Строфоида

Файл:Strophoid-MABC.png

Строфоида тройки точек <math>A</math>, <math>B</math> и <math>C</math>.

Строфо́ида (от греч. στροφή — поворот) — геометрическое место точек <math>M</math> на плоскости, таких что прямая <math>MB</math> является биссектрисой (внешней или внутренней) угла <math>AMC</math> при данной тройке точек <math>A</math>, <math>B</math> и <math>C</math>.

Свойства

• Пусть даны точка <math>O</math>, прямая <math>\ell</math> и точка <math>P\in \ell</math>. Для точки <math>M</math> плоскости обозначим через <math>M'</math> точку пересечения прямых <math>OM</math> и <math>\ell</math>. Тогда геометрическое место точек <math>M</math> для которых выполнено равенство <math>MM'=M'A</math> является строфоидой.
• Строфоида является алгебраической кривой третьего прядка.
• В случае если точки <math>A</math>, <math>B</math> и <math>C</math> лежат на одной прямой <math>\ell</math>, строфоида вырождается в объединение прямой <math>\ell</math> и окружности Апполония с фокусами <math>A</math> и <math>C</math>.
• Инверсия с центром в точке <math>B</math> преобразует строфоиду в равнобочную гиперболу, проходящую через <math>B</math>.<ref>Шаблон:Статья</ref>

Вариации и обобщения

Понятие строфоиды допускает следующее обобщение. Пусть даны точка <math>O</math> (полюс), кривая <math>\gamma</math> и точка <math>P</math>. Для каждой точки <math>X\in \gamma</math> рассмотрим точки <math>Z</math> на прямой <math>OX</math> такие, что <math>XZ=ZP</math>. Геометрическое место всех таких точек <math>Z</math> называется строфоидой кривой <math>\gamma</math> с полюсом <math>O</math> относительно <math>P</math>.

Литература

• Березин В., Строфоида, Квант, 1977 год, № 2.