan=2 | <math>UT_n (F)</math> означает «группа верхних треугольных матриц порядка <math>n</math> над полем <math>F</math>» (от ''upper triangular'').
|-
| «группа верхних треугольных матриц порядка … над …»

|-
| rowspan=2 bgcolor=#e6eeff align="center" | <math>SUT_n (F)</math>
| rowspan=2 bgcolor=#e6eeff align="center" | SUT<sub>n</sub>(F)
| [[Группа верхних унитреугольных матриц]]
| rowspan=2 | <math>SUT_n (F)</math> означает «группа верхних унитреугольных матриц порядка <math>n</math> над полем <math>F</math>» (от {{lang-en2|special upper triangular}}), то есть верхних треугольных матриц с единицами на главной диагонали.
|-
| «группа верхних унитреугольных матриц порядка … над …»

|-
| rowspan=2 bgcolor=#e6eeff align="center" | <math>PGL_n (K)</math>
| rowspan=2 bgcolor=#e6eeff align="center" | PGL<sub>n</sub>(K)
| [[Проективная группа]]
| rowspan=2 | <math>PGL_n (K)</math> означает "группа преобразований <math>(n-1)</math>-мерного [[проективное пространство|проективного пространства]] <math>P_{n-1}(K)</math>, индуцированных невырожденными [[линейное преобразование|линейными преобразованиями]] пространства <math>K^n</math>.
|-
| «проективная группа порядка … над …»

|-
| rowspan=2 bgcolor=#e6eeff align="center" | <math>D_n</math>
| rowspan=2 bgcolor=#e6eeff align="center" | D<sub>n</sub>
| [[Группа диэдра]] <math>n</math>-ой степени
| rowspan=2 | <math>D_n</math> означает «группа диэдра <math>n</math>-ой степени» (то есть группа симметрий правильного <math>n</math>-угольника).
|-
| «дэ …»

|-
| rowspan=2 bgcolor=#e6eeff align="center" | <math>V_4</math>
| rowspan=2 bgcolor=#e6eeff align="center" | V<sub>4</sub>
| [[Четверная группа Клейна]]
| rowspan=2 | <math>V_4</math> означает «четверная группа Клейна».
|-
| «вэ четыре»

|}

== Литература ==
* {{книга
|автор        = Винберг Э. Б.
|заглавие     = Курс алгебры
|издание      = 3-е изд
|место        = М.
|издательство = Факториал Пресс
|год          = 2002
|страниц      = 544
|isbn         = 5-88688-060-7
|тираж        = 3000
}}
* {{Книга:Общая алгебра|2}}

{{Теория групп}}

{{DEFAULTSORT:Групп теория (глоссарий)}}

[[Категория:Теория групп|*]]
[[Категория:Математические глоссарии]]