Просмотр кода страницы Барицентр

{{Якорь|fig_1}}
[[Файл:Triangle.Centroid.svg|thumb|right|Центроид треугольника — точка пересечения его [[Медиана треугольника|медиан]]]]
В [[Математика|математике]] '''барице́нтр''', или '''геометри́ческий центр,''' [[Двумерное пространство|двумерной]] фигуры — это [[среднее арифметическое]] положений всех точек данной фигуры. Определение распространяется на любой объект в ''n''-[[Размерность пространства|мерном]] [[Евклидово пространство|пространстве]]. [[Радиус-вектор]] барицентра в трёхмерном случае вычисляется как 
: <math> \vec{r}_b = V^{-1}\int_V\vec{r}dV </math>,
где интегрирование выполняется по объёму тела. Другое название барицентра в этом значении — центроид.

Неформально геометрический барицентр есть точка [[Механическое равновесие|равновесия]] фигуры, вырезанной из картона, с учётом того, что картон имеет постоянную [[плотность]], а внешнее [[гравитационное поле]] однородно.

В [[Физика|физике]] термин «барицентр» — это синоним понятия «[[центр масс]]», используемый, в основном, в задачах космической механики. Центр масс объекта является средним арифметическим всех его точек с учётом локальной [[Плотность|плотности массы]]. Для физических объектов с постоянной плотностью центр масс совпадает с барицентром фигуры той же формы.

Ниже барицентр рассматривается в математическом (геометрическом) смысле, о барицентре в физике см. статью [[Центр масс#Смежные понятия|Центр масс]].

== Свойства ==
Геометрический барицентр [[Выпуклое множество|выпуклого]] объекта всегда лежит внутри объекта. Невыпуклый объект может иметь барицентр, лежащий вне фигуры. Барицентр [[Кольцо (геометрия)|кольца]] или [[Миска|миски]], например, лежат вне фигуры.

Если барицентр известен, он является фиксированной точкой группы изометрии [[Группы симметрии|симметрий]] фигуры. Барицентр объекта лежит на пересечении всех его [[Гиперплоскость|гиперплоскостей]] [[Симметрия|симметрии]]. Барицентры многих фигур ([[правильный многоугольник|правильного многоугольника]], [[правильный многогранник|правильного многогранника]], [[цилиндр]]а, [[прямоугольник]]а, [[ромб]]а, [[окружность|окружности]], [[сфера|сферы]], [[эллипс]]а, [[эллипсоид]]а, [[суперэллипс]]а, [[суперэллипсоид]]а и т. д.) можно найти исходя исключительно из этого принципа.

В частности, барицентром [[треугольник]]а является точка пересечения его [[Медиана треугольника|медиан]] (см. [[#fig_1|рисунок]]). Барицентром [[параллелограмм]]а является точка пересечения его [[Диагональ|диагоналей]], но это неверно для других [[четырёхугольник]]ов.

Барицентр объекта с [[Трансляционная симметрия|трансляционной симметрией]] не определён (или лежит вне пространства фигуры), поскольку сдвиг не имеет фиксированной точки.

== Центроид треугольника ==
{{Основная статья|Центроид треугольника}}

* Барицентр треугольника называется [[Центроид треугольника|центроидом]] и лежит на пересечении трёх [[Медиана треугольника|медиан]] или на [[Прямая Эйлера|прямой Эйлера]] (проходящей и через другие ключевые точки, включая [[ортоцентр]] и центр [[Описанная окружность|описанной окружности]]){{sfn|Altshiller-Court|1925|с=101}}{{sfn|Kay|1969|с=18,189,225–226}}.

* Если в вершины треугольника поместить равные массы, то [[центр масс]] (барицентр) полученной системы будет совпадать с центроидом. Более того, центр масс треугольника с равномерно распределённой массой также находится в центроиде.
** В частности, если <math>M</math> — центроид треугольника <math>ABC</math>, то для любой точки <math>O</math> верно, что
**: <math>\overrightarrow{OM}=\frac13(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})</math>.

* Пусть <math>M</math> — любая точка на плоскости, на которой лежит треугольник с вершинами <math>A</math>, <math>B</math> и <math>C</math>; и пусть <math>G</math> — центроид этого треугольника, тогда сумма квадратов расстояний от <math>M</math> до трёх вершин треугольника равна сумме квадратов расстояний от центроида <math>G</math> до вершин треугольника плюс утроенный квадрат расстояния между <math>M</math> и <math>G</math>:

: <math>MA^2+MB^2+MC^2=GA^2+GB^2+GC^2+3MG^2</math>{{sfn|Altshiller-Court|1925|с=70–71}}.

