Теория Галуа
Шаблон:Seealso Тео́рия Галуа́ — раздел алгебры, позволяющий переформулировать определённые вопросы теории полей на языке теории групп, делая их в некотором смысле более простыми.
Эварист Галуа сформулировал основные утверждения этой теории в терминах перестановок корней заданного многочлена (с рациональными коэффициентами); он был первым, кто использовал термин «группа» для описания множества перестановок, замкнутого относительно композиции и содержащего тождественную перестановку.
Более современный подход к теории Галуа заключается в изучении автоморфизмов расширения произвольного поля при помощи группы Галуа, соответствующей данному расширению.
Приложения
Теория Галуа даёт единый элегантный подход к решению таких классических задач как
- Какие фигуры можно построить циркулем и линейкой?
- Какие алгебраические уравнения разрешимы с помощью стандартных алгебраических операций (сложение, вычитание, умножение, деление и извлечение корня)?
Симметрии корней
Симметрии корней — такие перестановки на множестве корней многочлена, для которых любому алгебраическому уравнению с рациональными коэффициентами (с несколькими переменными), которому удовлетворяют корни, удовлетворяют и переставленные корни.
Пример: квадратное уравнение
У многочлена второй степени <math>ax^2 + bx + c</math> имеются два корня <math>x_1</math> и <math>x_2</math>, симметричных относительно точки <math>x = -b/(2a)</math>. Возможны два варианта:
- Если эти корни рациональны, то уравнению <math>x - x_1 = 0</math> удовлетворяет только один корень, и группа уравнения тривиальна.
- Если корни иррациональны, то группа содержит один нетривиальный элемент <math>x_1 \Leftrightarrow x_2</math> и изоморфна <math>\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}</math>.
Более сложный пример
Рассмотрим теперь многочлен <math>(x^2 - 5)^2 - 24</math>.
Его корни: <math>a = \sqrt{2} + \sqrt{3},\ b = \sqrt{2} - \sqrt{3},\ c = -\sqrt{2} + \sqrt{3},\ d = -\sqrt{2} - \sqrt{3}</math>.
Существует <math>4! = 24</math> различных перестановки корней этого уравнения, но не все они являются симметриями. Элементы группы Галуа должны сохранять любые алгебраические уравнения с рациональными коэффициентами.
Одно из таких уравнений — <math>a + d = 0</math>. Поскольку <math>a + c \ne 0</math>, перестановка <math>a \to a,\ b \to b,\ c \to d,\ d \to c</math> не входит в группу Галуа.
Кроме того, можно заметить, что <math>(a + b)^2 = 8</math>, но <math>(a + c)^2 = 12</math>. Поэтому перестановка <math>a \to a,\ b \to c,\ c \to b,\ d \to d</math> не входит в группу.
Окончательно можно получить, что группа Галуа многочлена состоит из четырёх перестановок:
- <math>(a, b, c, d) \to (a, b, c, d),</math>
- <math>(a, b, c, d) \to (c, d, a, b),</math>
- <math>(a, b, c, d) \to (b, a, d, c),</math>
- <math>(a, b, c, d) \to (d, c, b, a)</math>
и является четверной группой Клейна, изоморфной <math>(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}) \times (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})</math>.
Формулировка в терминах теории полей
Теория полей даёт более общее определение группы Галуа как группы автоморфизмов произвольного расширения Галуа.
На этом языке можно сформулировать все утверждения, касающиеся «симметрий» корней многочлена. А именно, пусть коэффициенты данного многочлена принадлежат полю K. Рассмотрим алгебраическое расширение L поля K корнями многочлена. Тогда группа Галуа многочлена — это группа автоморфизмов поля L, оставляющих элементы поля K на месте, то есть группа Галуа расширения <math>L\supset K</math>. Например, в предыдущем примере была рассмотрена группа Галуа расширения <math>\mathbb Q(\sqrt 2,\sqrt 3)\supset \mathbb Q</math>.
Решения полиномиального уравнения <math>P(x)=0</math> выражаются в радикалах тогда и только тогда, когда группа Галуа данного уравнения в общем виде разрешима.
Для любого <math>n</math> существует уравнение <math>n</math>-й степени, группа Галуа которого изоморфна симметрической группе <math>S_n</math>, то есть состоит из всех возможных перестановок. Поскольку группы <math>S_n</math> при <math>n > 4</math> не являются разрешимыми, существуют многочлены степени <math>n</math>, корни которых не представимы при помощи радикалов, что является утверждением теоремы Абеля — Руффини.
Вариации и обобщения
- Более абстрактный подход к теории Галуа был разработан Александром Гротендиком в 1960 году. Этот подход позволяет применить основные результаты теории Галуа к любой категории, обладающей заданными свойствами (например, существованием копроизведений и декартовых квадратов).
- В частности, это позволяет перенести результаты теории Галуа в теорию накрытий. Для того, чтобы применить эту теорию к категории расширений полей, требуется изучение свойств Шаблон:Не переведено 5.
Литература
- Колмогоров А. Н., Юшкевич А. П. (ред.) Математика XIX века. — М.: Наука.
- Постников М. М. Теория Галуа. Шаблон:Wayback — М.: Физматгиз, 1963.
- Grothendieck, Alexander; Raynaud, Michèle (2003) [1971], Revêtements étales et groupe fondamental (SGA 1), Documents Mathématiques (Paris) [Mathematical Documents (Paris)] 3, Paris: Société mathématique de France, arXiv: math/0206203 — ISBN 978-2-85629-141-2
- Скопенков А. Б. Some more proofs from the Book: solvability and insolvability of equations in radicals.
- Lerner L. Galois Theory without abstract algebra.
- Эмиль Артин. Теория Галуа. / Пер. с англ. А. В. Самохина. — 2-е изд. стереотипное. — М.: МЦНМО, 2008. — 66 с. — (Классические монографии: математика). — ISBN 978-5-94057-062-2.