Просмотр кода страницы Второй закон Ньютона

{{Классическая механика}}
'''Второ́й зако́н Нью́то́на''' — дифференциальный [[Закон (физика)|закон]] [[Механическое движение|механического движения]], описывающий зависимость [[ускорение|ускорения]] тела от равнодействующей всех приложенных к телу [[Сила|сил]] и массы тела. Один из трёх [[Законы Ньютона|законов Ньютона]]. Основной закон [[Динамика (физика)|динамики]]<ref>''Г. А. Бугаенко, [[Маланин, Владимир Владимирович|В. В. Маланин]], [[Яковлев, Вадим Иванович|В. И. Яковлев]]'' Основы классической механики. — М., [[Высшая школа (издательство)|Высшая школа]], 1999. — ISBN 5-06-003587-5 — Тираж 3000 экз. — c. 43</ref><ref>''[[Кузнецов, Борис Григорьевич|Кузнецов Б. Г.]]'' Основные принципы физики Ньютона // отв. ред. ''[[Григорьян, Ашот Тигранович|Григорьян А. Т.]], [[Полак, Лев Соломонович|Полак Л. С.]]'' Очерки развития основных физических идей. — М., [[АН СССР]], 1959. — Тираж 5000 экз. — с. 188;</ref><ref>''Тарасов В. Н., Бояркина И. В., Коваленко М. В., Федорченко Н. П., Фисенко Н. И.'' Теоретическая механика. — М., ТрансЛит, 2012. — ISBN 978-5-94976-455-8. — Тираж 1000 экз. — с. 249</ref>.

Объектом, о котором идёт речь во втором законе Ньютона, является [[материальная точка]], обладающая неотъемлемым свойством — [[Инерция|инерцией]]<ref>То же, что ''инертность''. См. {{ФЭ|том=2 |страницы=146| статья =Инерция|ссылка=http://www.femto.com.ua/articles/part_1/1359.html}}</ref>, величина которой характеризуется [[масса|массой]]. В [[Классическая механика|классической (ньютоновской) механике]] масса материальной точки полагается постоянной во времени и не зависящей от каких-либо особенностей её движения и взаимодействия с другими телами<ref>"Дополнительной характеристикой (по сравнению с геометрическими характеристиками) материальной точки является скалярная величина m — масса материальной точки, которая, вообще говоря, может быть как постоянной, так и переменной величиной. ... В классической ньютоновской механике материальная точка обычно моделируется геометрической точкой с присущей ей постоянной массой) являющейся мерой её инерции." стр. 137 [[Седов, Леонид Иванович|Седов Л. И.]], Цыпкин А. Г. Основы макроскопических теорий гравитации и электромагнетизма. М: Наука, 1989.</ref><ref>{{книга |автор  = Маркеев А. П. |заглавие = Теоретическая механика |ссылка   =  |ответственный =  |место  = М. |издательство  = ЧеРО |год  = 1999 |том  =  |страниц  = 572 |страницы  = 87  |isbn  = }} «Масса материальной точки считается постоянной величиной, не зависящей от обстоятельств движения».</ref><ref>{{книга |автор= Голубев Ю. Ф.|заглавие= Основы теоретической механики|ответственный= |ссылка= |место= М.|издательство= МГУ|год= 2000|том= |страниц= 720|страницы= 160|isbn=5-211-04244-1}} «'''Аксиома 3.3.1.''' Масса материальной точки сохраняет своё значение не только во времени, но и при любых взаимодействиях материальной точки с другими материальными точками независимо от их числа и от природы взаимодействий».</ref><ref>{{книга |автор=[[Тарг, Семён Михайлович|Тарг С. М.]] |заглавие= Краткий курс теоретической механики|ответственный= |ссылка= |место= М.|издательство= Высшая школа|год= 1995|том= |страниц= 416|страницы=287 |isbn=5-06-003117-9}} «В классической механике масса каждой точки или частицы системы считается при движении величиной постоянной»</ref>.

Второй закон Ньютона в его наиболее распространённой формулировке, справедливой для [[Скорость|скоростей]], много меньших [[Скорость света|скорости света]], утверждает: в [[Инерциальная система отсчёта|инерциальных системах отсчёта]] ускорение, приобретаемое материальной точкой, [[прямая пропорциональность|прямо пропорционально]] вызывающей его силе, не зависит от её природы<ref>''Бутиков Е.И., Быков А.А., [[Кондратьев, Александр Сергеевич|Кондратьев А.С.]]'' Физика для поступающих в вузы.  — М.: Наука, 1982. — С.39.</ref>, совпадает с ней по направлению и [[обратная пропорциональность|обратно пропорционально]] массе материальной точки<ref>''[[Ландсберг, Григорий Самуилович|Ландсберг Г. С.]]'' Элементарный учебник физики. Том 1. Механика. Теплота. Молекулярная физика. — М.: Наука, 1975. — C. 107</ref>.