* Сумма квадратов сторон треугольника равна утроенной сумме квадратов расстояний от центроида до вершин треугольника:

: <math>AB^2+BC^2+CA^2=3(GA^2+GB^2+GC^2)</math>{{sfn|Altshiller-Court|1925|с=70–71}}.

* [[Центр масс]] сторон треугольника совпадает с [[Центр вписанной окружности|центром вписанной окружности]] [[дополнительный треугольник|дополнительного треугольника]] (треугольника с вершинами, расположенными в серединах сторон данного треугольника). Эту точку называют [[центр Шпикера|центром Шпикера]]. Если стороны треугольника сделать из тонкой проволоки одинакового сечения, то [[центр масс]] (барицентр) полученной системы будет совпадать с [[инцентр]]ом [[дополнительный треугольник|дополнительного треугольника]], или с [[центр Шпикера|центром Шпикера]].
* О других свойствах центроида треугольника смотрите [[#Барицентры треугольника и тетраэдра|ниже]].

=== Минимаксные свойства центроида треугольника ===
* [[Центроид]], или ''точка пресечения медиан,'' треугольника является единственной точкой треугольника, через которую можно провести три [[чевиана|чевианы]], разделяющие своими концами стороны треугольника на шесть отрезков, произведение трёх из которых, если они не имеют общих концов, максимально{{sfn|Зетель|1962}}.
* [[Центроид]], или ''точка пересечения трёх медиан,'' является точкой, для которой сумма квадратов расстояний до вершин треугольника принимает наименьшее значение ([[Теорема Лейбница (геометрия)|теорема Лейбница]]).

== Центроид четырёх точек (вершин четырёхугольника) ==
'''Центроид''' ('''барицентр''' или '''центр масс''') вершин произвольного [[четырёхугольник]]а лежит в точке пересечения 3-х отрезков: 1-й отрезок соединяет середины диагоналей, два других — середины противолежащих сторон. Точка пересечения делит все три отрезка пополам.

{{Теорема|Четыре отрезка, каждый из которых соединяет вершину четырёхугольника с центроидом треугольника, образованного оставшимися тремя вершинами, пересекаются в одной точке (центроиде вершин четырёхугольника) и делятся ею в отношении 3:1, считая от вершины.}}

Центр масс вершин четырёхугольника не обязан совпадать с центром масс самого четырёхугольника как плоской фигуры.

== Определение местоположения барицентра ==

=== Определение местоположения барицентра однородной плоской фигуры методом отвеса ===

Барицентр однородной плоской фигуры, такой как фигура (a) на [[#fig_2|рисунке]], можно найти экспериментально с использованием [[отвес]]а и булавки путём нахождения центра масс тонкой пластины однородной плотности, имеющей ту же форму. Пластина удерживается булавкой, вставленной ближе к периметру так, чтобы пластина могла свободно вращаться. Отмечаем на пластине прямую, которую образует отвес, прикреплённый к булавке (b). Проделываем то же самое с другим положением булавки. Пересечение двух прямых даст барицентр (c).

{{Якорь|fig_2}}
[[Файл:Center gravity 0.svg|147px|thumb|(a)]]
[[Файл:Center gravity 1.svg|183px|thumb|(b)]]
[[Файл:Center gravity 2.svg|157px|thumb|(c)]]

Этот метод можно распространить (в теории) на вогнутые фигуры, когда барицентр лежит вне их, а также тела с постоянной плотностью, но положение линии отвеса придётся отмечать каким-то иным способом.

=== Определение местоположения барицентра выпуклой двумерной фигуры методом балансировки ===

Барицентр выпуклой двумерной фигуры можно найти путём балансировки на меньшей фигуре, например, на вершине узкого цилиндра. Барицентр будет находиться где-то внутри области контакта этих фигур. В принципе, последовательным уменьшением диаметра цилиндра можно получить местоположение барицентра с любой точностью. На практике потоки воздуха делают это невозможным, однако используя наложение областей балансировки и усреднение, можно получить нужную точность.

