Теорема о бабочке
Перейти к навигации
Перейти к поиску
Теорема о бабочке — классическая теорема планиметрии.
История
Опубликована в 1803 году Уильямом Уоллесом в английском журнале Шаблон:Не переведено. Позднее еще не раз переоткрывалась.
Формулировка
Пусть через точку М, являющуюся серединой хорды PQ некоторой окружности, проведены две произвольные хорды АВ и CD той же окружности. Пусть хорды AD и ВС пересекают хорду PQ в точках X и Y. Тогда М является серединой отрезка XY.
Замечания
Верна и обратная теорема о бабочке:
- Пусть через точку М внутри некоторой окружности проведены две произвольные хорды АВ и CD. Пусть хорды AD и ВС пересекают произвольную хорду PQ в точках X и Y. Тогда если М является серединой отрезка XY, то она одновременно является серединой хорды PQ.
О доказательствах
Теорема о бабочке имеет большое число различных доказательств, как в рамках элементарной геометрии, так и использующих методы, выходящие за её пределы.
- В частности, в проективной модели плоскости Лобачевского, треугольник <math>\triangle AMD</math> центрально симметричен <math>\triangle BMC</math> и отсюда легко следует теорема.
- При помощи проецирования двойных отношений: Рассмотрим двойное отношение точек <math>(P,M,X,Q)</math>, и спроецируем его на окружность из точки <math>A</math>. Точки <math>P</math> и <math>Q</math> перейдут сами в себя, так как принадлежат окружности, а точки <math>M</math> и <math>X</math> перейдут в точки <math>B</math> и <math>D</math> соответственно. Получаем <math>(P,M,X,Q)=(P,B,D,Q)</math> (последнее следует трактовать как двойное отношение точек на комплексной плоскости). Проецируем обратно на прямую <math>PQ</math> с центром в точке <math>C</math>, получаем <math>(P,M,X,Q)=(P,Y,M,Q)</math>. Распишем двойное отношение по определению, получим необходимое равенство.
- Используется также метод инверсии<ref>Шаблон:Книга </ref>
Вариации и обобщения
- Обобщение Шарыгина<ref>Протасов В. Ю., Тихомиров В. М. Геометрические шедевры И. Ф. Шарыгина. В книге «Геометрические олимпиады имени И. Ф. Шарыгина», стр. 146.</ref>: Пусть на окружности дана хорда AB, на ней — точки M и N, причём AM = BN. Через точки M и N проведены хорды PQ и RS, соответственно. Прямые QS и RP пересекают хорду AB в точках K и L, тогда AK = BL.