== Второй закон Ньютона в классической механике ==
=== Возможные формулировки ===
* В своём труде «[[Математические начала натуральной философии]]» [[Ньютон, Исаак|Исаак Ньютон]] приводит следующую формулировку<ref>{{книга
 |автор         = Исаак Ньютон. |заглавие =Математические начала натуральной философии |место =М. |издательство  = Наука |год  =1989 |страницы =40|страниц =690
 |серия         = «Классики науки» |isbn= 5-02-000747-1 |тираж         = 5000}}</ref> своего закона: <blockquote>Изменение количества движения пропорционально приложенной движущей силе и происходит по направлению той прямой, по которой эта сила действует.</blockquote>
* Современная формулировка: <blockquote>В инерциальных системах отсчёта ускорение, приобретаемое материальной точкой, [[прямая пропорциональность|прямо пропорционально]] вызывающей его силе, совпадает с ней по направлению и [[обратная пропорциональность|обратно пропорционально]] массе материальной точки.</blockquote>
Обычно этот закон записывается в виде [[Математическая формула|формулы]]:
<!-- (в этой статье всюду, где не оговорено специально, используется [[декартова прямоугольная система координат]]): ВЕКТОРНАЯ ЗАПИСЬ ВЕРНА В ЛЮБОЙ СИСТЕМЕ, ТАК ЧТО ОГОВОРКА В ЭТОМ МЕСТЕ НЕ НУЖНА -->
{{bi|1=<math>\vec{a} = \frac{\vec{F}}{m},</math> где ''<math>\vec{a}</math>'' — [[ускорение]] тела, ''<math>\vec{F}</math>'' — [[Сила (физическая величина)|сила]], приложенная к телу, а <math>\ m</math> — [[масса]] тела.}}
Или в ином виде:
{{bi|1=<math>m \vec{a} =\vec{F} </math>}}
Формулировка второго закона Ньютона с использованием понятия [[импульс]]а<ref>{{книга
 |автор = Сивухин Д. В. |заглавие =Общий курс физики |место =М. |издательство  =Физматлит; изд-во МФТИ |год =2005 |том  =I. Механика |страницы =76 |страниц =560
 |isbn          = 5-9221-0225-7}}</ref>:<blockquote>В инерциальных системах отсчёта производная импульса материальной точки по времени равна действующей на неё силе: {{bi|1=<math>\frac{d\vec{p}}{dt}= \vec{F},</math> где <math>\vec p=m\vec v</math> — [[импульс]] (количество движения) точки, <math>\vec v</math> — её [[скорость]], а <math>t</math> — [[время]].}}</blockquote>

=== Область применения закона ===
Второй закон Ньютона в классической механике сформулирован применительно к движению материальной точки. Предполагается, что масса материальной точки неизменна во времени<ref>{{книга |автор  = Маркеев А. П. |заглавие = Теоретическая механика |ссылка   =  |ответственный =  |место  = М. |издательство  = ЧеРО |год  = 1999 |том  =  |страниц  = 572 |страницы  = 254  |isbn  = }} «…второй закон Ньютона справедлив только для точки постоянного состава. Динамика систем переменного состава требует особого рассмотрения».</ref><ref>{{книга |автор  = Иродов И. Е. |заглавие  = Основные законы механики |ссылка   =  |ответственный =  |место  = М. |издательство  = Высшая школа |год           = 1985 |том  =  |страниц  = 248 |страницы  = 41  |isbn  = }}«В ньютоновской механике… m=const и dp/dt=ma».</ref><ref>{{книга|автор= Kleppner D., Kolenkow R. J.|часть= |ссылка часть= |заглавие= An Introduction to Mechanics|оригинал= |ссылка= http://ru.scribd.com/doc/102675075/An-Introduction-to-Mechanics-1973-Daniel-Kleppner-Robert-Kolenkow|викитека= |ответственный= |издание= |место= |издательство= McGraw-Hill|год= 1973|volume= |pages= 112|allpages= |серия= |isbn= 0-07-035048-5|тираж= |archive-date= 2013-06-17|archive-url= https://web.archive.org/web/20130617073314/http://ru.scribd.com/doc/102675075/An-Introduction-to-Mechanics-1973-Daniel-Kleppner-Robert-Kolenkow}} {{Cite web |url=http://ru.scribd.com/doc/102675075/An-Introduction-to-Mechanics-1973-Daniel-Kleppner-Robert-Kolenkow |title=Архивированная копия |access-date=2013-02-09 |archive-date=2013-06-17 |archive-url=https://web.archive.org/web/20130617073314/http://ru.scribd.com/doc/102675075/An-Introduction-to-Mechanics-1973-Daniel-Kleppner-Robert-Kolenkow |url-status=unfit }} «For a particle in Newtonian mechanics, M is a constant and (d/dt)(M'''v''') = M(d'''v'''/dt) = M'''a'''».</ref>. Уравнения, соответствующие данному закону, называются ''[[Уравнение движения|уравнениями движения]] [[Материальная точка|материальной точки]]'' или [[основное уравнение динамики материальной точки|основными уравнениями динамики материальной точки]].

Иногда в рамках классической механики предпринимались попытки распространить сферу применения уравнения <math> d \vec{p}/dt = \vec{F}</math> и на случай тел переменной массы. Однако вместе с таким расширительным толкованием уравнения приходилось существенным образом модифицировать принятые ранее определения и изменять смысл таких фундаментальных понятий, как ''материальная точка, импульс и сила''<ref name="Зоммерфельд2">{{книга |автор= [[Зоммерфельд, Арнольд|Зоммерфельд А.]] |часть= |ссылка часть= |заглавие= Механика |оригинал= ''Sommerfeld A.'' Mechanik. Zweite, revidierte Auflage, 1944|ссылка= |викитека= |ответственный= |издание= |место= Ижевск|издательство= НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика»|год= 2001|том= |страницы= 45-46|страниц= 368|серия= |isbn= 5-93972-051-X |тираж=}}</ref><ref>''Кильчевский Н. А.'' Курс теоретической механики. Том 1. — М.: Наука, 1977. 480 с.</ref>.

В случае, когда на материальную точку действует несколько сил, каждая из них сообщает точке ускорение, определяемое вторым законом Ньютона так, как если бы других сил не было ([[принцип суперпозиции|принцип суперпозиции сил]]). Поэтому результирующее ускорение материальной точки можно определить по второму закону Ньютона, подставив в него [[равнодействующая сила|равнодействующую силу]]<ref name ="Javor" />.