=== Определение местоположения барицентра для конечного множества точек ===

Барицентр конечного множества из <math>{k}</math> точек <math> \mathbf{x}_1, \mathbf{x}_2, \ldots, \mathbf{x}_k </math> в <math>\mathbb{R}^n</math> находится по формуле:
: <math>\mathbf{G} = \frac{ \mathbf{x}_1 + \mathbf{x}_2 + \cdots + \mathbf{x}_k }{k} </math>{{sfn|Protter, Morrey|1970|с=520}}.
Полученная точка <math>\mathbf{G}</math> такая, что сумма квадратов расстояний между ней и точками множества является минимальной.

=== Определение местоположения барицентра с помощью геометрического разложения ===

{{Якорь|fig_3}}
[[Файл:COG 1.svg|thumb|200px|(a) Фигура на плоскости]]
[[Файл:COG 2.svg|thumb|200px|(b) Разложение фигуры на простые элементы]]
[[Файл:COG 3.svg|thumb|200px|(c) Барицентры элементов объекта]]

Барицентр плоской фигуры <math>X</math> можно вычислить, разделив её на конечное число более простых фигур <math>X_1, X_2, \dots, X_n </math>, найдя положение барицентров <math>G_i</math> и площадей <math>A_i</math> каждой части, а затем вычислив

: <math> G_x = \frac{ \sum G_{i_x} A_i }{ \sum A_i } , G_y = \frac{ \sum G_{i_y} A_i }{ \sum A_i } . </math>

Дыры в фигуре <math>X</math>, наложения частей, или части, выступающие за фигуру, можно рассматривать как фигуры с отрицательной площадью <math>A_i</math>. Знак площади <math>A_i</math> нужно выбирать так, чтобы сумма знаков <math>A_i</math> для всех частей, включающих точку <math>p</math>, была равна 1, если <math>p</math> принадлежит <math>X</math>, или 0 в ином случае.

Например, фигуру (a) на [[#fig_3|рисунке]] легко разделить на квадрат и треугольник с положительным знаком, круглое отверстие с отрицательным (b).

Барицентр каждой части легко найти в любом [[Список центроидов|списке барицентров простых фигур]] (c). Затем вычисляется барицентр фигуры, как средневзвешенное трёх точек. Горизонтальное положение барицентра, считая от левого края фигуры, равно:
: <math>x = \frac{ 5 \times 10^2 + 13.33 \times \frac{1}{2} 10^2 - 3 \times \pi 2.5^2 }{ 10^2 + \frac{1}{2} 10^2 -\pi 2.5^2 } \approx 8.5 . </math>

Вертикальное положение вычисляется аналогично.

Та же формула применима для любого трёхмерного объекта, только <math>A_i</math> обозначают уже объёмы частей тела <math>X_i</math>, а не площади. Формула верна также для пространства <math>\R^d</math> любой размерности <math>d</math> при замене площади <math>d</math>-мерными [[Мера множества|мерами]] частей.

=== Определение местоположения барицентра интегрированием ===

Барицентр подмножества ''X'' пространства <math>\R^n</math> можно вычислить с помощью [[интеграл]]а:

: <math> G = \frac{ \int x g(x) \; dx }{ \int g(x) \; dx } , </math>

где интегрирование ведётся по всему пространству <math>\R^n</math>, а ''g'' является [[Индикатор (математика)|характеристической функцией]] подмножества, принимающей 1 внутри ''X'' и 0 вне его{{sfn|Protter, Morrey|1970|с=526}}. Заметим, что знаменатель равен [[Мера множества|мере]] множества ''X''. Формула неприменима к множеству нулевой меры, а также к множествам, для которых [[Расходящийся интеграл|интеграл расходится]].

Другая формула для вычисления координат барицентра:

: <math> G_k = \frac{ \int z S_k(z) \; dz }{ \int S_k(z) \; dz } , </math>

где ''G''<sub>''k''</sub> является ''k''-й координатой ''G'', а ''S''<sub>''k''</sub>(''z'') — мера пересечения ''X'' с гиперплоскостью, определяемой уравнением ''x''<sub>''k''</sub> = ''z''. Снова знаменатель — это мера множества ''X''.

Для плоской фигуры координатами барицентра будут:

: <math>G_{ \mathrm x } = \frac{ \int x S_{ \mathrm y }(x) \; dx }{A} ; </math>

: <math> G_{ \mathrm y } = \frac{ \int y S_{ \mathrm x }(y) \; dy }{A} , </math>

где ''A'' — площадь фигуры ''X'', ''S''<sub>y</sub>(''x'') — длина пересечения ''X'' с вертикальной прямой с [[Абсцисса|абсциссой]] ''x'', ''S''<sub>x</sub>(''y'') — аналогичная величина при обмене осей.

