Точка излома
Точка излома или угловая точка — особая точка кривой<ref>Шаблон:БСЭ3</ref>, обладающая тем свойством, что ветви кривой, на которые эта точка делит исходную кривую, имеют в этой точке различные (односторонние) касательные<ref name="tochkaizloma">А. Б. Иванов Шаблон:Книга // Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.</ref><ref name="osobayatochka">А. В. Иванов Шаблон:Книга // Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.</ref>. Функция не является гладкой в данной точке.
Говорят, что функция имеет точку излома, если график функции имеет точку излома. Функция имеет точку излома, если она имеет правую и левую производные, которые различны между собой, то есть, выполняется неравенство<math>\lim _{x\to x^{-}_{0}}f^'(x)\neq\lim _{x\to x^{+}_{0}}f^'(x)</math> и хотя бы один из них конечен (правый или левый предел не стремится к <math>\pm\infin</math>).
Точкой излома функции <math>y=f(x)</math> является критическая точка первого рода в которой производная функции терпит разрыв (за исключением случая бесконечных односторонних производных одного знака)<ref name="tochkaizlomafunkcii">Шаблон:Книга</ref>, то есть правая и левая производные не совпадают<ref name="tochkaizloma" />. Точка излома нередко является точкой локального экстремума, в том случае если производные слева и справа имеют разный знак<ref name="tochkaizlomafunkcii" />.
Пример: функции y=|x|
Функция <math>y=|x|</math>является непрерывной в точке (0,0). Производная равна <math>y'=sgn(x)</math>, которая терпит разрыв в точке (0,0). <math>f'_+(0)=1; f'_-(0)=-1</math> — правая и левая производные не совпадают. Таким образом точка (0,0) является точкой излома функции.