Уравнение второго закона Ньютона <math>\vec{F} = m \vec{a}</math> предполагает скалярную [[Аддитивность (математика)|аддитивность]] масс<ref>''Орир Дж.'' Физика // М., Мир, 1981. — Тираж 75 000 экз. — Том 1. — с. 54</ref>.

Помимо материальной точки, уравнение второго закона Ньютона применимо также для описания механического движения [[центр масс|центра масс]] механической системы. Центр масс движется, как материальная точка, имеющая массу, равную массе всей системы, и находящаяся под действием всех внешних сил, приложенных к точкам системы ([[теорема о движении центра масс системы]]).

Уравнение второго закона Ньютона может быть записано в виде <math>dm\cdot d\vec{v}/dt = d\vec{F}</math> для [[Объёмная сила|распределённой силы]], где <math>dm = \rho dV</math> — элемент массы (<math>\rho</math> — [[плотность]] вещества, <math>dV</math> — элементарный [[объём]]), а <math>d\vec{F}</math> — бесконечно малая действующая на него сила (<math>\vec{f} = d\vec{F}/dV</math> — плотность силы). Отталкиваясь от такой записи, получают<ref name="hydr">{{cite web |url= https://elar.urfu.ru/bitstream/10995/45630/1/978-5-7996-0785-2_2012.pdf |title= Введение в гидродинамику |author= [[Александров, Дмитрий Валерьевич|Д. В. Александров]], А. Ю. Зубарев, Л. Ю. Искакова |publisher= Изд-во [[Уральский федеральный университет|УрФУ]], Екатеринбург |date= 2012 |access-date= 2023-04-30 |description= см. стр. 8-11 |archive-date= 2022-07-08 |archive-url= https://web.archive.org/web/20220708143412/https://elar.urfu.ru/bitstream/10995/45630/1/978-5-7996-0785-2_2012.pdf |url-status= live }}</ref> уравнение, выражающее баланс импульса для сплошных сред — [[уравнение движения сплошной среды]] (в частности, в [[Гидродинамика|гидродинамике]] [[Идеальная жидкость|идеальной]] (не[[Вязкость|вязкой]]) жидкости — [[уравнение Эйлера]], а в гидродинамике линейно-вязкой жидкости — [[Уравнения Навье — Стокса|уравнение Навье — Стокса]]).

Второй закон Ньютона выполняется только в инерциальных системах отсчёта<ref>''[[Савельев, Игорь Владимирович|Савельев И. В.]]'' Курс общей физики. Том 1. Механика. Молекулярная физика. — М.: Наука, 1987. — C. 118</ref><ref>''[[Ландсберг, Григорий Самуилович|Ландсберг Г. С.]]'' Элементарный учебник физики. Том 1. Механика. Теплота. Молекулярная физика. — М.: Наука, 1975. — C. 289</ref>. Тем не менее, добавляя к силам, действующим со стороны других тел, [[Сила инерции|силы инерции]], для описания движения в неинерциальных системах отсчёта можно пользоваться уравнением второго закона Ньютона<ref>''[[Савельев, Игорь Владимирович|Савельев И. В.]]'' Курс общей физики. Том 1. Механика. Молекулярная физика. — М.: Наука, 1987. — C. 118-119</ref>. В таком случае для [[Неинерциальная система отсчёта|неинерциальной системы отсчёта]] уравнение движения записывается в той же форме, что и для инерциальной системы: масса тела, умноженная на его ускорение относительно неинерциальной системы отсчёта, равна по величине и направлению равнодействующей всех сил, включая и силы инерции, приложенные к телу<ref>''[[Ландсберг, Григорий Самуилович|Ландсберг Г. С.]]'' Элементарный учебник физики. Том 1. Механика. Теплота. Молекулярная физика. — М.: Наука, 1975. — C. 291</ref><ref>''[[Савельев, Игорь Владимирович|Савельев И. В.]]'' Курс общей физики. Том 1. Механика. Молекулярная физика. — М.: Наука, 1987. — C. 119</ref>.

=== Логическая роль второго закона Ньютона ===
В ньютоновском изложении классической механики законы Ньютона ниоткуда не «выводятся», они имеют статус [[аксиома|аксиом]], базирующихся на совокупности экспериментальных фактов. Как и аксиомы математики, аксиомы ньютоновской динамики можно сформулировать немного по-разному.

При одном подходе второй закон Ньютона позиционируется как экспериментально проверяемое утверждение о пропорциональности ускорения вызывающей его силе и, одновременно, определение инертной [[масса|массы]] тела через отношение величин силы и ускорения<ref>''[[Ландсберг, Григорий Самуилович|Ландсберг Г. С.]]'' Элементарный учебник физики. Том 1. Механика. Теплота. Молекулярная физика. — М.: Наука, 1975. — C. 106</ref><ref>''[[Хайкин, Семён Эммануилович|Хайкин С. Э.]]'' Физические основы механики. — М.: Физматгиз, 1963. — C. 104</ref>. Тогда основная идея второго закона состоит в декларации линейности соотношения «сила—ускорение», то есть что именно эти величины (а не, скажем, сила и скорость) и именно таким образом (а не квадратично и т. п.) связаны между собой.

При другом подходе можно ввести [[инертная масса|инертную массу]] независимо от второго закона Ньютона, через массу определённого тела, принимаемого за эталон. Тогда второй закон содержит два независимо экспериментально проверяемых утверждения: о пропорциональности ускорения силе и обратной пропорциональности массе<ref>''Бутиков Е.И., Быков А.А., Кондратьев А.С.'' Физика для поступающих в вузы. — М.: Наука, 1982. — С. 30.</ref>.

Во многих практических и учебных задачах второй закон Ньютона позволяет вычислять [[сила|силу]]. Но данный закон не является дефиницией силы<ref>''[[Фейнман, Ричард Филлипс|Р. Ф. Фейнман]]'' Фейнмановские лекции по физике. Том I. Современная наука о природе Законы механики. — М.: Наука, 1978. — С. 209-210.</ref> (высказывание типа «по определению, сила есть произведение массы на ускорение» неуместно), иначе он превратился бы в тавтологию.