=== Определение местоположения барицентра для области, ограниченной графиками непрерывных функций ===

Координаты барицентра <math>( \bar{x}, \; \bar{y} )</math> области, ограниченной графиками [[Непрерывное отображение|непрерывных функций]] <math>f</math> и <math>g</math>, таких что <math>f(x) \geq g(x)</math> на интервале <math>[a, b]</math>, <math>a \leq x \leq b</math>, задаются выражениями:
: <math> \bar{x} = \frac{1}{A} \int_a^b x \left[ f(x) - g(x) \right] \; dx; </math>{{sfn|Protter, Morrey|1970|с=526}}

: <math> \bar{y} = \frac{1}{A} \int_a^b \left[ \frac{ f(x) + g(x) }{2} \right] \left[ f(x) - g(x) \right] \; dx , </math>{{sfn|Protter, Morrey|1970|с=527}}

где <math>A</math> — площадь области (вычисляемая по формуле <math>\int_a^b \left[ f(x) - g(x) \right] \; dx </math>){{sfn|Protter, Morrey|1970|сp=528}}{{sfn|Larson, Hostetler, Edwards|1998|с=458–460}}.

=== Определение местоположения барицентра объекта, имеющего форму буквы L ===

Метод нахождения барицентра фигуры, имеющей форму буквы L.

{{Якорь|fig_4}}
[[Файл:CoG of L shape.svg|600px]]

# Фигуру делят на два прямоугольника (см. фигуру (2) на [[#fig_4|рисунке]]). Находят барицентры A и B этих двух прямоугольников как пересечение диагоналей. Рисуют отрезок AB, соединяющий барицентры. Барицентр фигуры должен лежать на этом отрезке AB.
# Делят фигуру на два прямоугольника другим способом (см. фигуру (3) на [[#fig_4|рисунке]]). Находят барицентры C и D этих двух прямоугольников. Проводят отрезок CD, соединяющий барицентры. Барицентр фигуры должен лежать на отрезке CD.
# Поскольку барицентр должен лежать как на отрезке AB, так и на отрезке CD, очевидно, что он является точкой пересечения этих двух отрезков — точкой O. Точка O ''не обязана'' лежать внутри фигуры.

=== Барицентры треугольника и тетраэдра ===
{{Якорь|fig_5}}
[[Файл:Triangle centroid 1.svg|thumb|Точка пересечения медиан (барицентр) делит каждую медиану в [[Соотношение|отношении]] 2:1. То есть, расстояние от стороны до барицентра равно 1/3 длины проведённой к стороне высоты]]
[[Файл:Triangle centroid 2.svg|200px|thumb|В прямоугольном треугольнике расстояние от одного катета до барицентра равно 1/3 длины другого катета]]

Барицентр [[треугольник]]а совпадает с пересечением [[Медиана треугольника|медиан]]. Барицентр разбивает каждую медиану в [[Соотношение|отношении]] 2:1, то есть барицентр находится на расстоянии 1/3 от стороны до противоположной вершины (см. [[#fig 5|рисунок]]). Его [[Прямоугольная система координат|декартовыми координатами]] является [[Среднее арифметическое|среднее]] арифметическое координат трёх вершин. То есть, если вершинами треугольника являются <math>a=(x_a,y_a)</math>, <math>b=(x_b,y_b)</math> и <math>c=(x_c,y_c)</math>, то координаты барицентра вычисляются по формуле:

: <math>G=\frac13(a+b+c)=\left(\frac13(x_a+x_b+x_c),\frac13(y_a+y_b+y_c)\right)</math>.

Таким образом, барицентр имеет [[барицентрические координаты]] <math>\tfrac13:\tfrac13:\tfrac13</math>.

В [[Трилинейные координаты|трилинейных координатах]] барицентр можно получить одним из эквивалентных способов<ref>[http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html ''Encyclopedia of Triangle Centers''] {{Wayback|url=http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html |date=20120419171900 }} by Clark Kimberling. The centroid is indexed as X(2).</ref>:
: <math> G = \frac{1}{a} : \frac{1}{b} : \frac{1}{c} = bc : ca : ab = \csc A : \csc B : \csc C </math>
:: <math> = \cos A + \cos B \cdot \cos C : \cos B + \cos C \cdot \cos A : \cos C + \cos A \cdot \cos B </math>
:: <math> = \sec A + \sec B \cdot \sec C : \sec B + \sec C \cdot \sec A : \sec C + \sec A \cdot \sec B . </math>

Барицентр является также физически центром масс треугольника, сделанного из однородного листового материала, а также, если вся масса сконцентрирована в вершинах и одинаково разделена между ними. Если же масса распределена равномерно вдоль периметра, то центр масс лежит в [[Центр Шпикера|точке Шпикера]] ([[инцентр]]е [[Серединный треугольник|серединного треугольника]]), который (в общем случае) не совпадает с центроидом всего треугольника.