В случае отсутствия воздействия на тело со стороны других тел (<math>\vec{F} = 0</math>), из второго закона Ньютона следует, что ускорение тела равно нулю. Отсюда может показаться, что первый закон Ньютона входит во второй как его частный случай. Однако, это не так, поскольку именно первым законом [[постулат|постулируется]] существование инерциальных систем отсчёта, что является самостоятельным содержательным утверждением. Соответственно, первый закон Ньютона формулируется независимо от второго<ref>''[[Савельев, Игорь Владимирович|Савельев И. В.]]'' Курс общей физики. Том 1. Механика. Молекулярная физика. — М.: Наука, 1987. — C. 54</ref>.

[[Файл:Newton's second law with a conversion factor in Euler's Theoria motus corporum solidorum seu rigidorum (1765).jpg|thumb|Фрагмент из трактата Леонарда Эйлера «Theoria motus corporum solidorum seu rigidorum» (1769)<ref>{{книга|автор=[[Эйлер, Леонард|Leonhard Euler]]|заглавие=Theoria motus corporum solidorum seu rigidorum|ссылка=https://scholarlycommons.pacific.edu/euler-works/289|год=1765|страницы=61|access-date=2024-08-18|archive-date=2024-09-14|archive-url=https://web.archive.org/web/20240914223303/https://scholarlycommons.pacific.edu/euler-works/289/|url-status=live}}. Русский перевод: {{книга|автор=Эйлер Л.|заглавие=Основы динамики точки|ответственный=Пер. с латинского В. С. Гофмана и С. П. Кондратьева. Под ред. В. Л. Егоршина|ссылка=https://archive.org/details/euler_dynamics|место=М.-Л.|издательство=[[Физматлит|ГИТТЛ]]|год=1938|страниц=500|страницы=390–391}}</ref>, в котором второй закон Ньютона записан с множителем ''λ'', зависящим от выбора системы единиц (''A'' — масса тела, ''p'' — сила).|450px]]
Второй закон Ньютона устанавливает связь между [[Динамика (физика)|динамическими]] и [[кинематика|кинематическими]] величинами<ref>''Селезнев Ю. А.'' Основы элементарной физики. - М., Наука, 1966. - Тираж 100 000 экз. - с. 40</ref>. Кроме того, уравнение закона <math>\vec{F}=m\vec{a}</math> может рассматриваться как уравнение связи между физическими величинами при определении единиц силы в системах [[СИ]], [[СГС]] и других<ref>''Г. Д. Бурдун, Б. Н. Марков'' Основы метрологии. — М.: Издательство стандартов, 1972. — Тираж 30 000 экз. — С. 49.</ref>. Единица силы определяется как такая сила, которая материальной точке с массой, равной единице массы, принимаемой в качестве основной, сообщает ускорение, равное единице ускорения, определённой ранее в качестве производной единицы<ref>''[[Сена, Лев Аронович|Сена Л. А.]]'' Единицы физических величин и их размерности. — М.: [[Наука (издательство)|Наука]], 1977. — С. 24.</ref>. (При независимом выборе [[Единицы измерения|единиц]] массы, силы и ускорения выражение второго закона нужно писать в виде <math>m\vec a=k\vec F</math>, где <math>k</math> — коэффициент пропорциональности, определяющийся выбором единиц измерения<ref>{{книга|автор=[[Савельев, Игорь Владимирович|Савельев И. В.]]|заглавие=Курс общей физики|ответственный=2-е изд., перераб<!-- точка ставится шаблоном автоматически -->|ссылка=http://scask.ru/book_s_phis1.php?id=12|место=М.|издательство=Наука|год=1982|том=1. Механика. Молекулярная физика|страниц=432|страницы=54|isbn=|archive-date=2014-02-04|archive-url=https://web.archive.org/web/20140204003719/http://scask.ru/book_s_phis1.php?id=12}}</ref><ref>{{книга|автор=[[Сена, Лев Аронович|Сена Л. А.]]|заглавие=Единицы физических величин и их размерности|ссылка=http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Sena1969ru.djvu|место=М.|издательство=Наука|год=1969|страниц=304|страницы=22|archive-date=2014-02-01|archive-url=https://web.archive.org/web/20140201230802/http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Sena1969ru.djvu}}</ref><ref>{{книга|автор=Мултановский В.В.|заглавие=Курс теоретической физики: Классическая механика. Основы специальной теории относительности. Релятивистская механика|ссылка=http://alexandr4784.narod.ru/mult1/mult1_01_05.pdf|место=М.|издательство=Просвещение|год=1988|том=|страниц=304|страницы=73|isbn=5-09-000625-3|archive-date=2014-07-05|archive-url=https://web.archive.org/web/20140705065832/http://alexandr4784.narod.ru/mult1/mult1_01_05.pdf}}</ref><ref>«Не следует смешивать понятия силы и произведения массы на ускорение, которому она равна» <!-- стр. 379 -->({{статья|автор=[[Фок, Владимир Александрович|Фок В.А.]]|заглавие=Механика. Рецензия на книгу: Л. Ландау и Л. Пятигорский. Механика. (Теоретическая физика под общей редакцией проф. Л.Д. Ландау, т. I). Гостехиздат. Москва — Ленинград, 1940|ссылка=http://ufn.ru/ru/articles/1946/2/j|издание=[[Успехи физических наук|УФН]]|год=1946|выпуск=2–3|том=28|страницы=377–383|archive-date=2015-10-31|archive-url=https://web.archive.org/web/20151031113358/http://ufn.ru/ru/articles/1946/2/j/}}).</ref>; в частности, такая форма записи — с размерным коэффициентом — практикуется в американской технической литературе при использовании [[Английские инженерные единицы|британской системы единиц]]<ref>{{книга|автор=Robert D. Zucker, Oscar Biblarz|заглавие=Fundamentals of gas dynamics|ссылка=https://sv.20file.org/up1/922_0.pdf|место=Hoboken, New Jersey|издательство=John Wiley & Sons|год=2002|страниц=493|страницы=2|isbn=0-471-05967-6|access-date=2024-08-18|archive-date=2024-08-18|archive-url=https://web.archive.org/web/20240818155746/https://sv.20file.org/up1/922_0.pdf|url-status=live}}</ref><ref>{{книга|автор=[[:en:Ascher H. Shapiro|Ascher H. Shapiro]]|заглавие=The dynamics and thermodynamics of compressible fluid flow|ссылка=https://books.google.ru/books/about/The_Dynamics_and_Thermodynamics_of_Compr.html?id=OvxQAAAAMAAJ|место=N.Y.|издательство=The Ronald Press Company|год=1953|том=1|страниц=xiii+647|страницы=20|isbn=|access-date=2024-08-18|archive-date=2024-08-18|archive-url=https://web.archive.org/web/20240818155746/https://books.google.ru/books/about/The_Dynamics_and_Thermodynamics_of_Compr.html?id=OvxQAAAAMAAJ|url-status=live}}</ref><ref>{{книга|автор=James George Knudsen, Donald La Verne Katz|заглавие=Fluid dynamics and heat transfer|ссылка=https://books.google.ru/books/about/Fluid_Dynamics_and_Heat_Transfer.html?id=l80mAAAAMAAJ|место=N.Y.|издательство=[[:en:McGraw Hill Education|McGraw-Hill]]|год=1958|страниц=576|страницы=28|access-date=2024-08-18|archive-date=2024-08-18|archive-url=https://web.archive.org/web/20240818155746/https://books.google.ru/books/about/Fluid_Dynamics_and_Heat_Transfer.html?id=l80mAAAAMAAJ|url-status=live}}</ref>.)

Сила <math>\vec{F}</math> во втором законе Ньютона зависит только от координат <math>\vec{r}</math> и скорости <math>\vec{v}</math> материальной точки: <math>\dot{\vec{p}} = \vec{F}(\vec{r}, \vec{v})</math>. Основная задача физической механики сводится к нахождению функции <math>\vec{F}(\vec{r}, \vec{v})</math><ref>''[[Сивухин, Дмитрий Васильевич|Сивухин Д. В.]]'' Общий курс физики. Механика. - М., Наука, 1979. - Тираж 50 000 экз. - с. 71-72</ref>.

Формула второго закона Ньютона <math>\vec{a}=\vec{F}/m</math> выражает принцип причинности классической механики. Координаты и скорости материальной точки в момент времени <math>t+\Delta t</math> (где <math>\Delta t \to 0</math>) непрерывно и однозначно определяются через их значения в момент времени <math>t</math> и заданную силу <math>\vec{F}</math>, действующую на материальную точку. Разлагая в [[ряд Тейлора]] и ограничиваясь малыми первого порядка по <math>t</math>, получаем<ref>''[[Фейнман, Ричард Филлипс|Р. Ф. Фейнман]]'' Фейнмановские лекции по физике. Том I. Современная наука о природе Законы механики. — М.: Наука, 1978. — С. 164.</ref>: <math>\vec{r}(t + \Delta t) = \vec{r}(t) + \vec{v} \Delta t</math>, <math>\vec{v}(t + \Delta t) = \vec{v}(t) + \vec{a} \Delta t</math>. Форма, в которой в механике реализуется причинность, называется механистическим или ''[[Демон Лапласа|лапласовским]]'' [[детерминизм]]ом<ref>''Бугаенко Г. А., [[Маланин, Владимир Владимирович|Маланин В. В.]], [[Яковлев, Вадим Иванович|Яковлев В. И.]]'' Основы классической механики. — М.: Высшая школа, 1999. ISBN 5-06-003587-5 — Тираж 3 000 экз. — С. 47.</ref>.

Уравнение второго закона Ньютона <math>\vec{F} = m \vec{a}</math> инвариантно относительно [[Преобразования Галилея|преобразований Галилея]]. Это утверждение называется [[Принцип относительности Галилея|принципом относительности Галилея]]<ref>''[[Сивухин, Дмитрий Васильевич|Сивухин Д. В.]]'' Общий курс физики. Механика. - М., Наука, 1979. - Тираж 50 000 экз. - с. 94</ref>.

В классической механике [[закон сохранения энергии]], закон сохранения импульса и закон сохранения момента импульса являются следствиями второго закона Ньютона, однородности времени, однородности и изотропности пространства, а также некоторых предположений относительно характера действующих сил<ref>''[[Сивухин, Дмитрий Васильевич|Сивухин Д. В.]]'' Общий курс физики. Механика. - М., Наука, 1979. - Тираж 50 000 экз. - с. 199</ref>.

В случае, когда сила <math>\vec{F}</math> постоянна, интегрирование уравнения второго закона Ньютона <math>d\vec{v}/dt = \vec{F}/m</math> приводит к равенству <math>\vec{v}_2 - \vec{v}_1 = \vec{F}/m\cdot (t_2-t_1)</math>. Это соотношение показывает, что под действием заданной силы <math>\vec{F}</math> определённое изменение скорости <math>\Delta \vec{v} = \vec{v}_2 - \vec{v}_1</math> у тела с большей массой происходит за более продолжительный промежуток времени. Поэтому говорят, что все тела обладают инерцией, а массу <math>m</math> называют мерой инерции тела<ref>''Жирнов Н. И.'' Классическая механика. - М., Просвещение, 1980. - с. 34-35</ref>.