Площадь треугольника равна 3/2 длины любой стороны, умноженной на расстояние от центроида до стороны{{sfn|Johnson|2007|с=173}}.

Центроид треугольника лежит на [[Прямая Эйлера|прямой Эйлера]] между его [[ортоцентр]]ом <math>H</math> и центром его [[Описанная окружность|описанной окружности]] <math>O</math>, ровно вдвое ближе ко второму, чем к первому:

: <math>GH=2GO</math>.

Кроме того, для [[инцентр]]а <math>I</math> и [[Центр девяти точек|центра девяти точек]] <math>N</math>, мы имеем:

: <math> GH = 4 GN </math>,
: <math> GO = 2 GN </math>,
: <math> IG < HG </math>,
: <math> IH < HG </math>,
: <math> IG < IO </math>.

Аналогичными свойствами обладает [[тетраэдр]] — его барицентр является пересечением отрезков, соединяющих вершины с барицентрами противоположных граней. Эти отрезки делятся барицентром в отношении 3:1. Результат может быть обобщён на любой <math>n</math>-мерный [[симплекс]]. Если вершины симплекса обозначить <math>v_0,\ldots,v_n</math> и рассматривать вершины как [[Вектор (геометрия)|вектора]], центроид равен:

: <math>G=\frac1{n+1}\sum_{i=0}^nv_i</math>.

Геометрический барицентр совпадает с центром масс, если масса равномерно распределена по всему симплексу или сосредоточена в вершинах как <math>n</math> равных масс.

[[Изогональное сопряжение|Изогональным сопряжением]] центроида треугольника является точка пересечения его [[Симедиана|симедиан]].

=== Барицентр тетраэдра ===
[[Тетраэдр]] является телом в [[Трёхмерное пространство|трёхмерном пространстве]], имеющим четыре треугольника в качестве граней. Отрезок, соединяющий вершину тетраэдра с барицентром противоположной грани, называется ''медианой'', а отрезок, соединяющий середины двух противоположных сторон, называется ''бимедианой''. Таким образом, имеется четыре медианы и три бимедианы. Эти семь отрезков пересекаются в ''барицентре'' тетраэдра{{sfn|Kam-tim, Suk-nam|1994|с=53–54}}. Барицентр тетраэдра лежит посередине между [[точка Монжа|точкой Монжа]] и центром [[Описанная сфера|описанной сферы]]. Эти точки задают ''[[Прямая Эйлера|прямую Эйлера]]'' тетраэдра, являющуюся аналогом прямой Эйлера треугольника.

=== Барицентр многоугольника ===
Барицентром самонепересекающегося замкнутого многоугольника, заданного <math>n</math> вершинами <math>(x_0,y_0)</math>, <math>(x_1,y_1)</math>, <math>\ldots</math>, <math>(x_{n-1},y_{n-1})</math>, является точка <math>(G_x,G_y)</math>, где

: <math>G_x=\frac1{6A}\sum_{i=0}^{n-1}(x_i+x_{i+1})(x_iy_{i+1}-x_{i+1}y_i)</math>;

: <math>G_y=\frac1{6A}\sum_{i=0}^{n-1}(y_i+y_{i+1})(x_iy_{i+1}-x_{i+1}y_i)</math>

и где <math>A</math> является площадью многоугольника (со знаком):

: <math>A=\frac12\sum_{i=0}^{n-1}(x_iy_{i+1}-x_{i+1}y_i)</math>{{sfn|Bourke|1997}}.

В этой формуле предполагается, что вершины пронумерованы вдоль периметра многоугольника. Кроме того, вершина <math>(x_n,y_n)</math> считается той же самой, что и <math>(x_0,y_0)</math>.
Заметим, что если точки пронумерованы по часовой стрелке, площадь <math>A</math>, вычисленная выше, будет отрицательной, но координаты барицентра подкорректируют этот случай.