=== Запись закона в разных системах координат ===
{{mainref|<ref name ="Javor">''[[Яворский, Борис Михайлович|Яворский Б.М.]], [[Детлаф, Андрей Антонович|Детлаф А.А.]], Лебедев А.К.'' Справочник по физике для инженеров и студентов вузов. — М.: [[Оникс (издательство)|Оникс]], 2007. — ISBN 978-5-488-01248-6. — Тираж 5 100 экз. — С. 38 - 39</ref>}}

Векторная запись второго закона Ньютона <math>m\vec{a}=\vec{F}</math> верна для любой инерциальной системы координат, относительно которой определяются входящие в этот закон величины (сила, масса, ускорение)<ref>''[[Неванлинна, Рольф|Р. Неванлинна]]'' Пространство, время и относительность. - М., Мир, 1966. - c. 202</ref>. Однако, разложение на компоненты (проекции) будет различным для декартовой, цилиндрической и сферической систем. Интерес также представляет разложение на нормальную и тангенциальную составляющие.
;[[Прямоугольная система координат|Декартова прямоугольная система координат]]: <math>m \ddot x = F_{x}</math>, <math>m \ddot y = F_{y}</math>, <math>m \ddot z = F_{z}</math>, где <math> \vec{F} = F_x\vec{i}+F_y\vec{j}+F_z\vec{k}</math>, а [[единичный вектор|орты]] декартовой системы <math>\vec{i}</math>, <math>\vec{j}</math>, <math>\vec{k}</math> направлены по осям координат (в сторону возрастания конкретной координаты),
;[[Цилиндрическая система координат]]: <math>m (\ddot \rho - \rho \dot \varphi ^{2}) = F_{\rho}</math>, <math>m (\rho \ddot{\varphi} + 2 \dot{\rho} \dot{\varphi}) = F_{\varphi}</math>, <math>m \ddot {z} = F_{z}</math>, где <math> \vec{F} = F_{\rho}\vec{e}_{\rho}+F_{\varphi}\vec{e}_{\varphi}+F_{z}\vec{e}_{z}</math>, а орты <math>\vec{e}_{\rho}</math>, <math>\vec{e}_{\varphi}</math>, <math>\vec{e}_{z}</math> цилиндрической системы берутся в точке приложения силы и направлены, соответственно, от оси <math>z</math> под 90<sup>0</sup> к ней, по окружности в плоскости <math>xy</math> с центром на оси, и вдоль <math>z</math> (в сторону возрастания конкретной координаты), <!-- где <math>F_{\rho}</math> — проекция силы <math>\vec{F}</math> на прямую, задающую расстояние <math>\rho</math> на плоскости <math>xOy</math>, <math>F_{\varphi}</math> — проекция силы <math>\vec{F}</math> на прямую, перпендикулярную прямой, задающей расстояние <math>\rho</math> на плоскости <math>xOy</math>, и проведённую в направлении возрастания угла <math>\varphi</math>,  -->
;[[Сферическая система координат]]: <math>m (\ddot r - r \dot \varphi ^{2} \sin^{2} \theta - r \dot \theta^{2}) = F_{r}</math>,<br><math>m ([r \ddot \varphi + 2 \dot r \dot \varphi] \sin \theta + 2 r \dot \varphi \dot \theta \cos \theta)  = F_{\varphi}</math>,<br><math>m (2 \dot r \dot \theta + r \ddot \theta - r \dot \varphi^{2}\sin \theta \cos \theta) = F_{\theta}</math>, где <math> \vec{F} = F_r\vec{e}_r+F_{\varphi}\vec{e}_{\varphi}+F_{\theta}\vec{e}_{\theta}</math>, а орты <math>\vec{e}_r</math>, <math>\vec{e}_{\varphi}</math>, <math>\vec{e}_{\theta}</math> сферической системы берутся в точке приложения силы и направлены, соответственно, от центра <math>O</math>, по «параллелям», и по «меридианам» (в сторону возрастания конкретной координаты). <!-- где  <math>F_{r}</math> — проекция силы <math>\vec{F}</math> на прямую, задающую расстояние <math>r</math> в пространстве, <math>F_{\varphi}</math> — проекция силы <math>\vec{F}</math> на прямую, перпендикулярную проекции прямой, задающей расстояние <math>r</math>, на плоскость <math>xOy</math> и проведённую в направлении возрастания угла <math>\varphi</math>, <math>F_{\theta}</math> — проекция силы <math>\vec{F}</math> на прямую, перпендикулярную обеим упомянутым прямым и проведённую в направлении возрастания угла <math>\theta</math>.  -->
;Разложение в [[Дифференциальная геометрия кривых#Соприкасающаяся плоскость и нормали|соприкасающейся плоскости]]: В [[Дифференциальная геометрия кривых#Соприкасающаяся плоскость и нормали|соприкасающейся плоскости]] ускорение <math>\vec{a} = \vec{a}_n + \vec{a}_{\tau}</math> материальной точки массой <math>m</math> и действующую на неё силу <math>\vec{F} = \vec{F}_n + \vec{F}_{\tau}</math> можно разложить на нормальную (перпендикулярную касательной к траектории в соприкасающейся плоскости) <math>\vec{F}_n=m \vec{a}_n</math> и тангенциальную (параллельную касательной к траектории в соприкасающейся плоскости) <math>\vec{F}_{\tau}=m \vec{a}_{\tau}</math> составляющие.{{pb}}Абсолютная величина нормальной силы равна <math>F_{n} = m a_{n} = mv^{2}/R</math>, где <math>R</math> — радиус кривизны траектории материальной точки, <math>v</math> — абсолютная величина её скорости. Нормальная сила направлена к центру кривизны траектории материальной точки. В случае круговой траектории радиуса <math>R</math> абсолютная величина нормальной силы <math>F_{n}=m \omega^{2}R</math>, где <math>\omega</math> — угловая скорость обращения точки. Нормальную силу также называют [[Центростремительная сила|центростремительной]].{{pb}}Тангенциальная составляющая силы равна <math>F_{\tau} = m a_{\tau} = m \frac{d^{2} s}{dt^{2}}</math>, где <math>s = s(t)</math> — дуговая координата по траектории точки<ref>''Тарасов В. Н., Бояркина И. В., Коваленко М. В.'' Теоретическая механика. - М., ТрансЛит, 2012. - ISBN 978-5-94976-455-8. - с. 254</ref>. Если <math>\frac{d^{2} s}{dt^{2}} > 0</math>, то сила <math>\vec{F}_{\tau}</math> совпадает по направлению с вектором скорости <math>\vec{v}</math> и её называют ''движущей силой''. Если <math>\frac{d^{2} s}{dt^{2}} < 0</math>, то сила <math>\vec{F}_{\tau}</math> противоположна по направлению вектору скорости <math>\vec{v}</math> и её называют ''тормозящей силой''.

== Второй закон за пределами классической механики ==
=== В релятивистской динамике ===
Второй закон Ньютона в виде <math>m \vec{a} =\vec{F} </math> приближённо справедлив только для [[Скорость|скоростей]], много меньших [[Скорость света|скорости света]], и в [[Инерциальная система отсчёта|инерциальных системах отсчёта]].

В виде <math>\frac{d\vec{p}}{dt}=\vec{F}</math> второй закон Ньютона точно справедлив также в инерциальных системах отсчёта [[Специальная теория относительности|специальной теории относительности]] и в локально инерциальных системах отсчёта [[Общая теория относительности|общей теории относительности]], однако при этом вместо прежнего выражения для импульса используется равенство  <math>\vec p=\frac{m\vec v }{\sqrt{1-\frac{\displaystyle v^2}{\displaystyle c^2}}}</math>, где <math>c</math> — скорость света<ref>''[[Савельев, Игорь Владимирович|Савельев И. В.]]'' Курс общей физики. Т. 1. Механика. Молекулярная физика.
 — М.: Наука, 1987. — С. 237.</ref>.

Существует и четырёхмерное релятивистское обобщение второго закона Ньютона. Производная [[четырёхимпульс]]а <math>\vec{ \Rho }</math> по [[собственное время|собственному времени]] <math>\tau</math> материальной точки равна [[четырёхсила|четырёхсиле]] <math>\vec{ \Phi }</math><ref>''[[Бугаенко, Григорий Алексеевич|Бугаенко Г. А.]], [[Маланин, Владимир Владимирович|Маланин В. В.]], [[Яковлев, Вадим Иванович|Яковлев В. И.]]'' Основы классической механики. — М.: Высшая школа, 1999. — С. 347. — ISBN 5-06-003587-5</ref>:

{{bi|1=<math>\vec{ \Phi } = \frac{d \vec{ \Rho } }{d \tau}</math>.}}

В релятивистской динамике вектор трёхмерного ускорения <math>\vec{a}</math> уже не параллелен вектору трёхмерной силы <math>\vec{F}</math><ref>''Кычкин И. С., Сивцев В. И.'' [https://elibrary.ru/item.asp?id=25776855 Школьная физика: второй закон Ньютона] {{Wayback|url=https://elibrary.ru/item.asp?id=25776855 |date=20190530141359 }} // Международный журнал экспериментального образования. - 2016. № 3-2. - С. 194-197.</ref>.
 
=== В квантовой механике ===
Законы ньютоновской динамики, в том числе второй закон Ньютона, неприменимы, если длина [[волны де Бройля]] рассматриваемого объекта соизмерима с характерными размерами области, в которой изучается его движение. В этом случае необходимо пользоваться [[квантовая механика|квантовомеханическими]] законами<ref>''Бутиков Е. И., Быков А. А., [[Кондратьев, Александр Сергеевич|Кондратьев А. С.]]'' Физика для поступающих в вузы. — М.: Наука, 1982. — С. 544.</ref>.

Тем не менее, второй закон Ньютона при определённых условиях актуален применительно к движению [[Волновой пакет|волнового пакета]] в квантовой механике. Если [[потенциальная энергия]] волнового пакета пренебрежимо мало изменяется в области нахождения пакета, то производная по времени среднего значения импульса пакета будет равна силе, понимаемой как [[градиент]] потенциальной энергии, взятый с обратным знаком ([[теорема Эренфеста]]).

Для описания движения частицы в потенциальном поле, в квантовой механике справедливо [[Оператор (физика)|операторное]] уравнение, по форме совпадающее с уравнением второго закона Ньютона: <math>m \frac{d \hat{v}}{dt} = - \nabla \hat{U}</math>. Здесь: <math>m</math> — масса частицы, <math>\hat{v} = \frac{\hat{p}}{m}</math> — оператор скорости, <math>\hat{p}</math> — оператор импульса, <math>\hat{U} = U(x, y, z)</math> — оператор потенциальной энергии<ref name="Land">''[[Ландау, Лев Давидович|Ландау Л. Д.]], [[Лифшиц, Евгений Михайлович|Лившиц Е. М.]]'' Квантовая механика. — М., Наука, 1972. — с. 76</ref>, символ <math>\nabla</math> здесь означает взятие градиента.

Видоизменённый второй закон Ньютона используется и при квантовомеханическом описании движения электронов в кристаллической решётке. Взаимодействие электрона с периодическим электромагнитным полем решётки при этом учитывается введением понятия [[эффективная масса|эффективной массы]].