=== Барицентры конуса и пирамиды ===
Барицентр [[конус]]а или [[Пирамида (геометрия)|пирамиды]] расположен на отрезке, соединяющем вершину тела с барицентром основания. Для сплошного конуса или пирамиды (без полостей) барицентр находится на расстоянии 1/4 от основания к вершине. Для поверхности конуса или пирамиды (боковая поверхность без внутренности и без основания) центроид находится на 1/3 расстояния от основания до вершины.

== См. также ==
* [[Центр масс]]
* [[Центроид треугольника]]
* [[Центр тяжести]]
* {{не переведено 5|Центр Чебышева|Центр Чебышева||Chebyshev center}}
* {{не переведено 5|Среднее Фреше|Среднее Фреше||Fréchet mean}}
* [[k-means]]
* [[Список центроидов|Список барицентров]]
* [[Теоремы Паппа — Гульдина]]
* [[Замечательные точки треугольника]]

== Примечания ==
{{Примечания}}

== Литература ==
*{{книга|автор=Балк, М. Б., Болтянский, В. Г.|заглавие=Геометрия масс|год=1981|серия=[[Библиотечка Кванта]] Вып. 61|ссылка=|место=М.|издательство=Наука|тираж=|страниц=|isbn=}}

* {{публикация|книга|автор=Зетель, С. И.|заглавие=Новая геометрия треугольника. Пособие для учителей|место=М.|издательство=Учпедгиз|год=1962|издание=2-е изд/|страницы=12|ref=Зетель}}

* {{книга
| автор =Leung Kam-tim, Suen Suk-nam
| заглавие =Vectors, matrices and geometry
| издательство =Hong Kong University Press
| год =1994
|ref=Kam-tim, Suk-nam
}}

* {{книга 
| автор = Nathan Altshiller-Court 
| год = 1925 
| lccn = 52013504 
| заглавие = College Geometry:  An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle 
| издание = 2nd 
| издательство = [[Barnes & Noble]] 
| место = New York 
|ref=Altshiller-Court
}}
* {{статья 
|url= http://paulbourke.net/geometry/polygonmesh 
|автор = Paul Bourke 
|заглавие = Calculating the area and centroid of a polygon 
|год= 1997 
|ref=Bourke
}}
* {{книга 
| автор = Roger A. Johnson 
| заглавие = Advanced Euclidean Geometry 
| издательство = [[Dover]] 
| год = 2007 
|ref=Johnson
}}
* {{книга 
| автор = David C. Kay 
| год = 1969 
| lccn = 69012075 
| заглавие = College Geometry 
| ссылка = https://archive.org/details/collegegeometry0000kayd
| издательство = [[Holt, Rinehart and Winston]] 
| место = New York 
|ref= Kay
}}
* {{книга
| автор = Roland E. Larson, Robert P. Hostetler, Bruce H. Edwards 
| заглавие = Calculus of a Single Variable 
| ссылка = https://archive.org/details/calculusofsingle00lars
| год = 1998 
| издательство = [[Houghton Mifflin Company]] 
| издание = 6th 
|ref= Larson, Hostetler, Edwards  
}}
* {{книга
| автор = Murray H. Protter, Charles B. Morrey Jr. 
| год = 1970 
| lccn = 76087042 
| заглавие = College Calculus with Analytic Geometry 
| издание = 2nd 
| издательство = [[Addison-Wesley]] 
| место = Reading 
|ref= Protter, Morrey
}}

== Ссылки ==
* [http://www.cut-the-knot.org/triangle/CharacteristicPropertyOfCentroid.shtml Characteristic Property of Centroid] at [[cut-the-knot]]
* [http://www.cut-the-knot.org/triangle/barycenter.shtml Barycentric Coordinates] at [[cut-the-knot]]
* Interactive animations showing [http://www.mathopenref.com/trianglecentroid.html Centroid of a triangle] and [http://www.mathopenref.com/constcentroid.html Centroid construction with compass and straightedge]
* [http://dynamicmathematicslearning.com/findingtrianglemedian.html Experimentally finding the medians and centroid of a triangle] at [http://dynamicmathematicslearning.com/JavaGSPLinks.htm Dynamic Geometry Sketches], an interactive dynamic geometry sketch using the gravity simulator of Cinderella.

{{rq|
{{плохой перевод|язык=en|оригинал=Centroid|дата=2015-04-29}}
{{нет сносок|дата=2015-06-05}}
}}
{{Среднее}}

[[Категория:Аффинная геометрия]]
[[Категория:Средние величины]]
[[Категория:Замечательные точки треугольника]]
[[Категория:Геометрия треугольника]]