== Научно-историческое значение закона ==
Оценивая значение второго закона Ньютона, [[Эйнштейн, Альберт|А. Эйнштейн]] писал:
{{начало цитаты}}Дифференциальный закон является той единственной формой причинного объяснения, которая может полностью удовлетворять современного физика. Ясное понимание дифференциального закона есть одно из величайших духовных достижений Ньютона… Только переход к рассмотрению явления за бесконечно малое время (т. е. к дифференциальному закону) позволил Ньютону дать формулировку, пригодную для описания любого движения… Так Ньютон пришёл… к установлению знаменитого закона движения:
{{center|1=Вектор ускорения × Масса = Вектор силы.}}
Это — фундамент всей механики и, пожалуй, всей теоретической физики.{{конец цитаты|источник={{Книга:Эйнштейн А.: Собрание научных трудов|Т=4|страницы=82, 92}}}}

Все законы природы для сил в зависимости от свойств тел, их состояний и движений получаются из опытов и устанавливаются всегда и только на основе решения уравнения <math>\vec{F}=m\vec{a}</math>, которое употребляется для выражения силы<ref>''[[Седов, Леонид Иванович|Седов Л.И.]]''Методы подобия и размерности в механике. — М.: Гостехтеориздат, 1954. — С. 21 - 28.</ref>.

Второй закон Ньютона является важной частью [[Парадигма (философия)|парадигмы]], принятой в классической [[физическая картина мира|физической картине мира]]<ref>''[[Кун, Томас|Томас Кун]]'' [[Структура научных революций]]. — М., АСТ, 2020. — ISBN 978-5-17-122824-8. — с. 280-282</ref>.

== Лагранжево и гамильтоново обобщения закона ==
В [[Аналитическая механика|аналитической механике]] существует два аксиоматических подхода. При одном подходе в качестве аксиомы принимается второй закон Ньютона и из него выводятся [[Уравнения Лагранжа второго рода|уравнения Лагранжа]]. При другом подходе в качестве аксиомы принимаются уравнения Лагранжа. Тогда второй закон Ньютона рассматривается как следствие из них <ref>''[[Айзерман, Марк Аронович|Айзерман М.А.]]'' Классическая механика. — М.: Наука, 1980. — Тираж 17 500 экз. — С. 164-165</ref>.

Из [[Уравнения Лагранжа второго рода|уравнений Лагранжа]] для произвольной [[голономная система|голономной системы]], на которую действуют как потенциальные (<math>Q^p_i</math>), так и непотенциальные (<math>Q^n_i</math>) [[обобщённая сила|обобщённые силы]], <math>\frac{d}{dt}\left ( \frac{\partial L}{\partial \dot q_{i}} \right ) - \frac{\partial L}{\partial q_{i}} = Q^n_{i}</math> следует, что производная по времени [[обобщённый импульс|обобщённого импульса]] <math>p_{i} = \frac{\partial L}{\partial \dot q_{i}}</math> равна суммарной обобщённой силе <math>Q_i = Q^p_i+Q^n_i = \frac{\partial L}{\partial q_{i}} + Q^n_{i}</math>:

{{bi|1=<math>\dot p_{i} = Q_{i}</math>.}}

Записанные так в [[декартовы координаты|декартовых координатах]] уравнения Лагранжа называются уравнениями движения в форме Ньютона<ref>''[[Медведев, Борис Валентинович|Медведев Б. В.]]'' Начала теоретической физики. Механика, теория поля, элементы квантовой механики. — М.: Физматлит, 2007. — ISBN 978-5-9221-0770-9 — С. 38.</ref>.

Теорема об изменении обобщённого импульса обобщает и включает как частные случаи теоремы ньютоновской динамики об изменении количества движения и об изменении [[Момент импульса|кинетического момента]]<ref>''Бугаенко Г. А., [[Маланин, Владимир Владимирович|Маланин В. В.]], [[Яковлев, Вадим Иванович|Яковлев В. И.]]'' Основы классической механики. — М.: Высшая школа, 1999. — С. 247. — ISBN 5-06-003587-5</ref>.

В [[Уравнения Гамильтона|гамильтоновой динамике]]

{{bi|1=<math>\dot p_{i} = - \frac{\partial H}{\partial q_{i}}</math>,}}

где, как и выше, <math>p_{i} = \frac{\partial L}{\partial \dot q_{i}}</math> — обобщённый импульс, через <math>H = \sum_{i=1}^{s}p_{i}\dot q_{i} - L</math> обозначена [[функция Гамильтона]], а <math>L = L(q_i, \dot q_i, t)</math> — [[лагранжиан]], то есть разность кинетической и потенциальной энергий системы.

== См. также ==
* [[Первый закон Ньютона]]
* [[Уравнение Гейзенберга]]
* [[Уравнение Мещерского]]
* [[Уравнение Эренфеста]]
* [[Теорема о движении центра масс системы]]
* [[Принцип причинности]]

== Примечания ==
{{примечания|2}}

== Ссылки ==
* {{cite web|url=http://docs.lib.purdue.edu/cgi/viewcontent.cgi?article=2657&context=physics_articles|title=Laboratory Test of Newton’s Second Law for Small Accelerations|author=Gundlach J. H., Schlamminger S., Spitzer C. D., Choi K.-Y., Woodahl B. A., Coy J. J., Fischbach E.|date=2007-04-13|work=Phys. Rev. Lett., Vol. 98|publisher=American Physical Society|access-date=2017-04-07|lang=en|archive-date=2021-03-30|archive-url=https://web.archive.org/web/20210330175427/https://docs.lib.purdue.edu/cgi/viewcontent.cgi?article=2657&context=physics_articles|url-status=live}}

[[Категория:Законы классической механики|Ньютона 2]]
[[Категория:Именные законы и правила|Ньютона механики 2 закон]]
[[Категория:Динамика]]